Szerkesztő:Mozo/A3 gyakorló feladatok 6.
A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Ívhossz és ívhosszparaméterezés) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Ívhossz és ívhosszparaméterezés) |
||
14. sor: | 14. sor: | ||
:<math>\dot{\mathbf{r}}(t)=(\cos\ln t-t\sin\ln t\cdot \frac{1}{t},\sin\ln t+t\cos\ln t\cdot \frac{1}{t}, 1)=(\cos\ln t-\sin\ln t,\sin\ln t+\cos\ln t, 1)</math> | :<math>\dot{\mathbf{r}}(t)=(\cos\ln t-t\sin\ln t\cdot \frac{1}{t},\sin\ln t+t\cos\ln t\cdot \frac{1}{t}, 1)=(\cos\ln t-\sin\ln t,\sin\ln t+\cos\ln t, 1)</math> | ||
:<math>|\dot{\mathbf{r}}(t)|=\sqrt{(\cos\ln t-\sin\ln t)^2+(\sin\ln t+\cos\ln t)^2+1}=</math> | :<math>|\dot{\mathbf{r}}(t)|=\sqrt{(\cos\ln t-\sin\ln t)^2+(\sin\ln t+\cos\ln t)^2+1}=</math> | ||
+ | :<math>=\sqrt{\cos^2\ln t+\sin^2\ln t-2\cos\ln t\sin\ln t+\cos^2\ln t+\sin^2\ln t+2\cos\ln t\sin\ln t+1}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}</math> | ||
+ | Ívhossz: [1,e]-n: | ||
+ | :<math>s=\int\limits_{1}^{e}\sqrt{3}\,dt=[\sqrt{3}\cdot t]_1^e=\sqrt{3}(e-1)</math> | ||
+ | Ívhossz paraméterezés t=1-től: | ||
+ | :<math>s(t')=\int\limits_{t=1}^{t'}\sqrt{3}\,dt=[\sqrt{3}\cdot t]_{1}^{t'}=\sqrt{3}(t'-1)\qquad\to\qquad t'=\frac{s}{\sqrt{3}}+1</math> | ||
+ | :<math>\mathbf{r}(s)=((\frac{s}{\sqrt{3}}+1)\cos \ln (\frac{s}{\sqrt{3}}+1), (\frac{s}{\sqrt{3}}+1)\sin \ln (\frac{s}{\sqrt{3}}+1), \frac{s}{\sqrt{3}}+1)</math> | ||
+ | b) | ||
+ | :<math>\sqrt{t^3}=t^{\frac{3}{2}}</math> | ||
+ | :<math>\dot{\mathbf{r}}(t)=(\frac{4\sqrt{3}}{3}\frac{3}{2}\sqrt{t}, 2, \frac{3}{2}2t)=(2\sqrt{3}\sqrt{t}, 2, 3t)</math> | ||
+ | :<math>|\dot{\mathbf{r}}(t)|=\sqrt{12t+ 4+9t^2}=</math> | ||
+ | Vegyük észre, hogy a négyzetgyök alatt teljes négyzet áll: | ||
+ | =\sqrt{12t+ 4+9t^2}=\sqrt{9t^2+12t+4}=\sqrt{(3t+2)^2}=|3t+2| | ||
:<math>=\sqrt{\cos^2\ln t+\sin^2\ln t-2\cos\ln t\sin\ln t+\cos^2\ln t+\sin^2\ln t+2\cos\ln t\sin\ln t+1}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}</math> | :<math>=\sqrt{\cos^2\ln t+\sin^2\ln t-2\cos\ln t\sin\ln t+\cos^2\ln t+\sin^2\ln t+2\cos\ln t\sin\ln t+1}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}</math> | ||
Ívhossz: [1,e]-n: | Ívhossz: [1,e]-n: |
A lap 2017. január 14., 16:22-kori változata
Differenciálgeometria
Ívhossz és ívhosszparaméterezés
1. a) Mi az alábbi görbe ívhossza a [1,e] paraméterszakaszon és mi az ívhosszparaméterezése t=1-tól kezdődően?
b) Mi az alábbi görbe ívhossza a [0,1] paraméterszakaszon és mi az ívhosszparaméterezése t=0-tól kezdődően?
MO.: a)
Ívhossz: [1,e]-n:
Ívhossz paraméterezés t=1-től:
b)
Vegyük észre, hogy a négyzetgyök alatt teljes négyzet áll: =\sqrt{12t+ 4+9t^2}=\sqrt{9t^2+12t+4}=\sqrt{(3t+2)^2}=|3t+2|
Ívhossz: [1,e]-n:
Ívhossz paraméterezés t=1-től: