Szerkesztő:Mozo/Linalg gyakorló 1.

Alterek

1. Igazolja, hogy ha W₁ és W₂ altér V-ben, akkor

$W_1\cap W_2$ altér

Ugyanis, ha u,v ∈ W₁∩W₂, akkor u,v ∈W₁ és u,v ∈ W₂, de ezek zártak az összeadásra és a számmal való szorzásra, ezért: u+v ∈ W₁ és u+v ∈ W₂,, azaz u+v ∈ W₁∩W₂ és λ.u ∈ W₁ és λ.u ∈ W₂, azaz λ.u∈ W₁∩W₂,.

2. Igazoljuk, hogy ha W₁ és W₂ altér V-ben és W₁∩W₂, ≠ {0}, akkor

$\dim \langle W_1,W_2 \rangle < \dim W_1 +\dim W_2$

Először belátjuk, hogy

$\dim \langle W_1,W_2 \rangle \leq \dim W_1 +\dim W_2$

ha B bázis W₁-ben és C bázis W₂-ben BUC generátorrendszere $\langle W_1,W_2 \rangle$-nek, de nem nagyobb a számossága, mint |B|+|C|

$\dim\langle W_1,W_2\rangle\leq |BUC|\leq |B|+|C|$

Most belátjuk, a szigorú egyenlőtlenséget. W₁∩W₂ altér mindkét altérben, ezért ha a metszet nem 0, akkor egy D ⊆ W₁∩W₂ bázis kiegészíthető W₁ bázisává és W₂ bázisává: B'UD és DUC'-vel. Feltehető, hogy B' elemei különböznek C' elemeitől, mert ha nem, akkor különbözőkkémeg nyújthatók.

$\dim \langle W_1,W_2 \rangle\leq|B'\cup D\cup C'|=|B'\cup D\cup D\cup C'|<|B'|+|D|+|D|+|C'|=\dim W_1 +\dim W_2$

hiszen D elemeit kétszer számoltuk.

Egyenletrendszerek

1.

$\begin{matrix} \;\;\,x-y+z& = & 0\\ -3x+2y-z & = & 0\\ -2x+y+az & = & -1 \end{matrix}$

Mo.

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & 0\\ -3 & 2 & -1 & 0\\ -2 & 1 & a & -1 \end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 2 & 0\\ 0 & -1 & a+2 & -1 \end{bmatrix} \sim\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & a & -1 \end{bmatrix}$

Ax=b-nek pontosan akkor van megoldása, ha r(A)=r(A|b) (itt a r(A) az A mátrix rangja). r(A) az oszlopok által kifeszített altér dimenziója.

$3\leq r(A|b)\leq 3$

hisz egyrészt csak háromemeletesek, másrészt van három független (1.,2.,4. oszlop). r(A)=3 pontosan akkor, ha a≠0. Ezesetben pedig valóban 1 megoldás van, mert det(A) ≠ 0.

Megoldás: x_0+Ker(A), Ker(A)={0}, mert A invertálható:

x_0=(1,2,1)

2.

$2x+4y=-2\,$

$-y+z=1\,$

$x+y+z=b\,$

$[\mathbf{A}|\mathbf{y}]\sim\begin{bmatrix} 2 & 4 & 0 & -2\\ 0 & -1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & b \end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 1 & 1\\ 0 & -1 & 1 & b+1 \end{bmatrix} \sim\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & b \end{bmatrix}$

Megoldhatóság: b=0

Megoldások száma: végtelen, mert dimKer(A)=3-dimIm(A)=3-2=1

Megoldások: inhomogén: (-1,0,1). Ker(A)={t(-2,1,1)}

Sajátértékfeladatok

1. Legyen A az x+2y=0 egyenesre tükrözés operátora. Számítsa ki az

$\mathbf{B}=\mathbf{A}^{2009}-\mathbf{A}^2+\mathbf{I}\,$

leképezés sajátértékeit és sajátvektorait!

A tükrözés, így páratlanadik hatványa önmaga, párosadik pedig az I. Emiatt B=A.

Mivel az egyenes: (1,2)$\cdot$(x,y)=0 ezért az egyik sajátvektor az (1,2), ehhez a -1 sajátréték tarozik, a másik (2,-1), melyhez az 1.

2. Legyen

$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

határozzuk meg az A²⁰⁰⁹ sajátvektorait, sajátértékeit!

Ez egy y-x=0-be képező projekció. Az {(1,1), (-1,1)} bázisról áttérés:

$T=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

Ennek inverze:

$T^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$

Emiatt A a másik bázisban:

$A'=T^{-1}AT=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$

Ennek n-edik hatványa:

$A'^{n}=\begin{pmatrix} 3^n & *\\ 0 & 0\end{pmatrix}$

alakú, emiatt a sajátértéke 3²⁰⁰⁹, a sajátvektor pedig: (1,0), azaz a régi bázisban (1,1).

3. Határozzuk meg

$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

sajátvektorait, sajátértékeit!

Szimmetrikus, a karakterisztikus egyenlet:

$(1-\lambda)(1-\lambda)-4=0\,$

Megoldása: -1, 3 Ezekhez tartozó sajátvektorok:

$\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}$

szinguláris mátrixok magjaiból egy-egy elem.

Mátrixegyenletek

1. Oldja meg X-re!

$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

$AX=B\,$

A invertálható, így beszorozhatunk az inverzével:

$X=A^{-1}B\,$

Itt A-t meghatározhatjuk együttes Gauss-szal.

2. Oldja meg X-re!

$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

$AX=B\,$

A nem invertálható. A megoldást szintén Gauss-szal kereshetjük. B és X első oszlopait b-bel és x-szel jelölve: Ax=b-t kell megoldanunk, ha ez van és a másik oszlopokra is van, akkor ezeket összetéve adódik egy megoldás (ill. akár az összes is ha ezekez megfelelően csoportosítjuk).