Szerkesztő:Mozo/A3 gyakorló feladatok 6.
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Differenciálgeometria) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
62. sor: | 62. sor: | ||
===Lineáris állandóegyütthatós=== | ===Lineáris állandóegyütthatós=== | ||
− | '''2.''' <math>y''+ | + | :<math>ay''+by'+cy=f(x)\,</math> |
+ | ha ''a'', ''b'', ''c'' ∈ '''R'''. | ||
+ | |||
+ | Ilyenkor a homogén egyenlet megoldását az ''a''λ<sup>2</sup>+''b''λ+''c''=0 karakterisztikus egyenlet megoldásából származó λ gyökökből száraztatjuk (bizonyítása a bizonyítások között). | ||
+ | |||
+ | :<math>y(x)=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}</math>, ha <math>\lambda_1\ne\lambda_2\in\mathbf{R}\,</math> | ||
+ | :<math>y(x)=C_1e^{\lambda x}+C_2xe^{\lambda x}\,</math>, ha <math>\lambda_1=\lambda=\lambda\in\mathbf{R}\,</math> (gyök vagy belső rezonancia esete) | ||
+ | :<math>y(x)=C_1e^{\alpha x}\cos(\beta x)+C_2e^{\alpha x}\sin(\beta x)\,</math>, ha <math>\lambda_{1,2}=\alpha\pm\beta\in\mathbf{C}\,</math> | ||
+ | |||
+ | Az inhomogén egyenlet megoldását a következő alakban keressük. Ha az inhomogén tag az alábbi alakban írható | ||
+ | :<math>f(x)=e^{ax}\left(p(x)\cos(bx)+q(x)\sin(bx)\right)</math> | ||
+ | ahol p(x) és q(x) polinomok és a ''a''+i''b'' ∈ '''C''' szám ''m'' szeres gyöke az ''a''λ<sup>2</sup>+''b''λ+''c'' karakterisztikus polinomnak, akkor az y<sub>p</sub>(x) partikuláris megoldásra a feltevés: | ||
+ | :<math>y_p(x)=x^me^{ax}\left(P(x)\cos(bx)+Q(x)\sin(bx)\right)</math> | ||
+ | ahol P(x) és Q(x) olyan polinomok, hogy deg P(x)=deg Q(x)= max{deg p(x), deg q(x)}. | ||
+ | |||
+ | '''2.''' <math>y''+4=\sin(2x)\,</math> kezdeti feltételek: <math>y(0)=0</math>, <math>y'(0)=0</math> | ||
+ | |||
+ | MO.: I. Először a homogén egyenletet oldjuk meg: | ||
+ | :<math>y''+4=0\,</math> | ||
+ | :<math>\lambda^2+4=0\qquad\to\qquad \lambda_{1,2}=\pm 2i</math> (tehát a megoldás <math>\alpha\pm\beta</math>, alakú, ahol <math>\alpha=0, \beta=2</math>) | ||
+ | |||
+ | :<math>y_H=C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x)\,</math> | ||
+ | |||
+ | II. Vegyük észre, hogy a karakterisztikus egyenlet <math>\beta=2</math> gyöke rezonanciában van az <math>\sin(2x)</math> inhomogén tag 2 frekvenciájával. Ekkor egy x szorzót veszünk hozzá az <math>A\sin(2 x)+B\cos(2 x)</math> kifejezéshez, ezért a próbafüggvény: | ||
+ | :<math>y_P=x(A\sin(2x)+B\cos(2x))</math> | ||
+ | lesz. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | '''3.''' | ||
+ | |||
+ | :<math>y''-5y'+6=e^{2x}\,</math> kezdeti feltételek: <math>y(0)=0</math>, <math>y'(0)=0</math> | ||
MO.: I. Először a homogén egyenletet oldjuk meg: | MO.: I. Először a homogén egyenletet oldjuk meg: | ||
:<math>y''-5y'+6=0\,</math> | :<math>y''-5y'+6=0\,</math> | ||
− | :<math>\lambda^2-5\lambda+6=0\,</math> | + | :<math>\lambda^2-5\lambda+6=0\qquad\to\qquad \lambda_1=2,\lambda_1=3</math> |
+ | |||
+ | :<math>y_H=C_1^{2x}+C_2^{3x}\,</math> | ||
+ | |||
+ | II. Vegyük észre, hogy |
A lap 2017. január 14., 16:59-kori változata
Tartalomjegyzék |
Differenciálgeometria
Ívhossz és ívhosszparaméterezés
1. a) Mi az alábbi görbe ívhossza a [1,e] paraméterszakaszon és mi az ívhosszparaméterezése t=1-tól kezdődően?
