Szerkesztő:Mozo/Egyéb2
A MathWikiből
< Szerkesztő:Mozo(Változatok közti eltérés)
Mozo (vitalap | szerkesztései) (Új oldal, tartalma: „<math>f(x)=\begin{cases}0 & x<0\\x^2 & x\geq 0\end{cases}</math>”) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
(egy szerkesztő 7 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
1. sor: | 1. sor: | ||
− | <math>f(x)=\begin{cases}0 & x<0\\x^2 & x\geq 0\end{cases}</math> | + | :<math>f(x)=\begin{cases}0, & x<0\\x^2, & x\geq 0\end{cases}</math> |
+ | Hol folytonos, deriválható és hol folytonos a derivált? | ||
+ | |||
+ | MO. | ||
+ | |||
+ | b) Nullán kívül deriválható és a deriváltja: | ||
+ | :<math>f'(x)=\begin{cases}0, & x<0\\2x, & x> 0\end{cases}</math> | ||
+ | Nullában a két egyoldali deriváltat nézzük meg: | ||
+ | :<math>f'_{-}(0)=\lim\limits_{x\to 0-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0-}\frac{0-0}{x-0}=0</math> | ||
+ | :<math>f'_{+}(0)=\lim\limits_{x\to 0+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0+}\frac{x^2-0}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0+}\frac{x^2}{x}=\lim\limits_{x\to 0+} x=0</math> | ||
+ | azaz létezik a derivált és ez a nullában nulla, mert a baloldali és jobboldali derivált létezik és egyenlő: <math>f'(0)=0</math> | ||
+ | |||
+ | a) Mivel ''f'' mindenhol deriválható, ezért ''f'' mindenhol folytonos. | ||
+ | |||
+ | c) A deriváltfüggvény tehát | ||
+ | :<math>f'(x)=\begin{cases}0, & x<0\\2x, & x\geq 0\end{cases}</math> | ||
+ | |||
+ | Ez a nullán kívül mindenütt folytonos. A nullában meg kell nézni az egyoldali határértékeket! | ||
+ | |||
+ | :<math>\lim\limits_{x\to 0-}f'(x)=\lim\limits_{x\to 0-}0=0</math> | ||
+ | :<math>\lim\limits_{x\to 0+}f'(x)=\lim\limits_{x\to 0+}2x=0</math> | ||
+ | |||
+ | Tehát létezik f'-nak határértéke és ez 0. Ez azonban ''egyenlő a helyettesítési értékével'': | ||
+ | :<math>\lim\limits_{x\to 0}f'(x)=0=f'(0) | ||
+ | </math> | ||
+ | ezért a deriváltfüggvény folytonos a nullában is. |
A lap jelenlegi, 2017. január 2., 17:09-kori változata
Hol folytonos, deriválható és hol folytonos a derivált?
MO.
b) Nullán kívül deriválható és a deriváltja:
Nullában a két egyoldali deriváltat nézzük meg:
azaz létezik a derivált és ez a nullában nulla, mert a baloldali és jobboldali derivált létezik és egyenlő: f'(0) = 0
a) Mivel f mindenhol deriválható, ezért f mindenhol folytonos.
c) A deriváltfüggvény tehát
Ez a nullán kívül mindenütt folytonos. A nullában meg kell nézni az egyoldali határértékeket!
Tehát létezik f'-nak határértéke és ez 0. Ez azonban egyenlő a helyettesítési értékével:
ezért a deriváltfüggvény folytonos a nullában is.