Szerkesztő:Mozo/ A3 bizonyítások
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Stokes-tétel) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
(egy szerkesztő 126 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
1. sor: | 1. sor: | ||
+ | ==Egzakt differenciálegyenlet== | ||
+ | ===Definíció=== | ||
+ | Legyen U ⊆ '''R'''<sup>2</sup> nyílt halmaz és ''P'',''Q'': ''U'' <math>\to</math> '''R''' folytonos függvények, Q sehol sem nulla. Azt mondjuk, hogy az | ||
+ | :<math>y'=-\frac{P(x,y)}{Q(x,y)}\quad\quad \mathrm{(EX)}</math> | ||
+ | differenciálegyenlet ''egzakt'', ha létezik olyan ''F'': ''U'' <math>\to</math> '''R''' folytonosan differenciálható függvény, hogy | ||
+ | :<math>\frac{\partial F}{\partial x}=P,\quad\quad\frac{\partial F}{\partial y}=Q\quad\quad\mathrm{(C)}</math> | ||
+ | '''Elméleti példa.''' Minden | ||
+ | :<math>y'=\frac{f(x)}{g(y)}\quad\quad (f\in\mathrm{C}(I),\;g\in \mathrm{C}(J),\;0\notin\mathrm{Ran}(g))</math> | ||
+ | alakú szeparábilis differenciálegyenlet egzakt, hiszen ha ''g'' integrálfüggvénye ''G'', akkor | ||
+ | :<math>g(y)y'=f(x)\quad\quad\Rightarrow\quad\quad G(y)=F(x)+C</math> | ||
+ | Alkalmas tehát az alábbi függvény: | ||
+ | :<math>\Phi(x,y):=G(y)-F(x)=C\quad\quad\Rightarrow\quad\quad\frac{\partial \Phi}{\partial x}=f,\quad\quad\frac{\partial \Phi}{\partial y}=g</math> | ||
+ | |||
+ | Jelen esetben a G függvény deriváltja (G'=g) sehol sem nulla folytonos függvény, ezért szigorúan monoton. Emiatt kifejezhető y éspedig: | ||
+ | :<math>y(x)=G^{-1}(F(x)+C)\,</math> | ||
+ | |||
+ | '''Megjegyzés.''' A megoldásokat implicit módon adja meg az | ||
+ | :<math>\Phi(x,y)=C\,</math> | ||
+ | egyenlet. Mivel | ||
+ | :<math>\frac{\partial\Phi}{\partial y}\ne 0</math> | ||
+ | ezért az implicitfüggvény-tétel miatt y-t "ki lehet fejezni". Érdemes felelevenítenünk magát az implicitfüggvény-tételt: | ||
+ | |||
+ | '''Implicitfüggvény-tétel''' -- Ha a Φ: <math>I</math>×<math>J</math> <math>\to</math> '''R''' folytonosan differenciálható függvény az <math>(x_0,y_0)</math> ∈ int(<math>I</math>×<math>J</math>) pontban teljesíti a ∂Φ/∂y ≠ 0 feltételt, akkor a <math>(x_0,y_0)</math> pont egy környezetében egyértelműen létezik az Φ(x,y)=Φ(<math>x_0,y_0</math>) egyenletnek az <math>(x_0,y_0)</math> ponton áthaladó implicit függvénye, azaz az <math>x_0</math> egy ''K''⊆''I'' környezetében értelmezett, ''J''-beli értékű ''y'' deriválható függvény, melyre minden ''x'' ∈ ''K'' esetén: | ||
+ | :<math>\Phi(x,y(x))=\Phi(x_0,y_0)\,</math>, <math>y(x_0)=y_0\,</math> | ||
+ | és ennek deriváltja minden ''x'' ∈ ''K''-ban: | ||
+ | :<math>y'(x)=-\left.\frac{\;\frac{\partial\Phi}{\partial x}\;}{\frac{\partial \Phi}{\partial{y}}}\right|_{(x,y(x))}</math> | ||
+ | |||
+ | ===Egzakt egyenlet egzisztencia- és unicitástétele=== | ||
+ | '''Tétel.''' Legyenek ''P'' és ''Q'' az ''U'' ⊆ '''R'''<sup>2</sup> nyílt halmazon értelmezett folytonos valós függvények, ''Q'' sehol se nulla, grad F = (P,Q) valamely F: ''U'' <math>\to</math> '''R''' folytonosan differenciálható függvénnyel és <math>(x_0,y_0)</math> ∈ ''U''. Ekkor | ||
+ | |||
+ | 1) az | ||
+ | :(ex) y'=-P/Q | ||
+ | egyenletnek egyértelműen létezik az <math>y_0=y(x_0)</math> kezdeti feltételt kielégítő ''y'' lokális megoldása és | ||
+ | |||
+ | 2) az | ||
+ | :(impl) F(x,y) = F(<math>x_0,y_0</math>) | ||
+ | egyenlet <math>(x_0,y_0)</math>-on áthaladó egyetlen lokális implicit függvénye az (ex) egyenlet <math>y(x_0)=y_0</math> kezdeti feltételt kielégítő egyetlen lokális megoldása. | ||
+ | |||
+ | ''Biz.'' 1) ''Egzisztencia.'' Belátjuk, hogy (impl) egyetlen <math>(x_0,y_0)</math>-on áthaladó implicit függvénye megoldása az (ex) | ||
+ | egyenletnek. | ||
+ | :<math>\left.\frac{\partial F}{\partial y}\right|_{(x_0,y_0)}=Q(x_0,y_0)\ne 0</math> | ||
+ | így az implicitfüggvény-tétel szerint, egyértelműen létezik F-nek y=y(x) implicit függvénye az adott pont egy környezetében és ennek deriváltja az értelmezési tartományának minden pontjában: | ||
+ | :<math>y'(x)=-\frac{\;\cfrac{\partial F}{\partial x}(x,y(x))\;}{\cfrac{\partial F}{\partial y}(x,y(x))}=-\frac{P(x,y(x))}{Q(x,y(x))}</math> | ||
+ | tehát ''y'' az (ex) differenciálegyenletnek is megoldása, és ez kielégíti a kezdeti feltételt. | ||
+ | |||
+ | ''Unicitás.'' Tegyük fel, hogy létezik megoldása a kezdeti érték feladatnak. Legyen egy tetszőleges megoldása ''y'', azaz | ||
+ | :<math>y'(x)=-\frac{P(x,y(x))}{Q(x,y(x))}</math> | ||
+ | Ez az egyenlet a grad F = (P,Q) miatt előáll | ||
+ | :<math>\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial y}y'=0</math> | ||
+ | alakban. Most belátjuk, hogy ''y'' (impl)-nek implicit megoldása. Az összetett függvény differenciálási szabálya miatt ( d(F<math>\circ</math>G)(x,y)=dF(G(x,y))<math>\circ</math> dG(x,y) ) az előző egyenlet a következő formában is írható: | ||
+ | :<math>(F(x,y(x)))'=[\mathrm{grad}\,F|_{(x,y(x))}]\cdot\begin{bmatrix}x'\\y'(x)\end{bmatrix}=\frac{\partial F}{\partial x}|_{(x,y(x))}+y'\frac{\partial F}{\partial y}|_{(x,y(x))}\equiv 0\,</math> | ||
+ | ''x'' értékei egy intervallumból kerülnek ki, ezért az ''integrálszámítás alaptétele'' szerint az x <math>\mapsto</math> F(x,y(x)) egy konstans függvény. De a feltétel szerint <math>y(x_0)=y_0</math> teljesül, ezért x <math>\mapsto</math> y(x) egy <math>(x_0,y_0)</math>-on áthaladó implicit függvénye az F(x,y)=F(<math>x_0,y_0</math>) egyenletnek. Ez az utóbbi azonban egyértelműen van meghatározva, ezért a kezdeti érték feladat minden megoldása egybeesik ezzel az implicit függvénnyel, azaz a megoldás egyértelmű. | ||
+ | |||
+ | 2) Az implicitfüggvény tételében adott egyetlen implicit függvény az 1) egzisztencia része miatt megoldása (ex)-nek és 1) unicitás része miatt ez az egyetlen megoldása (ex)-nek. | ||
+ | |||
+ | ===Az egzaktság jellemzése=== | ||
+ | '''Megjegyzés.''' Az egzakt differenciálegyenletet még | ||
+ | :<math>P(x,y)+Q(x,y)y'=0\,</math> ill. <math>P(x,y)\,\mathrm{d}x+Q(x,y)\,\mathrm{d}y=0\,</math> | ||
+ | alakban is szokás írni. | ||
+ | |||
+ | Ez utóbbi egyenletről azt is mondják, hogy akkor egzakt, ha a ''P''(''x'',''y'')d''x'' + ''Q''(''x'',''y'')d''y'' kifejezés "teljes differenciál", amin azt értik, hogy létezik olyan F(x,y) függvény, melynek teljes differenciálja: | ||
+ | :<math>\mathrm{d}F(x,y)=P(x,y)\,\mathrm{d}x+Q(x,y)\,\mathrm{d}y\,</math> | ||
+ | |||
+ | Ezt a mai jelölésekkel a következőképpen írjuk. Egy F kétváltozós függvény teljes differenciálja egy lineáris leképezés, mely a sztenderd {(1,0),(0,1)} bázisban felírt koordinátáival nem más, mit a parciális deriváltjainak sormátrixa: | ||
+ | :<math>[\mathrm{d}F(x,y)]=\mathrm{grad}\,F(x,y)=\left[\;\frac{\partial F}{\partial x}\;,\;\frac{\partial F}{\partial y}\;\right]</math> | ||
+ | Emiatt a (C) feltétel a következő alakban is írható: | ||
+ | :<math>[\mathrm{d}F]=\left[P,Q\right]\,</math> ill. <math>\mathrm{grad}\,F=[P,Q]\,</math> | ||
+ | |||
+ | Tehát az egzakt egyenletben a (P,Q) vektormező (vektorértékű függvény) '''potenciálos'''. Innen hasznos jellemzést kapunk az egzaktságra a vektoranalízisbeli ismereteinkből. | ||
+ | |||
+ | '''Tétel.''' Legyen ''U'' egyszeresen összefüggő nyílt halmaz, ''P'',''Q'': ''U'' <math>\to</math> '''R''' folytonosan differenciálható függvények (Q sehol sem nulla). A Pdx + Qdy = 0 egyenlet pontosan akkor egzakt, ha | ||
+ | :<math>\frac{\partial P}{\partial y}\equiv\frac{\partial Q}{\partial x}</math> | ||
+ | |||
+ | Az F függvényt, az Pdx + Qdy = 0 egyenlet integráljának nevezzük. | ||
+ | |||
+ | Ezt a tételt jól ismerjük és a bizonyítását a vektoranalízisben vettük. | ||
+ | |||
+ | '''Megjegyzés.''' 1) A feltétel nem más, mint az, hogy a (P,Q) síkbeli vektormező rotációja azonosan nulla. Ugyanis a rotáció a síkbeli (P,Q) vektormező esetén: | ||
+ | :<math>\mathrm{rot}\,(P,Q)=\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}</math> | ||
+ | 2) Bár a szeparábilis egyenlet egzakt, a fenti feltétel az egzaktság ellenőrzésére sokkal szigorúbb mint a szeparábilis egyenlet megoldhatóságának feltétele. | ||
+ | |||
==Lineáris differenciálegyenletek== | ==Lineáris differenciálegyenletek== | ||
===Inhomogén lineáris egyenlet megoldásai=== | ===Inhomogén lineáris egyenlet megoldásai=== | ||
− | '''Tétel.''' Ha ''V'' tetszőleges lineáris tér, '''A''' ∈ Lin(''V'',''W'') lineáris operátor, ''b'' ∈ ''W''. Ha ''x''<sub>0</sub> ∈ ''V'' megoldása az '''A'''''x'' = ''b'' inhomogén egyenletnek, akkor az | + | '''Tétel.''' Ha ''V, W'' tetszőleges lineáris tér, '''A''' ∈ Lin(''V'',''W'') lineáris operátor, ''b'' ∈ ''W''. Ha ''x''<sub>0</sub> ∈ ''V'' megoldása az '''A'''''x'' = ''b'' inhomogén egyenletnek, akkor az |
:<math>\mathbf{A}x=b\,</math> | :<math>\mathbf{A}x=b\,</math> | ||
összes megoldásainak halmaza: | összes megoldásainak halmaza: | ||
27. sor: | 108. sor: | ||
''Bizonyítás.'' | ''Bizonyítás.'' | ||
:<math>\mathbf{A}(\lambda y_1+\mu y_2)=(\lambda .y_1+\mu .y_2)'+f\cdot(\lambda .y_1+\mu .y_2)=</math> | :<math>\mathbf{A}(\lambda y_1+\mu y_2)=(\lambda .y_1+\mu .y_2)'+f\cdot(\lambda .y_1+\mu .y_2)=</math> | ||
