Szerkesztő:Mozo/A3 gyakorló feladatok 6.

Differenciálgeometria

Ívhossz és ívhosszparaméterezés

$s=\int\limits_{t_1}^{t_2}|\dot{\mathbf{r}}(t)|dt$

$s(t')=\int\limits_{t_0}^{t'}|\dot{\mathbf{r}}(t)|dt$

$s=s(t')\qquad\to\qquad t'=t'(s)\qquad\to\qquad \mathbf{r}(s)=\mathbf{r}(t')|_{t'=t'(s)}$

1. a) Mi az alábbi görbe ívhossza a [1,e] paraméterszakaszon és mi az ívhosszparaméterezése t=1-tól kezdődően?

$\mathbf{r}(t)=(t\cos \ln t, t\sin \ln t, t)$

b) Mi az alábbi görbe ívhossza a [0,10] paraméterszakaszon és mi az ívhosszparaméterezése t=0-tól kezdődően?

$\mathbf{r}(t)=(t, 2t-1, 3(t+1))$

MO.: a)

$\dot{\mathbf{r}}(t)=(\cos\ln t-t\sin\ln t\cdot \frac{1}{t},\sin\ln t+t\cos\ln t\cdot \frac{1}{t}, 1)=(\cos\ln t-\sin\ln t,\sin\ln t+\cos\ln t, 1)$

$|\dot{\mathbf{r}}(t)|=\sqrt{(\cos\ln t-\sin\ln t)^2+(\sin\ln t+\cos\ln t)^2+1}=$

$=\sqrt{\cos^2\ln t+\sin^2\ln t-2\cos\ln t\sin\ln t+\cos^2\ln t+\sin^2\ln t+2\cos\ln t\sin\ln t+1}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}$

Ívhossz: [1,e]-n:

$s=\int\limits_{1}^{e}\sqrt{3}\,dt=[\sqrt{3}\cdot t]_1^e=\sqrt{3}(e-1)$

Ívhossz paraméterezés t=1-től:

$s(t')=\int\limits_{t=1}^{t'}\sqrt{3}\,dt=[\sqrt{3}\cdot t]_{1}^{t'}=\sqrt{3}(t'-1)\qquad\to\qquad t'=\frac{s}{\sqrt{3}}+1$

$\mathbf{r}(s)=((\frac{s}{\sqrt{3}}+1)\cos \ln (\frac{s}{\sqrt{3}}+1), (\frac{s}{\sqrt{3}}+1)\sin \ln (\frac{s}{\sqrt{3}}+1), \frac{s}{\sqrt{3}}+1)$