Szerkesztő:Mozo/Egyéb

Tegyük fel, hogy egy adott területen a levegő szennyezettsége a szennyezettség forrásától való távolság függvénye, mégpedig úgy, hogy ha a távolság legalább 1 km, akkor a szennyezés koncentrációja a forrástól való távolsággal fordítottan arányos, azaz pl. 3 km-re egy olyan gyártól, amely 60 ppm szennyezést bocsát ki, a szennyezés 60/3=20 ppm. Tegyük fel, hogy két, egymástól 10 km-re levő gyár 60, illetve 240 ppm szennyezést enged a levegőbe. Határozzuk meg, hogy a két gyár közötti szakasz mely pontján lesz a szennyezés minimális (feltéve, hogy mindkét gyártól legalább 1 km-re keressük ezt a pontot, és hogy más szennyezéssel nem kell számolnunk)!

MO. Legyen az A gyártól mért távolság x, ekkor a B-től mért távolság 10-x, mert 10 km-re vannak egymástól. Az A kibocsátása 60, a B kibocsátása 240. A megadott képlet (60/3=20 ppm) alapján ezek a következő szennyezést eredményezik együttesen az A-tól x távolságra:

$f(x)=\frac{60}{x}+\frac{240}{10-x}\,$

A szélsőértéket a derivált nullhelyénél kell keresnünk:

$f'(x)=-60\frac{1}{x^2}+240\frac{1}{(10-x)^2}\,$

Ekkor

$f'(x)=0\,$

$-60\frac{1}{x^2}+240\frac{1}{(10-x)^2}=0\,$

$60\frac{1}{x^2}=240\frac{1}{(10-x)^2}\,$

$\frac{1}{x^2}=4\frac{1}{(10-x)^2}\,$

$(10-x)^2=4x^2\,$

$10-x=\pm 2 x\,$

vagy + és akkor

$10= 3 x\,$

$3,33333...=x\,$

vagy - és akkor

$-10=x\,$

De ez utóbbi nem jó megoldás, mert csak a két gyár között kellett a minimumhelyet megmodani, azon kívól nem is értelmesek a képletek (1/|x|-szel kéne számolni.)