− | :<math>=\lambda y_1'+\mu y_2'+\lambda f\cdot y_1+\mu f\cdot y_2=\lambda.\mathbf{A}(y_1)+\mu | + | :<math>=\lambda y_1'+\mu y_2'+\lambda f\cdot y_1+\mu f\cdot y_2=\lambda.\mathbf{A}(y_1)+\mu.\mathbf{A}(y_2)</math> |
'''Következmény.''' A fenti jelölésekkel, tetszőleges ''g'' folytonos függvényre, ha <math>y_0</math> a | '''Következmény.''' A fenti jelölésekkel, tetszőleges ''g'' folytonos függvényre, ha <math>y_0</math> a | ||
36. sor: | 117. sor: | ||
'''Példa.''' Oldjuk meg az | '''Példa.''' Oldjuk meg az | ||
− | :<math>y' | + | :<math>y'+\frac{y}{x}=\sin(x^2)\,</math> |
− | egyenletet! A | + | egyenletet! A partikuláris megoldást keressük az állandók variálása módszerével! |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
===Másodrendű, áll. ehós hom. egyenlet=== | ===Másodrendű, áll. ehós hom. egyenlet=== | ||
61. sor: | 131. sor: | ||
I. Legyen <math>y_1</math> és <math>y_2</math> két lineárisan független megolása az | I. Legyen <math>y_1</math> és <math>y_2</math> két lineárisan független megolása az | ||
:'''A''' ''y'' = 0 | :'''A''' ''y'' = 0 | ||
− | egyenletnek és legyen y ∈ Ker('''A''') tetszőleges.Rögzítsünk egy <math>x_0</math> ∈ I helyet, melyen <math>y(x_0)=u</math> és <math>y'(x_0)=v</math>. Elő fogjuk állítani ezt a partikuláris megoldást a két előbbi megoldás lineáris kombinációjaként. Legyenek: | + | egyenletnek és legyen y ∈ Ker('''A''') tetszőleges. Rögzítsünk egy <math>x_0</math> ∈ I helyet, melyen <math>y(x_0)=u</math> és <math>y'(x_0)=v</math>. Elő fogjuk állítani ezt a partikuláris megoldást a két előbbi megoldás lineáris kombinációjaként. Legyenek: |
:<math>y_1(x_0)=u_1,\quad y_1'=v_1</math> | :<math>y_1(x_0)=u_1,\quad y_1'=v_1</math> | ||
:<math>y_2(x_0)=u_2,\quad y_1'=v_2</math> | :<math>y_2(x_0)=u_2,\quad y_1'=v_2</math> | ||
azt kívánjuk elérni, hogy az | azt kívánjuk elérni, hogy az | ||
:<math>\alpha u_1+\beta u_2=u</math> | :<math>\alpha u_1+\beta u_2=u</math> | ||
− | :<math>\alpha | + | :<math>\alpha v_1+\beta v_2=v</math> |
− | legyen egyértelmű megoldása (α,β)-ra. Ez pontosan akkor van, ha a | + | egyenletrendszernek legyen egyértelmű megoldása (α,β)-ra. Ez pontosan akkor van, ha a |
:<math>W^{\mathbf{A}}(x_0)=\begin{vmatrix}y_1(x_0) & y_2(x_0)\\y_1'(x_0) & y_2'(x_0)\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}u_1 & u_2\\v_1 & v_2\end{vmatrix}=u_1v_2 -u_2v_1</math> | :<math>W^{\mathbf{A}}(x_0)=\begin{vmatrix}y_1(x_0) & y_2(x_0)\\y_1'(x_0) & y_2'(x_0)\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}u_1 & u_2\\v_1 & v_2\end{vmatrix}=u_1v_2 -u_2v_1</math> | ||
determináns (azaz az egyenletrendszer <math>x_0</math>-beli Wronsky-determinánsa) nem nulla. Hiszen ekkor a megoldás egyértelműsége miatt (azaz, hogy u és v egyértelműen meghatározza y-t) azt kapjuk, hogy (α,β) "globális konstansok is", azaz α<math>y_1</math> + β<math>y_2</math> = y. | determináns (azaz az egyenletrendszer <math>x_0</math>-beli Wronsky-determinánsa) nem nulla. Hiszen ekkor a megoldás egyértelműsége miatt (azaz, hogy u és v egyértelműen meghatározza y-t) azt kapjuk, hogy (α,β) "globális konstansok is", azaz α<math>y_1</math> + β<math>y_2</math> = y. | ||
94. sor: | 164. sor: | ||
:<math>\mathrm{Ker}(\mathbf{A})=\{C_1e^{\lambda x}+C_2xe^{\lambda x}\mid C_1,C_2\in\mathbf{R}\}</math> | :<math>\mathrm{Ker}(\mathbf{A})=\{C_1e^{\lambda x}+C_2xe^{\lambda x}\mid C_1,C_2\in\mathbf{R}\}</math> | ||
− | 3. ha λ = α <math> \pm</math> β nemvalós, akkor | + | 3. ha λ = α <math> \pm</math> βi nemvalós, akkor |
:<math>f_1(x)=e^{x(\alpha+i\beta)},\quad\quad f_2(x)=e^{x(\alpha-i\beta)}</math> | :<math>f_1(x)=e^{x(\alpha+i\beta)},\quad\quad f_2(x)=e^{x(\alpha-i\beta)}</math> | ||
azaz | azaz | ||
104. sor: | 174. sor: | ||
bázis, mert lineárisan függetlenek és éppen ezért I. miatt előállítják Ker('''A''')-t. | bázis, mert lineárisan függetlenek és éppen ezért I. miatt előállítják Ker('''A''')-t. | ||
− | ==Geometriai tenzorok== | + | <!--==Geometriai tenzorok== |
:''Lásd erről még Serény [http://www.math.bme.hu/%7Esereny/LINKEK/vektanal.ps.gz jegyzetének (ps.gz/dvi)] 30., 34-35., 70-72. oldalán.'' | :''Lásd erről még Serény [http://www.math.bme.hu/%7Esereny/LINKEK/vektanal.ps.gz jegyzetének (ps.gz/dvi)] 30., 34-35., 70-72. oldalán.'' | ||
112. sor: | 182. sor: | ||
− | Minthogy a tenzorok maguk is | + | Minthogy a tenzorok maguk is invariánsak, találhatunk velük kapcsolatos további vektor, tenzor vagy skalárinvariánsokat. |
Először is megfogalmazzuk, hogy mitől invariáns egy mennyiség. Legyen B és C az n dimenziós '''V''' egy-egy bázisa. Legyen '''T''' a B-t a C-re váltó koordinátaváltás transzformációja, azaz a | Először is megfogalmazzuk, hogy mitől invariáns egy mennyiség. Legyen B és C az n dimenziós '''V''' egy-egy bázisa. Legyen '''T''' a B-t a C-re váltó koordinátaváltás transzformációja, azaz a | ||
134. sor: | 204. sor: | ||
:<math>\det(MN)=\det(M)\cdot\det(N)\,</math> | :<math>\det(MN)=\det(M)\cdot\det(N)\,</math> | ||
Emiatt ha ''A'' az '''A''' tenzor egy mátrixa és ''T'' a koordinátaváltó-mátrix, akkor: | Emiatt ha ''A'' az '''A''' tenzor egy mátrixa és ''T'' a koordinátaváltó-mátrix, akkor: | ||
− | :<math>\det(T^{-1}AT)=\det(T^{-1})\det(A)\det(T)=\det(T^{-1})\det(T)\det(A)=\det(T^{-1}T)\det(A) | + | :<math>\det(T^{-1}AT)=\det(T^{-1})\det(A)\det(T)=\det(T^{-1})\det(T)\det(A)=\,</math> |
− | + | ::<math>=\det(T^{-1}T)\det(A)=\det(I)\det(A)=1\cdot \det(A)=\det(A)\,</math> | |
Hiszen ''T''<sup>-1</sup>''T'' = I az egységmátrix. | Hiszen ''T''<sup>-1</sup>''T'' = I az egységmátrix. | ||
Értelmes tehát az '''A''' tenzor determinánsának értelmezése úgy, hogy det('''A''') az '''A''' tetszőleges mátrixának determinánsa. | Értelmes tehát az '''A''' tenzor determinánsának értelmezése úgy, hogy det('''A''') az '''A''' tetszőleges mátrixának determinánsa. | ||
+ | |||
===Nyom, trace, spur=== | ===Nyom, trace, spur=== | ||
Vegyük a következő mátrix leképezést: | Vegyük a következő mátrix leképezést: | ||
145. sor: | 216. sor: | ||
:<math>(AB)_{ij}=\sum\limits_{k=1}^nA_{ik}B_{kj}\,</math> | :<math>(AB)_{ij}=\sum\limits_{k=1}^nA_{ik}B_{kj}\,</math> | ||
ezért: | ezért: | ||
− | :<math>\mathrm{Sp}(AB)=\sum\limits_{i=1}^n(AB)_{ii}=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{k=1}^nA_{ik}B_{ki}=\sum\limits_{k=1}^n\sum\limits_{i=1}^nB_{ki}A_{ik}=\sum\limits_{k=1}^n(BA)_{kk}=\mathrm{Sp}(BA)\,</math> | + | :<math>\mathrm{Sp}(AB)=\sum\limits_{i=1}^n(AB)_{ii}=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{k=1}^nA_{ik}B_{ki}=\sum\limits_{k=1}^n\sum\limits_{i=1}^nB_{ki}A_{ik}=</math> |
+ | :: <math>=\sum\limits_{k=1}^n(BA)_{kk}=\mathrm{Sp}(BA)\,</math> | ||
Ez a képlet azt mondja, hogy "spur alatt a mátrixok kommutálnak". Az invariancia pedig: | Ez a képlet azt mondja, hogy "spur alatt a mátrixok kommutálnak". Az invariancia pedig: | ||
:<math>\mathrm{Sp}(T^{-1}AT)=\mathrm{Sp}(T^{-1}TA)=\mathrm{Sp}(IA)=\mathrm{Sp}(A)\,</math> | :<math>\mathrm{Sp}(T^{-1}AT)=\mathrm{Sp}(T^{-1}TA)=\mathrm{Sp}(IA)=\mathrm{Sp}(A)\,</math> | ||
159. sor: | 231. sor: | ||
Igaz az alábbi invariancia-tulajdonság. Ha B tetszőleges ortonormált bázis, ['''A''']<sub>B</sub>=''A'' és O<sup>T</sup> = O<sup>-1</sup>, akkor | Igaz az alábbi invariancia-tulajdonság. Ha B tetszőleges ortonormált bázis, ['''A''']<sub>B</sub>=''A'' és O<sup>T</sup> = O<sup>-1</sup>, akkor | ||
:<math>(O^{-1}AO)^{\mathrm{T}}=O^{\mathrm{T}}(O^{-1}A)^{\mathrm{T}}=O^{\mathrm{T}}A^\mathrm{T}(O^{-1})^{\mathrm{T}}=O^{-1}A^{\mathrm{T}}O\,</math> | :<math>(O^{-1}AO)^{\mathrm{T}}=O^{\mathrm{T}}(O^{-1}A)^{\mathrm{T}}=O^{\mathrm{T}}A^\mathrm{T}(O^{-1})^{\mathrm{T}}=O^{-1}A^{\mathrm{T}}O\,</math> | ||
− | (Felhasználtuk a szorzat transzponálásának (''AB'')<sup>T</sup>= ''B''<sup>T</sup>''A''<sup>T</sup> szabályát -- nemdebár a mátrixszorzás nem kommutatív.) Tehát a sztenderd bázisban definiált transzponálás minden ortonormált bázisban transzponálás lesz, így ha csak ezekre | + | (Felhasználtuk a szorzat transzponálásának (''AB'')<sup>T</sup>= ''B''<sup>T</sup>''A''<sup>T</sup> szabályát -- nemdebár a mátrixszorzás nem kommutatív.) Tehát a sztenderd bázisban definiált transzponálás minden ortonormált bázisban transzponálás lesz, így ha csak ezekre szorítkozunk, akkor a '''A'''<sup>T</sup> fenti definíciója invariáns leképezést ad meg. |
Lényeges tehát, hogy transzponálást, szimmetria és antiszimmetria vizsgálatokat a tenzorok tekintetében most úgy végezünk, hogy tudatában vagyunk annak, hogy eközben a hagyományos, geometriai |'''a'''||'''b'''|cos γ definíciójú skaláris szorzást használjuk (illetve ennek komponensenkénti változatát). Ezért nevezzük ezeket néha geometriai tenzoroknak. | Lényeges tehát, hogy transzponálást, szimmetria és antiszimmetria vizsgálatokat a tenzorok tekintetében most úgy végezünk, hogy tudatában vagyunk annak, hogy eközben a hagyományos, geometriai |'''a'''||'''b'''|cos γ definíciójú skaláris szorzást használjuk (illetve ennek komponensenkénti változatát). Ezért nevezzük ezeket néha geometriai tenzoroknak. | ||
