Szerkesztő:Mozo/Egyéb2

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
24. sor: 24. sor:
 
:<math>\lim\limits_{x\to 0}f'(x)=0=f'(0)
 
:<math>\lim\limits_{x\to 0}f'(x)=0=f'(0)
 
</math>
 
</math>
ezért a függvény folytonos.
+
ezért a deriváltfüggvény folytonos a nullában is.

A lap 2017. január 2., 16:06-kori változata

f(x)=\begin{cases}0 & x<0\\x^2 & x\geq 0\end{cases}

Hol folytonos, deriválható és hol folytonos a derivált?

MO.

b) Nullán kívül deriválható és a deriváltja:

f(x)=\begin{cases}0 & x<0\\2x & x> 0\end{cases}

Nullában a két egyoldali deriváltat nézzük meg:

f'_{-}(0)=\lim\limits_{x\to 0-}\frac{0-0}{x-0}=0
f'_{+}(0)=\lim\limits_{x\to 0+}\frac{x^2-0}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0+}\frac{x^2}{x}=\lim\limits_{x\to 0+} x=0

azaz létezik a derivált és ez a nullában nulla, mert a baloldali és jobboldali derivált létezik és egyenlő: f'(0) = 0

a) Mivel f mindenhol deriválható, ezért f mindenhol folytonos.

c) A deriváltfüggvény tehát

f'(x)=\begin{cases}0 & x<0\\2x & x\geq 0\end{cases}

Ez a nullán kívül mindenütt folytonos. A nullában meg kell nézni az egyoldali határértékeket!

\lim\limits_{x\to 0-}f'(x)=\lim\limits_{x\to 0-}0=0
\lim\limits_{x\to 0+}f'(x)=\lim\limits_{x\to 0+}2x=0

Tehát létezik f'-nak határértéke és ez 0. Ez azonban egyenlő a helyettesítési értékével:

\lim\limits_{x\to 0}f'(x)=0=f'(0)

ezért a deriváltfüggvény folytonos a nullában is.

Személyes eszközök