Szerkesztő:Mozo/Egyéb2
A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
7. sor: | 7. sor: | ||
:<math>f'(x)=\begin{cases}0 & x<0\\2x & x> 0\end{cases}</math> | :<math>f'(x)=\begin{cases}0 & x<0\\2x & x> 0\end{cases}</math> | ||
Nullában a két egyoldali deriváltat nézzük meg: | Nullában a két egyoldali deriváltat nézzük meg: | ||
− | :<math>f'_{-}(0)=\lim\limits_{x\to 0-}\frac{0-0}{x-0}=0</math> | + | :<math>f'_{-}(0)=\lim\limits_{x\to 0-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0-}\frac{0-0}{x-0}=0</math> |
− | :<math>f'_{+}(0)=\lim\limits_{x\to 0+}\frac{x^2-0}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0+}\frac{x^2}{x}=\lim\limits_{x\to 0+} x=0</math> | + | :<math>f'_{+}(0)=\lim\limits_{x\to 0+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0+}\frac{x^2-0}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0+}\frac{x^2}{x}=\lim\limits_{x\to 0+} x=0</math> |
azaz létezik a derivált és ez a nullában nulla, mert a baloldali és jobboldali derivált létezik és egyenlő: <math>f'(0)=0</math> | azaz létezik a derivált és ez a nullában nulla, mert a baloldali és jobboldali derivált létezik és egyenlő: <math>f'(0)=0</math> | ||
A lap 2017. január 2., 17:08-kori változata
Hol folytonos, deriválható és hol folytonos a derivált?
MO.
b) Nullán kívül deriválható és a deriváltja:
Nullában a két egyoldali deriváltat nézzük meg:
azaz létezik a derivált és ez a nullában nulla, mert a baloldali és jobboldali derivált létezik és egyenlő: f'(0) = 0
a) Mivel f mindenhol deriválható, ezért f mindenhol folytonos.
c) A deriváltfüggvény tehát
Ez a nullán kívül mindenütt folytonos. A nullában meg kell nézni az egyoldali határértékeket!
Tehát létezik f'-nak határértéke és ez 0. Ez azonban egyenlő a helyettesítési értékével:
ezért a deriváltfüggvény folytonos a nullában is.