185. sor: | 257. sor: | ||
0& \ddots& 0\\ | 0& \ddots& 0\\ | ||
0 & 0& \lambda_n\end{pmatrix}</math> | 0 & 0& \lambda_n\end{pmatrix}</math> | ||
− | Ez nehéz, de fontos tétel. | + | Ez nehéz, de fontos tétel. --> |
− | + | ==A deriválttenzor invariánsai== | |
Tudjuk, hogy ha '''v''' differenciálható vektorfüggvény, akkor az '''r'''<sub>0</sub> pontbeli differenciálján, vagy deriváltján, vagy deriválttenzorán azt az egyértelműen létező '''A''' lineáris leképezést értjük, melyre: | Tudjuk, hogy ha '''v''' differenciálható vektorfüggvény, akkor az '''r'''<sub>0</sub> pontbeli differenciálján, vagy deriváltján, vagy deriválttenzorán azt az egyértelműen létező '''A''' lineáris leképezést értjük, melyre: | ||
:<math>\lim\limits_{\mathbf{r}\to \mathbf{r}_0}\frac{\mathbf{v}(\mathbf{r})-\mathbf{v}(\mathbf{r}_0)-\mathbf{A}(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0|}=\mathbf{0}</math> | :<math>\lim\limits_{\mathbf{r}\to \mathbf{r}_0}\frac{\mathbf{v}(\mathbf{r})-\mathbf{v}(\mathbf{r}_0)-\mathbf{A}(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0|}=\mathbf{0}</math> | ||
194. sor: | 266. sor: | ||
azaz '''A''' vektorinvariánsának duplája a rotáció. A divergencia a skalárinvariáns: | azaz '''A''' vektorinvariánsának duplája a rotáció. A divergencia a skalárinvariáns: | ||
:<math>\mathrm{div}(\mathbf{v})=\mathrm{Sp}(\mathbf{A})</math> | :<math>\mathrm{div}(\mathbf{v})=\mathrm{Sp}(\mathbf{A})</math> | ||
− | Világos, hogy ebből úgy lesznek a parciális deriváltakkal definiált alakok, ha | + | Világos, hogy ebből úgy lesznek a parciális deriváltakkal definiált alakok, ha az '''A''' sztenderd bázisbeli mátrixát, azaz a J Jacobi mátrixot írjuk fel. Ekkor mindkét említett differenciáloperátort a szokásos alakjában kapjuk: |
:<math>\mathrm{J}=\begin{pmatrix}\frac{\partial v_1}{\partial x}& \frac{\partial v_1}{\partial y}& \frac{\partial v_1}{\partial z}\\ | :<math>\mathrm{J}=\begin{pmatrix}\frac{\partial v_1}{\partial x}& \frac{\partial v_1}{\partial y}& \frac{\partial v_1}{\partial z}\\ | ||
\frac{\partial v_2}{\partial x}& \frac{\partial v_2}{\partial y}& \frac{\partial v_2}{\partial z}\\ | \frac{\partial v_2}{\partial x}& \frac{\partial v_2}{\partial y}& \frac{\partial v_2}{\partial z}\\ | ||
200. sor: | 272. sor: | ||
'''Megjegyzés.''' A főtengelytételből következik, hogy hogyan jellemezhető az az eset, amikor az '''A''' deriváltenzor főtengelyre transzformálható. Ez pontosan akkor van, amikor rot('''v''')=0. | '''Megjegyzés.''' A főtengelytételből következik, hogy hogyan jellemezhető az az eset, amikor az '''A''' deriváltenzor főtengelyre transzformálható. Ez pontosan akkor van, amikor rot('''v''')=0. | ||
+ | <!-- | ||
+ | ==Komplex differenciálhatóság== | ||
+ | '''Definíció''' - ''Komplex differenciálhatóság, komplex derivált'' - Legyen ''f'' a ''z''<sub>0</sub> egy környezetében értelmezett függvény. Azt mondjuk, hogy ''f'' '''C'''-deriválható ''z''<sub>0</sub>-ban és deriváltja a ''w'' szám, ha | ||
+ | :<math>\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=w</math> | ||
+ | |||
+ | Jelölése: <math>f'(z_0)</math>. | ||
+ | |||
+ | Azt, hogy az f a ''z''<sub>0</sub>-ban komplex deriválható még úgy is jelöljük, hogy | ||
+ | :<math>f\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{C}}(z_0)</math>. | ||
+ | '''Megj.''' Hasonlóképpen a valós egyváltozós esethez az f komplex differenciálhatósága ''z''<sub>0</sub>-ban ekvivalens azzal, hogy létezik olyan ε(z) függvény, mely a ''z''<sub>0</sub>-ban a 0-hoz tart, ott folytonos és minden ''z''-re az értelmezési tartományból: | ||
+ | :<math>f(z)=f(z_0)+f'(z_0)(z-z_0)+\varepsilon(z)(z-z_0).</math> | ||
+ | '''Példa.''' A következő függvény komplex deriválható a 0-ban: | ||
+ | :<math>f(z)=\overline{z}\cdot z</math> | ||
+ | ''Mo.'' A különbségi hányados: | ||
+ | :<math>\frac{\overline{z}\cdot z-0}{z-0}=\frac{\overline{z}\cdot z}{z}=\overline{z}\to 0</math>, ha z tart nullába. | ||
+ | |||
+ | '''Példa.''' Az alábbi függvény nem deriválható komplex módon a 0-ban: | ||
+ | :<math>f(z)=\overline{z}</math> | ||
+ | ''Mo.'' | ||
+ | A különbségi hányados: | ||
+ | :<math>\frac{\overline{z}-0}{z-0}=\frac{\overline{z}}{z}=\cos(-2\varphi)+i\sin(-2\varphi)</math> | ||
+ | Ennek a határértéke nem létezik a nullában. | ||
+ | ===Jellemzés=== | ||
+ | |||
+ | '''Tétel.''' - ''A komplex differenciálhatóság jellemzése'' - Legyen ''f'' a ''z''<sub>0</sub> = ''x''<sub>0</sub> + i''y''<sub>0</sub> egy környezetében értelmezett függvény. Ekkor az alábbiak ekvivalensek: | ||
+ | :1) <math>f\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{C}}(z_0)</math> | ||
+ | :2) <math>f\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{R}}(x_0,y_0)</math> és <math>[\mathrm{d}f(x_0,y_0)]\in\mathbf{C}</math>. | ||
+ | |||
+ | ''Bizonyítás.'' Legyen ''f'' a ''z''<sub>0</sub> = ''x''<sub>0</sub> + i''y''<sub>0</sub> egy környezetében értelmezett függvény és ''w'' komplex szám. | ||
+ | Tekintsük a következő határértéket: | ||
+ | :<math>\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)-[w]\cdot (z-z_0)}{|z-z_0|}=0</math> | ||
+ | ahol az ''z'', ''z''<sub>0</sub>, ''f''(''z''), ''f''(''z''<sub>0</sub>) mennyisegekre ugy tekintunk, mint vektorokra. | ||
+ | Ez ekvivalens a következővel: | ||
+ | :<math>\lim\limits_{z\to z_0}\left|\frac{f(z)-f(z_0)}{|z-z_0|}-\frac{w\cdot (z-z_0)}{|z-z_0|}\right|=0</math> | ||
+ | ahol az elobb emlitettek mar algebrai ertelemben komplex szamok, nem feltetlenul vektorok. Azaz | ||
+ | :<math>\lim\limits_{z\to z_0}\left|\frac{z-z_0}{|z-z_0|}\left(\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-w\right)\right|=0</math> | ||
+ | Itt (''z''-''z''<sub>0</sub>)/|''z''-''z''<sub>0</sub>| a komplex egységkörön "futó" függvény, hossza 1, ezért a fenti ekvivalnes a következővel: | ||
+ | :<math>\lim\limits_{z\to z_0}\left|\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-w\right|=0</math> | ||
+ | Ami viszont ugyanakkor igaz mint: | ||
+ | :<math>\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=w</math> | ||
+ | Ha a következtetésben felfelé vizsgálódunk, tehát feltesszük a komplex deriválhatóságot ahol ''w'' a komplex derivált, akkor azt kapjuk, hogy a ''w'' mátrixreprezentációjával való mátrixszorzás alkalmas lineáris leképezés a valós derivált számára, azaz létezik [df(z<sub>0</sub>)]=[w]. | ||
+ | |||
+ | Másfelől, ha f valósan deriválható és a deriváltja a ''w'' komplex számot reprezentálja, akkor komplexen is deriválható es komplex derivaltja pont ''w''. | ||
+ | |||
+ | '''Cauchy--Riemann-egyenletek''' A fenti tételben a [df(z)] ∈ '''C''' feltétel (természetesen a totális deriválhatóság esetén) ekvivalens az alábbiakkal. Ha ''f'' = ''u'' + i''v'' és ''z'' = ''x'' +i''y'', akkor | ||
+ | :<math>\begin{cases} | ||
+ | \partial_xu=\partial_yv\\ | ||
+ | \partial_yu=-\partial_x v | ||
+ | \end{cases}</math> | ||
+ | |||
+ | '''Komplex deriváltfüggvény''' Ahol egy f komplex függvény komplex deriválható, ott a deriváltja: | ||
+ | :<math>f'(z)=\partial_x u+\mathrm{i}\partial_xv=\partial_y v+\mathrm{i}\partial_xv=\partial_xu-\mathrm{i}\partial_yu=\partial_y v-\mathrm{i}\partial_yu</math> | ||
+ | |||
+ | '''Definíció''' - Regularitás - Az f komplex függvény reguláris a z pontban, ha f a z egy egész környezetén értelmezett, és a teljes környezetben komplex deriválható. | ||
+ | |||
+ | ===Egy tétel a reziduumról=== | ||
+ | |||
+ | '''Tétel.''' Ha ''f''-nek k-adrendű pólusa van a <math>z_0\in \mathbf{C}</math>-ben (k>0), akkor | ||
+ | :<math> | ||
+ | \mathrm{Res}_{z_0}f=\frac{1}{(k-1)!}\lim\limits_{z\to z_0}((z-z_0)^k f(z))^{(k-1)} | ||
+ | </math> | ||
+ | Az, hogy f-nek k-adrendű pólusa van a <math>z_0</math>-ban, az azt jelenti, hogy ott izolált szingularitása van, és a Laurent-sorában a legmagasabb 1/(z-<math>z_0</math>) hatvány kitevője k. Legyen | ||
+ | :<math>\varphi(z)=(z-z_0)^k f(z)\,, \quad \varphi(z_0)=c_{-k}</math> | ||
+ | Tudjuk, hogy | ||
+ | :<math>f(z)=\frac{c_{-k}}{(z-z_0)^k}+...+\frac{c_{-1}}{z-z_0} +c_0+c_1(z-z_0)+...\,</math> | ||
+ | ezért <math>\varphi</math> már egy Taylor-sor, reguláris és világos, hogy a c<sub>-1</sub> tagot a Taylor-sora k-1-edik tagjának együtthatójából számíthatjuk ki: | ||
+ | :<math>\varphi(z)=(z-z_0)^k f(z)=c_{-k}+...+c_{-1}(z-z_0)^{k-1}+c_0(z-z_0)^k+c_1(z-z_0)^{k+1}+...\,</math> | ||
+ | de a hatványsor tagjainak egyértelműségéből következik, hogy | ||
+ | :<math>\frac{\varphi^{(k-1)}(z_0)}{(k-1)!}=c_{-1}</math> | ||
+ | ezért | ||
+ | :<math> | ||
+ | \mathrm{Res}_{z_0}f=\frac{1}{(k-1)!}(\varphi)^{(k-1)}(z_0) | ||
+ | </math> | ||
+ | --> | ||
+ | ==Potenciál== | ||
+ | |||
+ | A továbbiakban feltesszük, hogy a '''v''' vektorfüggvény '''folytonosan differenciálható'''. | ||
+ | |||
+ | Azt mondjuk, hogy a '''v''' vektorfüggvény '''potenciálos''', ha van olyan ''u'' skalárfüggvény, mely differenciálható és | ||
+ | :<math>\mathrm{grad}\,u=\mathbf{v}</math> | ||
+ | |||
+ | A '''v''' vektorfüggvény '''cirkulációja''' a Γ egyszerű zárt görbén a | ||
+ | :<math>\oint\limits_{\Gamma}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}</math> | ||