b) Mi az alábbi görbe ívhossza a [0,1] paraméterszakaszon és mi az ívhosszparaméterezése t=0-tól kezdődően?
MO.: a)
Ívhossz: [1,e]-n:
Ívhossz paraméterezés t=1-től:
b)
Vegyük észre, hogy a négyzetgyök alatt teljes négyzet áll:
- ez t>0-ra persze azonos 3t+2-vel.
Ívhossz: [1,e]-n:
Ívhossz paraméterezés t=0-tól:
Felszín
esetén
z = f(x,y) esetén
2. a) Számítsuk ki a z = x2 − y2 egyenlettel adott felület azon darabjának felszínét, melyet az , feltételek adnak meg!
b) Számítsuk ki a egyenlettel adott felület azon darabjának felszínét, melyet az , feltételek adnak meg!
c) Számítsuk ki az felület azon darabjának felszínét, melyet a , feltételek adnak meg!
MO.: a)
Mivel a tartomány is és a függvény is hengerszimmetriát mutat (minden amiben x2 + y2 van, az hengerszimmetrikus), ezért az integrált hengerkoordinátákban számítjuk ki. A tartomány derékszögű és polárparamméterezése (érdemes felrajzolni koordinátarendszerben és leolvasni az r-t, φ-t), r a Jacobi-determináns:
b)
Vegyük észre, hogy a négyzetgyök alatt egy teljes négyzet
- , ami , a , feltételek mellett.
Differenciálegyenletek
Lineáris állandóegyütthatós
ha a, b, c ∈ R.
Ilyenkor a homogén egyenlet megoldását az aλ2+bλ+c=0 karakterisztikus egyenlet megoldásából származó λ gyökökből száraztatjuk (bizonyítása a bizonyítások között).
- , ha
- , ha (gyök vagy belső rezonancia esete)
- , ha
Az inhomogén egyenlet megoldását a következő alakban keressük. Ha az inhomogén tag az alábbi alakban írható
ahol p(x) és q(x) polinomok és a a+ib ∈ C szám m szeres gyöke az aλ2+bλ+c karakterisztikus polinomnak, akkor az yp(x) partikuláris megoldásra a feltevés:
ahol P(x) és Q(x) olyan polinomok, hogy deg P(x)=deg Q(x)= max{deg p(x), deg q(x)}.
2. kezdeti feltételek: y(0) = 0, y'(0) = 0
MO.: I. Először a homogén egyenletet oldjuk meg:
- (tehát a megoldás , alakú, ahol α = 0,β = 2)
II. Vegyük észre, hogy a karakterisztikus egyenlet β = 2 gyöke rezonanciában van az sin(2x) inhomogén tag 2 frekvenciájával. Ekkor egy x szorzót veszünk hozzá az Asin(2x) + Bcos(2x) kifejezéshez, ezért a próbafüggvény:
- yP = x(Asin(2x) + Bcos(2x))
lesz.
3.
- kezdeti feltételek: y(0) = 0, y'(0) = 0
MO.: I. Először a homogén egyenletet oldjuk meg:
II. Vegyük észre, hogy