Szerkesztő:Mozo/A3 gyakorló feladatok 6.

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Differenciálgaometria)
(Ívhossz és ívhosszparaméterezés)
15. sor: 15. sor:
 
:<math>|\dot{\mathbf{r}}(t)|=\sqrt{(\cos\ln t-\sin\ln t)^2+(\sin\ln t+\cos\ln t)^2+1}=</math>
 
:<math>|\dot{\mathbf{r}}(t)|=\sqrt{(\cos\ln t-\sin\ln t)^2+(\sin\ln t+\cos\ln t)^2+1}=</math>
 
:<math>=\sqrt{\cos^2\ln t+\sin^2\ln t-2\cos\ln t\sin\ln t+\cos^2\ln t+\sin^2\ln t+2\cos\ln t\sin\ln t+1}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}</math>
 
:<math>=\sqrt{\cos^2\ln t+\sin^2\ln t-2\cos\ln t\sin\ln t+\cos^2\ln t+\sin^2\ln t+2\cos\ln t\sin\ln t+1}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}</math>
 +
Ívhossz: [1,e]-n:
 +
:<math>s=\int\limits_{1}^{e}\sqrt{3}\,dt=[\sqrt{3}t]_1^e=\sqrt{3}(e-1)</math>
 +
Ívhossz paraméterezés t=1-től:
 +
:<math>s(t')=\int\limits_{t=1}^{t'}\sqrt{3}\,dt=[\sqrt{3}t]_{1}^{t'}=\sqrt{3}(t'-1)</math>

A lap 2017. január 14., 14:59-kori változata

Differenciálgeometria

Ívhossz és ívhosszparaméterezés

s=\int\limits_{t_1}^{t_2}|\dot{\mathbf{r}}(t)|dt
s(t')=\int\limits_{t_0}^{t'}|\dot{\mathbf{r}}(t)|dt
s=s(t')\qquad\to\qquad t'=t'(s)\qquad\to\qquad \mathbf{r}(s)=\mathbf{r}(t')|_{t'=t'(s)}


1. a) Mi az alábbi görbe ívhossza a [1,e] paraméterszakaszon és mi az ívhosszparaméterezése t=1-tól kezdődően?

\mathbf{r}(t)=(t\cos \ln t, t\sin \ln t, t)

b) Mi az alábbi görbe ívhossza a [0,10] paraméterszakaszon és mi az ívhosszparaméterezése t=0-tól kezdődően?

\mathbf{r}(t)=(t, 2t-1, 3(t+1))

MO.: a)

\dot{\mathbf{r}}(t)=(\cos\ln t-t\sin\ln t\cdot \frac{1}{t},\sin\ln t+t\cos\ln t\cdot \frac{1}{t}, 1)=(\cos\ln t-\sin\ln t,\sin\ln t+\cos\ln t, 1)
|\dot{\mathbf{r}}(t)|=\sqrt{(\cos\ln t-\sin\ln t)^2+(\sin\ln t+\cos\ln t)^2+1}=
=\sqrt{\cos^2\ln t+\sin^2\ln t-2\cos\ln t\sin\ln t+\cos^2\ln t+\sin^2\ln t+2\cos\ln t\sin\ln t+1}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}

Ívhossz: [1,e]-n:

s=\int\limits_{1}^{e}\sqrt{3}\,dt=[\sqrt{3}t]_1^e=\sqrt{3}(e-1)

Ívhossz paraméterezés t=1-től:

s(t')=\int\limits_{t=1}^{t'}\sqrt{3}\,dt=[\sqrt{3}t]_{1}^{t'}=\sqrt{3}(t'-1)
Személyes eszközök