+ | vonalintegrál. | ||
+ | |||
+ | ===Jellemzés=== | ||
+ | A potenciálosság rendkívül szoros kapcsolatban van a cirkulációval és a rotációval: | ||
+ | |||
+ | '''Tétel.''' Ha '''v''' folyt. diff. vektormező az ''A'' egyszeresen összefüggő tartományon. Ekkor az alábbi három kijelentés egymással egyenértékű ('''v''' folyt. diff. vektormező): | ||
+ | # '''v''' potenciálos, | ||
+ | # '''v''' rotációja minden pontban nulla, | ||
+ | # '''v''' cirkulációja minden zárt görbére nulla (más kifejezéssel: '''v''' konzetvatív). | ||
+ | |||
+ | '''Bizonyítás.''' | ||
+ | |||
+ | 1. --> 2. Tegyük fel, hogy grad ''u'' = '''v''', így rot '''v''' = rot grad ''u''. Ekkor formálisan hivatkozhatunk például a vektoriális szorzás azon szabályára, hogy párhuzamos vektorok vektoriális szorzata 0, hisz | ||
+ | :<math>\mathrm{rot}(\mathrm{grad}\,u)=\underline{\nabla}\times\underline{\nabla} u</math> | ||
+ | De itt végül is a Young-tételről van szó. Komponensenként kiírva: | ||
+ | :<math>\underline{\nabla}\times\underline{\nabla} u= | ||
+ | \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ | ||
+ | \partial_1 & \partial_2 & \partial_3 \\ | ||
+ | \partial_1 & \partial_2 & \partial_3 | ||
+ | \end{vmatrix}\,u=\mathbf{i}(\partial_2\partial_3 u-\partial_3\partial_2u)+ ...</math> | ||
+ | kétszer folytonsan differenciálható u Hesse-mátrixa szimmertikus, azaz a vegyes másodrendű parciális deriváltak egyenlők, azaz a fenti összeg 0. | ||
+ | |||
+ | 2. --> 3. Itt a Stokes-tételre kell hivatkoznunk: | ||
+ | :<math>\oint\limits_{\partial F}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{F}\mathrm{rot}\,\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}</math> | ||
+ | egyszeresen összefüggő tartományban haladó Γ = ∂F görbére és tetszőleges olyan F felületre, melynek ő a pereme. De rot '''v''' mindenhol 0. így a jobb oldal 0, azaz cirkuláció is. | ||
+ | |||
+ | 3. --> 1. Belátjuk, hogy van potenciál. Legyen '''a''' rögzített pont és '''b''' tetszőlegesen választott. Legyen Γ<sub>1</sub> és Γ<sub>2</sub> két tetszőleges görbe, mely '''a'''-ból '''b'''-be megy. Ekkor az egyszeres összefüggőség miatt a Γ<sub>2</sub> -t visszfelé irányítva: | ||
+ | :<math>\Gamma=\Gamma_1^\frown(-\Gamma_2)</math> | ||
+ | az a zárt görbe, mely az '''a'''-ból megy a Γ<sub>1</sub> mentén a '''b'''-be és a '''b'''-ből megy a Γ<sub>2</sub> mentén, de ellenkezőleg irányítva az '''a'''-ba. De '''v''' minden körintegrálj eltűnik, így | ||
+ | :<math>0=\oint\limits_{\Gamma}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{\Gamma_1}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}+\int\limits_{-\Gamma_2}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{\Gamma_1}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}-\int\limits_{\Gamma_2}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}</math> | ||
+ | azaz | ||
+ | :<math>\int\limits_{\Gamma_1}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{\Gamma_2}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}</math> | ||
+ | Tehát az | ||
+ | :<math>u(x)=\int\limits_{(\gamma)\;a}^{x}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}</math> | ||
+ | skalárfüggvény független az úttól és a felső határ szerinti gradiense ugyanúgy az integrandus, mint az egyváltozós valós függvények esetén. QED. | ||
+ | |||
+ | ===Gradiensre vonatkozó integráltétel=== | ||
+ | |||
+ | Az előbb említett, az integrálfüggvény deriválhatóságának tételének megvan a párja is. Ez az ''első gradienstétel'', mely végül is nem más, mint a Newton--Leibniz-formula többdimenziós általánosításai közül a legelső verzió: | ||
+ | |||
+ | '''Tétel.''' | ||
+ | :<math>u(b)-u(a)=\int\limits_{(\Gamma)\;a}^{b}\mathrm{grad}(u)\,\mathrm{d}\mathbf{r}</math> | ||
+ | (ha '''u''' folyt. diff. és egysz. öf. tartományon ért.) | ||
+ | |||
+ | A tétel beleillik a "nagy integrálátalakító tételek" sorába (Stokes-tétel, Gauss--Osztrogradszkij-tétel és most az I. gradienstétel), melyek alapszlogenje, hogy "integrál a peremen = a derivált integrálja belül", persze itt a perem az {a,b} véges halmaz, a derivált a gradiens, a "belül" pedig a Γ görbe. (S.-t-nél felület a belső, a határán futó zárt görbe a perem és rot a derivált, G--O-t nél térrész a belső, az őt határoló zárt felület a perem és div a derivált). | ||
+ | '''Potenciálkeresés.''' | ||
+ | 1) Pancsolásos módszer és variánsai (alkalmazások: egzakt differenciálegyenlet megoldása, harmonikus társ keresése) | ||
+ | 2) integrálás és az I. grad. tétel alkalmazása | ||
+ | 3) invariáns alakban adott feldatoknál primitívfüggvény keresés. | ||
+ | ===Hossz n-edik deriváltja=== | ||
+ | Ez utóbbi megoldáshoz tudnunk kell, hogy a hossz n-edik deriváltja mi. Ezt a többváltozós függvények analízisében az összetett függvény deriválásánál tanultuk: | ||
+ | ha '''r''' nem nulla, akkor | ||
+ | :<math>\mathrm{grad} |\mathbf{r}|^n =n|\mathbf{r}|^{n-1}\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|} | ||
+ | </math> | ||
+ | mert a külső függvény: <math>t\mapsto t^n</math>, a belső pedig <math>\mathbf{r}\mapsto |\mathbf{r}|</math>. Az utóbbi deriváltja koordinátás alakban: | ||
+ | :<math>\mathrm{grad}\,\sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_m^2}=(\frac{2x_1}{2\sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_m^2}}, ..., \frac{2x_m}{2\sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_m^2}})=\frac{(x_1,x_2, ..., x_m}{\sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_m^2}}</math> | ||
+ | tehát a függvénykompozíció deriválására vonatkozó tétel szerint: | ||
+ | :<math>\mathrm{grad} (f(\Phi(\mathbf{r})))=f'(\Phi(\mathbf{r}))\cdot\mathrm{grad}\Phi(\mathbf{r})=n|\mathbf{r}|^{n-1}\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}</math> | ||
+ | <!-- | ||
==Analitikus függvény reguláris== | ==Analitikus függvény reguláris== | ||
255. sor: | 469. sor: | ||
'''Analitikus függvény reguláris.''' Hiszen, ha f analitikus, akkor lokálisan hatványsor. | '''Analitikus függvény reguláris.''' Hiszen, ha f analitikus, akkor lokálisan hatványsor. | ||
− | ''Bizonyítás.'' | + | ''Bizonyítás.'' Belátjuk, hogy a hatványsor a középpont körüli elég kis körben mindenütt differenciálható. Legyen R a konvergenciasugár, egyelőre legyen ''r'' < ''R'' (később erre adunk becslést) és legyen |
− | :<math>z\in \mathrm{B}_{ | + | :<math>z\in \mathrm{B}_{r}(0)\,</math> |
− | + | továbbá Δ''z'' olyan, hogy | |
− | :<math>z+\Delta z\in \mathrm{B}_{ | + | :<math>z+\Delta z\in \mathrm{B}_{r}(0)\,</math> |
+ | még mindig teljesüljön. | ||
A következő függvény ''z''-beli komplex differenciálhatóságát kell belátni: | A következő függvény ''z''-beli komplex differenciálhatóságát kell belátni: | ||
267. sor: | 482. sor: | ||
:<math>\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n\right)'=\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n n z^{n-1}</math> | :<math>\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n\right)'=\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n n z^{n-1}</math> | ||
− | Világos, hogy ez utóbbi sor is konvergens a konvergenciakör belsejében. Erről a Cauchy--Hadamard-tétellel győződhetünk meg, ha |z| | + | Világos, hogy ez utóbbi sor is konvergens a konvergenciakör belsejében. Erről a Cauchy--Hadamard-tétellel győződhetünk meg, ha |z|< R, így: |
:<math>\limsup\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_{n}|\cdot n }=\limsup\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}\cdot 1=\frac{1}{R}\,</math> | :<math>\limsup\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_{n}|\cdot n }=\limsup\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}\cdot 1=\frac{1}{R}\,</math> | ||
273. sor: | 488. sor: | ||
Képezzük a különbségi hányadost és vonjuk le belőle ezt a kifejezést! | Képezzük a különbségi hányadost és vonjuk le belőle ezt a kifejezést! | ||
− | :<math> | + | :<math>\frac{P(z+\Delta z)-P(z)}{\Delta z}-\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n} nz^{n-1}=</math> |
− | :<math>= | + | :<math>=\frac{\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(z+\Delta z)^n-\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n}{\Delta z}-\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}n z^{n-1}=</math> |
− | :<math>= | + | :<math>=\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\left(\frac{(z+\Delta z)^n-z^n}{\Delta z}-n z^{n-1}\right)=</math> |
ekkor a kéttagú összeg négyzetére vonatkozó | ekkor a kéttagú összeg négyzetére vonatkozó | ||
− | :<math>(A+B)^n=\sum\limits_{k=0}^{n}A^kB^{n-k}\,</math> | + | :<math>(A+B)^n=\sum\limits_{k=0}^{n} {n\choose k} A^kB^{n-k}\,</math> |
− | algebrai azonossággal | + | algebrai azonossággal alakítjuk át a hatványt, majd amivel lehet leosztunk és amit lehet kiemelünk: |
− | :<math>= | + | :<math>=\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\frac{(z+\Delta z)^n-z^n-n z^{n-1}(\Delta z)}{\Delta z}=</math> |
− | :<math>= | + | :<math>=\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\frac{-z^n-n z^{n-1}(\Delta z)+\sum\limits_{k=0}^{n}{n\choose k}(\Delta z)^kz^{n-k}}{\Delta z}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\frac{\sum\limits_{k=2}^{n}{n\choose k}(\Delta z)^kz^{n-k}}{\Delta z}=</math> |
− | :<math>= | + | :<math>=\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\sum\limits_{k=2}^{n}{n\choose k}(\Delta z)^{k-1}z^{n-k}=\Delta z\cdot\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\sum\limits_{k=2}^{n}{n\choose k}(\Delta z)^{k-2}z^{n-k}</math> |
− | Azt kell ellenőrizni, hogy | + | Azt kell ellenőrizni, hogy második tényezőben lévő sor konvergens-e, hiszen ekkor a véges összeget a nullához tartóval összeszorozva nullához tartót kapunk. Ezt a gyökkritériummal látjuk be: |
− | :<math>\left|a_n\sum\limits_{k=2}^{n}\Delta z^{k-2}z^{n-k}\right|\leq|a_n|\cdot | + | :<math>\left|a_n\sum\limits_{k=2}^{n}{n\choose k}\Delta z^{k-2}z^{n-k}\right|\leq|a_n|\cdot \sum\limits_{k=2}^{n}{n\choose k}|\Delta z|^{k-2}|z|^{n-k}\leq |a_n|\cdot \sum\limits_{k=2}^{n}{n\choose k}\cdot |\Delta z|^{n-2}=</math> |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | :<math>=|a_n|\cdot |\Delta z|^{n-2}\cdot\sum\limits_{k=2}^{n}{n\choose k}\leq |a_n|\cdot |\Delta z|^{n-2}\cdot 2^n</math> | |
+ | itt |z|-t korlátoztuk 1-nél kisebbre, |Δz|-t pedig nemnulla, de |z|-nél kisebbre (z=0 triviális eset). A konvergencia ekkor | ||
+ | :<math>\limsup\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|\cdot 2^n\cdot |\Delta z |^{n-2}\}}=\limsup\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}\cdot 2 \cdot |\Delta z|<\frac{1}{R}R=1\,</math> | ||
+ | amennyiben az |Δz| < |z| < r olyan, hogy r < 1/(2R). | ||
+ | |||
+ | Így a különbségi hányados minusz a majdani derivált abszolút eltérése felülbecsülhető egy nullához tartó szor korlátos függvénnyel, azaz P deriválató ''z''-ben és a deriváltja a formális tagonkénti deriválással kapott sor. A korlátosság onnan adódik, hogy hatványsor összegfüggvénye folytonos és a min{1/(2R),R/2} sugarú zárt körön, mint kompakt halmazon korlátos. | ||
+ | |||
+ | '''Feladat.''' Legyen g:[a,b]<math> \to</math>'''C''' differenciálható görbe a komplex síkon, ''f'' komplex reguláris függvény, melyre: Ran(g) ⊆ Dom(f). Igazoljuk, hogy a h: ''t'' <math>\mapsto</math> f(g(t)) is differenciálható és h'(t) = f'(g(t))<math>\cdot</math> g'(t), ahol <math>\cdot</math> a komplex szorzás. (Használjuk fel, hogy 1) a komplex diffhatóság jellemzése az, hogy a függvény mint kétváltozós valós vektorfüggvény totálisan differenciálható és a Jacobi-mátrixa komplex számot reprezentál, 2) a reguláris komplex függvény deriváltja olyan komplex szám, melyet az f, mint kétváltozós valós vektorfüggvény Jacobi-mátrixa reprezentál.) | ||
==Komplex körintegrálok== | ==Komplex körintegrálok== | ||
− | Ebben a tételben a komplex körintegrálok | + | Ebben a tételben a komplex körintegrálok kiszámításával foglalkozunk. |
− | + | '''Definíció.''' Ha ''G'':[a,b]<math>\to</math>'''C''' görbe és f olyan komplex függvény, melyre Ran(G)⊆Dom(f), és f folytonos, akkor belátható, hogy létezik a | |
:<math>\begin{matrix} | :<math>\begin{matrix} | ||
303. sor: | 522. sor: | ||
& |\Delta z_i|\to 0 & | & |\Delta z_i|\to 0 & | ||
\end{matrix}</math> | \end{matrix}</math> | ||
− | Riemann-közelítőösszeg | + | határérték, mely egy speciális Riemann-közelítőösszeg határértéke. Itt a görbén kijelöltük a véges sok <math>z_i</math> pontot, melyek a szigorúan monoton (<math>t_i</math>)-khez tartoznak a <math>z_i=z(t_i)</math> definícióval. Ezen <math>[z(t_i),z(t_{i+1})]</math> görbeszakaszokon belül felvettük tetszőlegesen a ζ<sub>i</sub> közbülső pontokat, és a Δz<sub>i</sub>=<math>[z(t_i),z(t_{i+1})]</math> szakaszokkal elkészítettük az f(ζ<sub>i</sub>)Δz<sub>i</sub> komplex szorzatokat. A határérték ezek görbére vett összegének határértéke. Ez a határérték az f függvény ''G''-re vett komplex integrálja. |
+ | |||
+ | |||
+ | '''Kiszámítási formula.''' Belátható, hogy a fenti integrál a következőkkel egyenlő: | ||
+ | :<math> | ||
+ | \int\limits_{G}f(z)\mathrm{d}z=\int\limits_{a}^b f(z(t))\cdot \dot{z}(t)\,\mathrm{d}t</math> | ||
+ | |||
+ | '''Megjegyzes''' A helyettesiteses integralas tetelenek felhasznalasaval belathato, hogy ez az integral fuggetlen a parametertezestol, ha azok ugyanazt az iranyitast hatarozzak meg. | ||
+ | |||
+ | '''Megj.''' A kiszamitasi formulaban skalarvaltozos vektorerteku fuggveny integralja szerepel. Ezt a kovetkezokeppen kell kiszamitani: | ||
+ | |||
+ | <math>\int\limits_a^b\begin{pmatrix}f_1(t)\\f_2(t)\end{pmatrix}\,dt=\begin{pmatrix}\int\limits_a^b f_1(t) \,dt\\ \int\limits_a^b f_2(t)\,dt\end{pmatrix} | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | ===Visszavezetés valós vonalintegrálra es feluleti integralra=== | ||
+ | Az integrál kifejezhető vonalintegrállal. Ha ugyanis f= u + iv, akkor az f=(u,v) vektormezőnek olyan differenciálforma szerinti integrálja a komplex pályamenti integrál, mely az f=(u,v) vektor és a dz=(dx,dy) infinitezimális elmozdulásvektor komplex szorzásaként jön létre: | ||
:<math>\int\limits_{G}f(z)\mathrm{d}z = \int\limits_{G} u\mathrm{d}x-v\mathrm{d }y + i\int\limits_{G} u\mathrm{d}y+v\mathrm{d }x</math> | :<math>\int\limits_{G}f(z)\mathrm{d}z = \int\limits_{G} u\mathrm{d}x-v\mathrm{d }y + i\int\limits_{G} u\mathrm{d}y+v\mathrm{d }x</math> | ||
Ebben a felírásban az (u,-v) és (v,u) olyan segédvektormezők, melyek vonalintegráljai adják meg a komplex integrál valós és képzetes részét. Tehát az integrált a | Ebben a felírásban az (u,-v) és (v,u) olyan segédvektormezők, melyek vonalintegráljai adják meg a komplex integrál valós és képzetes részét. Tehát az integrált a | ||
:<math>\mathbf{P}=\begin{pmatrix}u\\-v\end{pmatrix}</math> és <math>\mathbf{Q}=\begin{pmatrix}v\\u\end{pmatrix}</math> | :<math>\mathbf{P}=\begin{pmatrix}u\\-v\end{pmatrix}</math> és <math>\mathbf{Q}=\begin{pmatrix}v\\u\end{pmatrix}</math> | ||
− | segédvektormezők síkbeli '''vonalintegráljai''' | + | segédvektormezők síkbeli '''vonalintegráljai''' |
− | :<math>\mathbf{P} | + | :<math>\int\limits_{G}\mathbf{P}\,\mathrm{d}\mathbf{r}+i\int\limits_{G}\mathbf{Q}\,\mathrm{d}\mathbf{r}</math> |
− | + | ||
− | + | vagy | |
− | + | :<math>\mathbf{P}'=\begin{pmatrix}-v\\-u\end{pmatrix}</math> és <math>\mathbf{Q}'=\begin{pmatrix}u\\-v\end{pmatrix}</math> | |
− | :<math>\int\limits_{F} \mathbf{ | + | segédvektormezők síkbeli '''felületi integráljai''' |
− | + | :<math>\int\limits_{F}\mathbf{P}'\,\mathrm{d}\mathbf{f}+i\int\limits_{F}\mathbf{Q}'\,\mathrm{d}\mathbf{f}</math> | |
+ | szolgáltatják. | ||
− | ( | + | Itt érdemes feleleveníteni, hogy az '''v''' = (<math>v_1</math>, <math>v_2</math>) síkvektormező vonalintegrája a <math>v_1</math>dx+<math>v_2</math>dy differenciálforma integrálja az L görbére, felületi integrálja a (<math>v_1</math>, <math>v_2</math>)(<math>df_1</math>, <math>df_2</math>)=v_1df_1+v_2df_2 "differencialforma" integralasa adja. Itt az infinitezimalis feluletelem (<math>df_1</math>, <math>df_2</math>)=(<math>dy</math>,-<math>dx</math>): |
+ | :<math>\int\limits_{F} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}=\int\limits_{-F} v_1 \mathrm{d}y-v_2\mathrm{d}x</math>, | ||
+ | Ahol az F irányítását megváltoztattuk F'=-F-re, amikor vonalintegrálra tértünk át. | ||
===Primitívfüggvény=== | ===Primitívfüggvény=== | ||
335. sor: | 571. sor: | ||
===A komplex analízis főtétele=== | ===A komplex analízis főtétele=== | ||
− | A komplex N--L-tétel nem túl hatékony eszköz. A N--L-tétel síkvektoranalízisbeli általánosításához kell folyamodnunk, például a | + | A komplex N--L-tétel nem túl hatékony eszköz. A N--L-tétel síkvektoranalízisbeli általánosításához kell folyamodnunk, például a Stokes-tételhez, ha többet akarunk mondani: |
− | ''' | + | '''Stokes-tétel''' ('''R'''<sup>2</sup>-re) Legyen a ''D'' síkbeli tartomany határa a ∂D zárt görbe, megfelelően irányítva. Ha '''v''' folytonosan '''R'''-differenciálható egy nyílt halmazon, mely tartalmazza ''D'' lezártját, akkor |
− | :<math>\oint\limits_{ | + | :<math>\oint\limits_{\partial D} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{D} \mathrm{rot}(\mathbf{v})\,\mathrm{d}A</math> |
− | + | Ekkor csak a rotációt kell kiszámítanunk: | |
+ | |||
+ | :<math>\mathrm{rot}\mathbf{P}=\frac{\partial u}{\partial y} - \left(-\frac{\partial v}{\partial x}\right)=0</math> | ||
+ | :<math>\mathrm{rot}\mathbf{Q}=\frac{\partial v}{\partial y} - \frac{\partial u}{\partial x}=0</math> | ||
− | |||
− | |||
− | |||
Ami, a C-R-egyenletek miatt igaz. | Ami, a C-R-egyenletek miatt igaz. | ||
354. sor: | 590. sor: | ||
'''Goursat-lemma'''. A T háromszöglapon reguláris ''f'' komplex függvény integrálja a háromszög határán nulla: | '''Goursat-lemma'''. A T háromszöglapon reguláris ''f'' komplex függvény integrálja a háromszög határán nulla: | ||
:<math>\oint\limits_{\partial T}f=0\,</math> | :<math>\oint\limits_{\partial T}f=0\,</math> | ||
+ | |||
+ | ''Bizonyitas.'' A haromszoget osszuk fel 4 egybevago haromszogre: Δ=Δ<sub>1</sub>∪Δ<sub>2</sub>∪Δ<sub>3</sub>∪Δ<sub>4</sub>. Ha jol iranyitjuk a kis haromszogek hatarat, akkor | ||
+ | :<math>\int\limits_{\Delta}f=\int\limits_{\Delta_1}f+\int\limits_{\Delta_2}f+\int\limits_{\Delta_3}f+\int\limits_{\Delta_4}f</math> | ||
+ | Ezt felulbecsulhetjuk a kovetkezovel: | ||
+ | :<math>\left|\int\limits_{\Delta}f\right|\leq\sum\limits_{i=1}^4\left|\int\limits_{\Delta_i}f\right|\leq 4\max\limits_{i=1}^4\left|\int\limits_{\Delta_i}f\right|=4\left|\int\limits_{\Delta^{(1)}}f\right|</math> | ||
+ | most Δ<sup>(1)</sup>-et bontjuk fel es folytatva a felosztast egy nullahoz tarto nagysagu haromszogekbol allo egymasba skatulyazott (Δ<sup>(''n'')</sup>) haromszogsorozatot kapunk, mely egy ponthoz, a ''z''<sub>0</sub>-hoz tart. A haromszogek kerulete K/2<sup>''n''</sup>, ha K az eredeti haromszog kerulete. Erra a sorozatra tovabba: | ||
+ | :<math>\left|\int\limits_{\Delta}f\right|\leq 4^n\left|\int\limits_{\Delta^{(n)}}f\right|</math> | ||
+ | igaz. | ||
+ | |||
+ | Most felhasznaljuk a komplex differencialhatosagot. Tetszoleges ε>0 szamra van olyan kornyezete ''z''<sub>0</sub>-nak, es a haromszogsorozatnak olyan N indexe, melyre az n-edik tagok mar a kornyezetben vannak es az alabbi formulaban az |ε(z)|<ε: | ||
+ | :<math>f(z)=f(z_0)+f'(z_0)(z-z_0)+\varepsilon(z)(z-z_0)</math> | ||
+ | Ezt integralva a haromszogre: | ||
+ | :<math>|\int\limits_{\Delta^{(n)}}f(z)|=|\int\limits_{\Delta^{(n)}}f(z_0)+f'(z_0)(z-z_0)+\varepsilon(z)(z-z_0)\,dz|=|\int\limits_{\Delta^{(n)}}\varepsilon(z)(z-z_0)\,dz|=</math> | ||
+ | Itt az utolso kifejezest az ivhossz integrallal felulbecsuljuk: | ||
+ | :<math>\leq\int\limits_{\Delta^{(n)}}|\varepsilon(z)||(z-z_0)|\,d|z|<\varepsilon K^2/4^n</math> | ||
+ | Mivel ε tetszoleges volt, ezert az integral eltunik. | ||
Innen már könnyen adódik a komplex analízis főtétele, melyet először Cauchy modott ki ugyan csak folytonosan diffható komplex függvényre, de Goursat ezt megfejelte a gyengített feltételével: | Innen már könnyen adódik a komplex analízis főtétele, melyet először Cauchy modott ki ugyan csak folytonosan diffható komplex függvényre, de Goursat ezt megfejelte a gyengített feltételével: | ||
− | + | '''Főtétel.''' Ha a ''D'' egyszeresen összefüggő tartományon reguláris az ''f'' komplex függvény, akkor a tartományban minden zárt G egyszeru görbén a függvény integrálja nulla: | |
:<math>\oint\limits_{G} f=0\,</math> | :<math>\oint\limits_{G} f=0\,</math> | ||
− | ===Cauchy- | + | ===Cauchy-formulák=== |
− | A Cauchy- | + | A Cauchy-formulák azért múlhatatlan fontosságúak, mert ezeknek következménye, hogy egy reguláris függvény nem csak egyszer, de végtelenszer differenciálható, sőt analitikus. |
'''Tétel.''' Ha f az z_0 egy U környezetén reguláris, akkor tetszőleges az U-ban haladó, a z_0-t egyszer körülhurkoló pozitívan irányított G zárt görbére: | '''Tétel.''' Ha f az z_0 egy U környezetén reguláris, akkor tetszőleges az U-ban haladó, a z_0-t egyszer körülhurkoló pozitívan irányított G zárt görbére: | ||
− | :<math>f(z_0)=\frac{ | + | :<math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint\limits_{G}\frac{f(z)}{(z-z_0){n+1}}\,\mathrm{d}z</math> |
''Bizonyítás.'' Vegyünk a <math>z_0</math> körül egy olyan K kört, mely a pozitívan irányított G belsejében halad és ''r'' > 0 sugarú. Definiáljuk azt a görbét melyet a következőkppen kapunk. Metszük át egy befelé menő s sugárral a G és K közötti tartományt. Tegyük fel, hogy G és K kezdőpontjai a sugár metszetei. tákoljuk össze a következő görbét: | ''Bizonyítás.'' Vegyünk a <math>z_0</math> körül egy olyan K kört, mely a pozitívan irányított G belsejében halad és ''r'' > 0 sugarú. Definiáljuk azt a görbét melyet a következőkppen kapunk. Metszük át egy befelé menő s sugárral a G és K közötti tartományt. Tegyük fel, hogy G és K kezdőpontjai a sugár metszetei. tákoljuk össze a következő görbét: | ||
438. sor: | 690. sor: | ||
'''Következmény.''' Reguláris függvény analitikus. | '''Következmény.''' Reguláris függvény analitikus. | ||
+ | ===Szakadások osztályozása=== | ||
− | '''Következmény.''' Az izolált szingularitások a sorfejtés szerint osztályozhatóak éspedig. Az ''f'' függvény <math>z_0</math> izolált szinguláris pontja körüli | + | '''Következmény.''' Az izolált szingularitások a sorfejtés szerint osztályozhatóak éspedig. Az ''f'' függvény a <math>z_0</math> izolált szinguláris pontja körüli sorfejtésében |
− | # pontosan akkor van csak reguláris tag, ha a szingularitás | + | # pontosan akkor van csak reguláris tag, ha a szingularitás megszűntethető, |
# pontosan akkor van véges sok főrészbeli tag, ha végtelen a határérék <math>z_0</math>-ban, | # pontosan akkor van véges sok főrészbeli tag, ha végtelen a határérék <math>z_0</math>-ban, | ||
− | # pontosan akkor van végtelen sok főrészbeli tag (lényeges szingularitás), ha nem létezik a határérék <math>z_0</math>-ban. | + | # pontosan akkor van végtelen sok főrészbeli tag (lényeges szingularitás), ha nem létezik a határérék <math>z_0</math>-ban.--> |
+ | |||
+ | == Felületi integrál, Gauss-tétel== | ||
+ | |||
+ | '''Definíció.''' Legyen <math>\mathbf{v}</math> vektormező, mely <math>\mathbf{R}^3</math> egy nyílt ''D'' tartományán értelmezett. | ||
+ | Legyen <math>\mathbf{r}:T\to D,\quad (u,v)\mapsto\mathbf{r}(u,v)</math> folytonosan differenciálható függvény, melynek értelmezési tartománya a ''T'' mérhető síktartomány. Ekkor a vektorfüggvény integrálját és létezését a felület mentén a következő limesszel definiáljuk: | ||
+ | :<math>\exists\int\limits_{\mathrm{Ran}(\mathbf{r})}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{F}=L\quad\quad\Longleftrightarrow\quad\quad\sum\limits_{i=1}^n\mathbf{v}(\mathbf{r}_i)\Delta\mathbf{F}_{i}\underset{\begin{matrix}n\to \infty\\\mathbf{r}_i\in F\\|\Delta\mathbf{F}_{i}|\to 0\end{matrix}}{\longrightarrow} L\in \mathbf{R}</math> | ||
+ | Itt tehát ''T''-t egymásba nem nyúló, mérhető ''I<sub>i</sub>'' síktartományokra bontjuk fel, amelyek ármérője egyre csökken. | ||
+ | Az integrál létezésére és értékére az alábbi egyszerű kritériumot és tartományi integrált írhatjuk föl. Legyen <math>\mathbf{r}:T\to D,\quad (u,v)\mapsto\mathbf{r}(u,v)</math> folytonosan differenciálható függvény, melynek értelmezési tartománya a ''T'' mérhető síktartomány. Ekkor az <math>\mathbf{r}(u,v)</math> deriváltjai léteznek, a felületi integrál létezik és felírható | ||
+ | :<math>\int\limits_{F}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{F}=\int\limits_{T_{u,v}}\mathbf{v}(\mathbf{r}(u,v))\cdot \frac{\partial \mathbf{r}(u,v)}{\partial u}\times\frac{\partial \mathbf{r}(u,v)}{\partial v}\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v</math> | ||
+ | Ha a skaláris szorzat '''invariáns''' értelmezését vesszük, akkor a fenti formulát még a következőképpen is felírhatjuk: | ||
+ | :<math>\int\limits_{G}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}=\int\limits_{G}v_{\perp}\,|\mathrm{d}\mathbf{f}|</math> | ||
+ | ahol <math>v_\perp =\mathbf{v}\cdot \frac{\mathbf{n}}{|\mathbf{n}|}</math> | ||
+ | , azaz a felületi integrál egyenlő a vektormezőnek a felületi érintősík normálisa irányába eső előjeles komponense ugyanazon felületre vonatkozó felszín szerinti integráljával. | ||
+ | |||
+ | Megjegyzendő, hogy a képletben szereplő vegyes szorzat értéke <math>3\times 3</math>-as determinánsként számítható ki a komponenseiből: | ||
+ | :<math>\mathbf{v}(\mathbf{r}(u,v))\cdot \frac{\partial \mathbf{r}(u,v)}{\partial u}\times\frac{\partial \mathbf{r}(u,v)}{\partial v}=\begin{vmatrix}\quad[\mathbf{v}(\mathbf{r}(u,v))]\quad\\\\ | ||
+ | \left[\frac{\partial \mathbf{r}(u,v)}{\partial u}\right]\\\\ | ||
+ | \left[\frac{\partial \mathbf{r}(u,v)}{\partial v}\right]\end{vmatrix}</math> | ||
+ | |||
+ | '''Tétel ''' -- Gauss-Osztrogradszkíj -- Legyen <math>\mathbf{v}:D\to \mathbf{R}^3</math> folytonosan differenciálható vektormező, <math>D\subseteq \mathbf{R}^3</math> tartomány és legyen ''V'' a ''D''-ben lévő mérhető térrész, melynek pereme az <math>\partial V=F\subseteq D</math> zárt felület a térrészből kifelé mutató irányítással. Ekkor | ||
+ | :<math> | ||
+ | \oint\limits_{\partial V}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{F}=\int\limits_{V}\mathrm{div}\,\mathbf{v}\,\mathrm{d}V</math> | ||
+ | |||
+ | A tétel fontos alkalmazása a gömbszimmetrikus vektormezők felületi integráljának kiszámítása, ezek közül is a legfontosabb a reciproknégyzetes erősségű vektormezők. | ||
+ | ===A ponttöltés keltette elektromos mező divergenciája, fluxusa=== | ||
+ | |||
+ | Számítsuk ki a | ||
+ | :<math>\mathbf{v}=\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|^3}</math> | ||
+ | vektormező integrálját a ''tetszőleges'' Γ zárt felületre, mely az origót belsejében tartalmazó V kompakt tartomány pereme, kifelé irányítva! | ||
+ | |||
+ | Először kiszámítjuk a vektoremző divergenciáját ott, ahol értelmezve van: | ||
+ | |||
+ | :<math>\mathrm{div}\,\mathbf{v}=\mathrm{div}\,(\mathbf{r}|\mathbf{r}|^{-3})=3|\mathbf{r}|^{-3}+\mathbf{r}(-3)|\mathbf{r}|^{-4}\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}=0</math> | ||
+ | |||
+ | Itt felhasználtuk a divergenciára vontkozó szorzási szabályt. | ||
+ | |||
+ | Az integrál előállítható egy a '''v''' értelmezési tartományába eső tartomány peremére és egy másik felületre vonatkozó felületi integrálként. Legyen ugyanis ''G'' az origó középpontú olyan ''R'' sugarú gömb, mely benne van ''V'' belsejében és ''D'' az a tartomány pedig legyen ''V'' minusz ''G''. Ekkor | ||
+ | :<math>\int_{\partial D} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}=\int_{\partial V} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}+\int_{-\partial G} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}</math> | ||
+ | azaz | ||
+ | :<math>\int_{\partial V} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}= \int_{\partial D} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}+\int_{\partial G} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}=\int_{D} \mathrm{div}(\mathbf{v})\,\mathrm{d}\mathrm{V}+\int_{\partial G} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}=\int_{\partial G} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}</math> | ||
+ | Tehát csak G határára kell kiszámítani a vektormező fluxusát. Ezt az invariáns formulával tesszük: | ||
+ | :<math>\int_{\partial G} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}=\int_{\partial G} \frac{1}{R^2}\,|\mathrm{d}\mathbf{f}|=\frac{1}{R^2}\int_{\partial G} \,|\mathrm{d}\mathbf{f}|=4\pi</math> | ||
+ | (Imént lényegében az elektrosztatikus Gauss-törtvény állítását vezettük le a Coulomb-törvényből) | ||
+ | |||
+ | ==Vonalintegrál, Stokes-tétel== | ||
+ | Legyen <math>\mathbf{v}</math> vektormező, mely <math>\mathbf{R}^n</math> egy nyílt ''D'' tartományán értelmezett. | ||
+ | Legyen <math>\Gamma:[a,b]\to D,\quad t\mapsto\mathbf{r}(t)</math> folytonosan differenciálható függvény. Ekkor a vektormező integrálját és létezését a görbe mentén a következő limesszel definiáljuk: | ||
+ | :<math>\exists\int\limits_{\Gamma}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=L\quad\quad\Longleftrightarrow\quad\quad\sum\limits_{i=1}^n\mathbf{v}(\mathbf{r}_i)(\mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{i-1})\underset{\begin{matrix}n\to \infty\\\mathbf{r}_i\in \Gamma\\|\mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{i-1}|\to 0\\\mathbf{r}_{i}=\mathbf{r}(t_i)\\(t_i)_{i=1...n}\mbox{ szig. mon. nov.} \end{matrix}}{\longrightarrow} L\in \mathbf{R}</math> | ||
+ | Az integrál létezésére és értékére az alábbi egy egyszerű kritériumot és egydimenziós integrált írhatjuk föl. Legyen <math>G:[t_1,t_2]\to D,\quad t\mapsto\mathbf{r}(t)</math> legfeljebb véges sok pontban nem folytonosan differenciálható függvény. Ekkor az <math>\mathbf{r}(t)</math> deriváltja véges sok pont kivételével létezik, a vonalintegrál létezik és felírható | ||
+ | : <math>\int\limits_{G}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{t_1}^{t_2}\mathbf{v}(\mathbf{r}(t))\cdot \dot{\mathbf{r}}(t)\,\mathrm{d}t</math> | ||
+ | Ha a skaláris szorzat invariáns értelmezését vesszük, akkor a fenti formulát még a következőképpen is felírhatjuk: | ||
+ | : <math>\int\limits_{G}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{t_1}^{t_2}v_{\parallel }(\mathbf{r}(t))\cdot|\dot{\mathbf{r}}(t)|\,\mathrm{d}t=\int\limits_{G}v_{\parallel }\,|\mathrm{d}\mathbf{r}|</math> | ||
+ | ahol <math>v_\parallel =\mathbf{v}\cdot \mathbf{t}</math>, azaz a vektormezőnek a görbe érintője irányába eső előjeles vetülete. | ||
+ | |||
+ | '''Tétel ''' -- Stokes-tétel -- Legyen <math>\mathbf{v}:D\to \mathbf{R}^3</math> folytonosan differenciálható vektormező, <math>D\subseteq \mathbf{R}^3</math> tartomány és legyen <math>F\subseteq D</math> irányított, peremes felület, ennek pereme <math>\partial F</math>. Ekkor | ||
+ | : <math>\oint\limits_{\partial F}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{F}\mathrm{rot}\,\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{F}</math> | ||
+ | Megjegyezzük, hogy a perem irányítása kompatibilis kell hogy legyen a felület irányításával, ellenkező esetben az integrál a fenti ellentettje lesz. Kompatibilis a felület és a pereme irányítása, ha "a felületi normálvektor irány a fejünk iránya, a lábunk a felületen van, a peremen haladunk végig és a felület bal kéz felől esik (jobbkézszabály)". | ||
+ | |||
+ | ===Végtelen hosszú egyenes vezető keltette mágneses mező rotációja és cirkulációja=== | ||
+ | |||
+ | A tétel alkalmazására a következő hengerszimmetrikus esetet nézzük. | ||
+ | |||
+ | Legyen | ||
+ | :<math>\mathbf{v}=\frac{\mathbf{k}\times \mathbf{r}}{|\mathbf{k}\times\mathbf{r}|^2}</math> | ||
+ | a vektormező és a felület az [xy] sík egy olyan ''tetszőleges'' T mérhető tartománya, mely a belsejében tartalmazza az origót és a pereme a G zárt görbe. Igazoljuk ekkor, hogy G-re az integrál 2π. | ||
+ | |||
+ | Először kiszámítjuk a vektormező rotációját. Ehhez felhasználjuk a rotációra vonatkozókövetkező azonosságot: | ||
+ | :<math>\mathbf{rot}\,(\Phi\mathbf{u})=\mathbf{rot}(\mathbf{u})\cdot \Phi+\mathrm{grad}\Phi\times\mathbf{u}</math> | ||
+ | |||
+ | :<math>\mathbf{rot}\,\mathbf{v}=\mathbf{rot}(\mathbf{k}\times \mathbf{r})\cdot |\mathbf{k}\times\mathbf{r}|^{-2}+(\mathbf{k}\times \mathbf{r})\times\mathrm{grad}(|\mathbf{k}\times\mathbf{r}|^{-2})</math> | ||
+ | A rotáció a deriválttenzor vektorinvariánsának kétszerese, mivel lineáris leképezés deriváltja saját maga, ezért a képletbeli rotáció 2''k''. A képletbeli gradiens alatti skalármező a tengelytől mért távolságtől függ, ezért: | ||
+ | :<math>\mathbf{rot}\,\mathbf{v}=2\mathbf{k}|\mathbf{k}\times\mathbf{r}|^{-2}+(\mathbf{k}\times \mathbf{r})\times(-2)|\mathbf{k}\times\mathbf{r}|^{-3}\cdot \frac{(\mathbf{k}\times \mathbf{r})\times\mathbf{k}}{|\mathbf{k}\times\mathbf{r}|}=\mathbf{0}</math> | ||
+ | Most felbontjuk a T tartományt egy D lyukas tartományra és egy körlapra. A K körlap sugara legyen olyan R, mely esetén a körlap a T belsejében van benne. Ekkor | ||
+ | :<math>\int\limits_{\partial D}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{\partial T}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}+\int\limits_{-\partial K}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}</math> | ||
+ | Tehát | ||
+ | :<math>\int\limits_{\partial T}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{\partial D}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}+\int\limits_{\partial K}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{D}\mathbf{rot}(\mathbf{v})\,\mathrm{d}\mathbf{f}+\int\limits_{\partial K}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{\partial K}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}</math> | ||
+ | Innen a vonalintegrál invariáns értelmezése folytán: | ||
+ | :<math>\int\limits_{\partial K}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{\partial K}\frac{1}{R}|\mathrm{d}\mathbf{r}|=\frac{1}{R}2\pi R=2\pi</math> | ||
+ | (Itt lényegében a végtelen hosszú egyenes vezető körüli görbén a mágneses indukció körintegrálját határoztuk meg.) | ||
+ | |||
+ | ==CROSS és alkalmazása és a Green-tétel== | ||
+ | '''Definíció.''' A '''kettő vagy háromdimenziós térben''' CROSS a következő lineáris ill. bilineáris leképezés: | ||
+ | |||
+ | Ha <math>\mathbf{v}=(v_1,v_2)\in \mathbf{R}^2</math>, akkor <math>\mathsf{cross}(\mathbf{v})=(-v_2,v_1)</math>. | ||
+ | |||
+ | Ha <math>\mathbf{v}, \mathbf{w}\in \mathbf{R}^3</math>, akkor <math>\mathsf{cross}(\mathbf{v},\mathbf{w})=\mathbf{v}\times\mathbf{w}</math>. | ||
+ | |||
+ | ===Leképezések invariánsai=== | ||
+ | Az '''S''' lineáris leképezés '''szimmetrikus''', ha minden ortonormált bázisban a mátrixa szimmetrikus mátrix. Igaz az, hogy '''S''' pontosan akkor szimmetrikus, ha minden '''u''', '''v''' vektorra | ||
+ | :'''u'''<math>\cdot</math>('''Sv''')='''v'''<math>\cdot</math>('''Su'''), | ||
+ | ahol <math>\cdot</math> a skaláris szorzás. | ||
+ | |||
+ | Az '''A''' lineáris leképezés'''antiszimmetrikus''', ha minden ortonormált bázisban a mátrixa antiszimmetrikus mátrix. Igaz az, hogy '''A''' pontosan akkor antiszimmetrikus, ha minden '''u''', '''v''' vektorra | ||
+ | :'''u'''<math>\cdot</math>('''Av''')=-'''v'''<math>\cdot</math>('''Au'''), | ||
+ | ahol <math>\cdot</math> a skaláris szorzás. | ||
+ | |||
+ | Bármely '''T''' lineáris leképezés egyértélműen előáll '''S''' + '''A''' alakban, ahol '''S''' szimmetrikus, '''A''' pedig antiszimmetrikus, éspedig: | ||
+ | :<math>\mathbf{T}=\frac{1}{2}(\mathbf{T}+\mathbf{T}^{\mathrm{T}})+\frac{1}{2}(\mathbf{T}-\mathbf{T}^{\mathrm{T}})</math> | ||
+ | |||
+ | Két fontos tétel: | ||
+ | |||
+ | '''Tétel''' -- Ha '''A''' ∈'''R'''<sup>3</sup> (illetve '''R'''<sup>2</sup> ) antiszimmetrikus, akkor létezik olyan '''a''' vektor (vagy ''a'' skalár), hogy minden '''v''' vektorra: | ||
+ | :<math>\mathbf{Av}=\mathbf{a}\times\mathbf{v}=\mathsf{cross}(\mathbf{a},\mathbf{v})\quad\quad(\mathrm{vagy}\;\mathbf{Av}=a\cdot\mathsf{cross}(\mathbf{v}))</math> | ||
+ | |||
+ | '''a'''-t (ill. ''a''-t) az '''A''' '''vektorinvariánsá'''nak nevezzük (bár a síkon ez skalár). A tételt elég a sztenderd bázisban igazolni, ott az '''a'''×( . ) opertátorral, azonos így '''A''' ez az operátor. | ||
+ | |||
+ | '''Főtengelyétel''' -- Ha '''S''' ∈'''R'''<sup>n×n</sup> szimmetrikus, akkor minden sajátértéke valós és létezik a sajátvektorokból álló B ortonormált bázis, amiben '''S''' főtengelyre transzformálható, azaz diagonális és az elemei az '''S''' sajátértékei: | ||
+ | :<math>[\mathbf{S}]_{\{\mathbf{v}_1,...,\mathbf{v}_n\}}=\begin{pmatrix}\lambda_1& 0& 0\\ | ||
+ | 0& \ddots& 0\\ | ||
+ | 0 & 0& \lambda_n\end{pmatrix}</math> | ||
+ | Ez nehéz, de fontos tétel. | ||
+ | |||
+ | ===A deriválttenzor invariánsai=== | ||
+ | Tudjuk, hogy ha '''v''' differenciálható vektorfüggvény, akkor az '''r'''<sub>0</sub> pontbeli differenciálján, vagy deriváltján, vagy deriválttenzorán azt az egyértelműen létező '''A''' lineáris leképezést értjük, melyre: | ||
+ | :<math>\lim\limits_{\mathbf{r}\to \mathbf{r}_0}\frac{\mathbf{v}(\mathbf{r})-\mathbf{v}(\mathbf{r}_0)-\mathbf{A}(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0|}=\mathbf{0}</math> | ||
+ | Minthogy az '''A''' deriválttenzor lineáris leképezés, ezért érdemes külön elnevezni az invariánsait ('''h''' tetszőleges vektora a térnek): | ||
+ | :<math>\mathbf{A}\mathbf{h}=\mathbf{A}_s\mathbf{h}+\left.\frac{1}{2}\mathbf{rot}(\mathbf{v})\right|_{\mathbf{r_0}}\times\mathbf{h}</math> | ||
+ | azaz '''A''' vektorinvariánsának duplája a rotáció.'''A'''<sub>s</sub> a derivált leképezés szimmetrikus része. A divergencia a skalárinvariáns: | ||
+ | :<math>\mathrm{div}(\mathbf{v})=\mathrm{Tr}(\mathbf{A})</math> | ||
+ | Világos, hogy ebből úgy lesznek a parciális deriváltakkal definiált alakok, ha az '''A''' sztenderd bázisbeli mátrixát, azaz a J Jacobi mátrixot írjuk fel. Ekkor mindkét említett differenciáloperátort a szokásos alakjában kapjuk: | ||
+ | :<math>\mathrm{J}=\begin{pmatrix}\frac{\partial v_1}{\partial x}& \frac{\partial v_1}{\partial y}& \frac{\partial v_1}{\partial z}\\ | ||
+ | \frac{\partial v_2}{\partial x}& \frac{\partial v_2}{\partial y}& \frac{\partial v_2}{\partial z}\\ | ||
+ | \frac{\partial v_3}{\partial x}& \frac{\partial v_3}{\partial y}& \frac{\partial v_3}{\partial z}\end{pmatrix}</math> | ||
+ | |||
+ | ===Integrálok kiszámítási formulái=== | ||
+ | Felszín szerinti intergálok: | ||
+ | |||
+ | Síkban: <math>\int\limits_{F} \varphi|df|=\int\limits_{t=t_1}^{t_2} \varphi(r(t))|\mathsf{cross}(\dot{r}(t))|dt</math> | ||
+ | |||
+ | Térben: <math>\int\limits_{F} \varphi|df|=\int\limits_{(u,v)\in T} \varphi(r(u,v))|\mathsf{cross}(r_u(u,v),r_v(u,v))|dudv</math> | ||
+ | |||
+ | Felületmenti intergálok: | ||
+ | |||
+ | Síkban: <math>\int\limits_{F} vdf=\int\limits_{t=t_1}^{t_2} v(r(t))\mathsf{cross}(\dot{r}(t))dt</math> | ||
+ | |||
+ | Térben: <math>\int\limits_{F} vdf=\int\limits_{(u,v)\in T} v(r(u,v))\mathsf{cross}(r_u(u,v),r_v(u,v))dudv</math> | ||
+ | |||
+ | Síkban a felületi és felszín integrál kifejezhető az ívhossz és a vonalintegrállal, a következőképpen. Mivel <math>|\mathsf{cross}(a)|=|a|</math>, ezért | ||
+ | :<math>\int\limits_{F} \varphi|df|=\int\limits_{t=t_1}^{t_2} \varphi(r(t))|\mathsf{cross}(\dot{r}(t))|dt=\int\limits_{t=t_1}^{t_2} \varphi(r(t))|\dot{r}(t))|dt=\int \limits_{L}\varphi|dr|</math>, | ||
+ | ahol L és F paraméterezése <math>t\mapsto r(t)</math> ugyanaz. | ||
+ | |||
+ | Felületi integrál esetén, ha F egy T tartomány peremdarabja, akkor | ||
+ | |||
+ | :<math>\int\limits_{F} vdf=\int\limits_{-F}\mathsf{cross}(v)dr</math> | ||
+ | |||
+ | ugyanis felhasználva, hogy cross(dx,dy)=(-dy,dx) és cross(<math>v_1</math>,<math>v_2</math>)=(-<math>v_2</math>,<math>v_1</math>) | ||
+ | |||
+ | :<math>\int\limits_{F} vdf=\int\limits_{F}v_1(-dy)+v_2dx=\int\limits_{F}v_2dx-v_1dy=\int\limits_{F}-(-v_2dx+v_1dy)=-\int\limits_{F}-v_2dx+v_1dy=</math> | ||
+ | :<math>=\int\limits_{-F}-v_2dx+v_1dy=\int\limits_{-F}\mathsf{cross}(v)dr</math> | ||
+ | Itt -F, mint vonal a T tartomány peremének egy darabja, amint pozitívan van irányítva (ha tudjuk, hogy F kifelé irányított) | ||
+ | ===Green-tétel=== | ||
+ | Legyen a (P,Q) síkbeli vektormező egy U nyílt halmazon folytonosan differenciálható és legyen T az U egy kompakt mérhető része, ∂T a peremét alkotó görbe. Ekkor | ||
+ | :<math>\oint\limits_{\partial T} Pdx+Qdy=\int\limits_{T}\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}dxdy</math> | ||
+ | |||
+ | Ezt a tételt egy spéci T háromszöglapra bizonyítjuk. Legyen | ||
+ | :<math>T:=\{(x,y)\mid 0\leq x\leq 1,\quad 0\leq y\leq 1-x\}</math> | ||
+ | Az így definiált T az x tengelyre vonatkozóan normáltartomány. A bizonyításban szükség lesz arra, hogy T-t y tengelyre vonatkozó normáltartományként is megadjuk: | ||
+ | :<math>T:=\{(x,y)\mid 0\leq y\leq 1,\quad 0\leq x\leq 1-y\}</math> | ||
+ | Határa: | ||
+ | :<math>\partial T=[(0,0),(1,0)]\cup[(1,0),(0,1)]\cup[(0,1),(0,0)]</math> | ||
+ | A vonaldarabok paraméterezése legyen rendre: (t,0), ha t∈[0,1], (t,1-t), ha t∈[0,1] (ennek az irányításét majd meg kell fordítani) és (0,t), t∈[0,1] (ennek is meg kell fordítani). | ||
+ | Ekkor | ||
+ | :<math>\oint\limits_{\partial T} Pdx+Qdy=\int\limits_{0}^1P(t,0)dt-\int\limits_{0}^1 P(t,1-t)-Q(t,1-t)dt-\int\limits_{0}^1 Q(0,t)dt=</math> | ||
+ | :<math>=\int\limits_{0}^1P(t,0)- P(t,1-t)dt+\int\limits_{0}^1 Q(1-t,t)-Q(0,t)dt=\int\limits_{0}^1P(x,0)- P(x,1-x) dx+\int\limits_{0}^1 Q(1-y,y)-Q(0,y)dy=</math> | ||
+ | Itt végeztünk egy paramétercserét. | ||
+ | :<math>=\int\limits_{0}^1 Q(1-y,y)-Q(0,y)dy-\int\limits_{0}^1 P(x,1-x)-P(x,0)dx=\int\limits_{y=0}^1\int\limits_{x=0}^{1-y} \frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}dxdy-\int\limits_{x=0}^1\int\limits_{y=0}^{1-x}\frac{\partial P(x,y)}{\partial y}dydx=</math> | ||
+ | Ezután pedig felhasználjuk, hogy a két integrál ugyanarra a tartományra vett kettősintegrál: | ||
+ | :<math>\int\limits_{T}\frac{\partial Q}{\partial x}dxdy-\int\limits_{T}\frac{\partial P}{\partial y}dxdy=\int\limits_{T}\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}dxdy</math> | ||
+ | A tétel érvényes minden ''n''-szeresen összefüggő tartományra is (az ''n-1'' db lyukat tartalmazó kilyukasztott körlappal homeomorf tartományokra), mert egyfelől változatlan marad, ha görbevonalú háromszögre térünk át (integráltranszformációval), másfelől minden ''n''-szeresen összefüggő tartomány felbontható véges sok görbevonalú háromszögre, ahol az integrálok összegében a belső szakaszok eltűnnek és a tétel szintén érvényben marad. | ||
+ | |||
+ | A Green-tétel a (háromdimenziós) Stokes-tétel speciális esete, hiszen a (P,Q,0) vektormező rotációja pont (0,0,∂<sub>x</sub>Q-∂<sub>y</sub>P). A Green-tételből levezethető a kétdimenziós Gauss-tétel, a következőképpen. Legyen T a síkbeli peremes tartomány és ∂T a pereme mint pozitívan irányított zárt görbe (ill. véges sok görbe diszjunkt úniója, ha ''n''-szeresen összefüggő, ''n''>1). Ekkor a Q:=P, P:=-Q szereposztással felírva a Green-tételt: | ||
+ | :<math>\oint\limits_{\partial T} -Qdx+Pdy=\int\limits_{T}\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}dxdy</math> | ||
+ | Itt a baloldali integrandus a (P,Q) vektormező cross-ja, ami viszont a ∂T-re, mint valódi felületre vett integrál ellenkezője: | ||
+ | :<math>\int\limits_{T}\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}dxdy=\oint\limits_{\partial T} -Qdx+Pdy=\oint\limits_{\partial T} \mathsf{cross}(P,Q) dr=\oint\limits_{-\partial T} (P,Q) df</math> | ||
+ | ahol persze ∂<sub>x</sub>P+∂<sub>y</sub>Q=div(P,Q) és a -∂T valódi felület a tartományból kifelé van irányítva. |
A lap jelenlegi, 2018. június 16., 19:16-kori változata
Tartalomjegyzék |
Egzakt differenciálegyenlet
Definíció
Legyen U ⊆ R2 nyílt halmaz és P,Q: U R folytonos függvények, Q sehol sem nulla. Azt mondjuk, hogy az
differenciálegyenlet egzakt, ha létezik olyan F: U R folytonosan differenciálható függvény, hogy
Elméleti példa. Minden
alakú szeparábilis differenciálegyenlet egzakt, hiszen ha g integrálfüggvénye G, akkor
Alkalmas tehát az alábbi függvény:
Jelen esetben a G függvény deriváltja (G'=g) sehol sem nulla folytonos függvény, ezért szigorúan monoton. Emiatt kifejezhető y éspedig:
Megjegyzés. A megoldásokat implicit módon adja meg az
egyenlet. Mivel
ezért az implicitfüggvény-tétel miatt y-t "ki lehet fejezni". Érdemes felelevenítenünk magát az implicitfüggvény-tételt:
Implicitfüggvény-tétel -- Ha a Φ: I×J R folytonosan differenciálható függvény az (x0,y0) ∈ int(I×J) pontban teljesíti a ∂Φ/∂y ≠ 0 feltételt, akkor a (x0,y0) pont egy környezetében egyértelműen létezik az Φ(x,y)=Φ(x0,y0) egyenletnek az (x0,y0) ponton áthaladó implicit függvénye, azaz az x0 egy K⊆I környezetében értelmezett, J-beli értékű y deriválható függvény, melyre minden x ∈ K esetén:
- ,
és ennek deriváltja minden x ∈ K-ban:
Egzakt egyenlet egzisztencia- és unicitástétele
Tétel. Legyenek P és Q az U ⊆ R2 nyílt halmazon értelmezett folytonos valós függvények, Q sehol se nulla, grad F = (P,Q) valamely F: U R folytonosan differenciálható függvénnyel és (x0,y0) ∈ U. Ekkor
1) az
- (ex) y'=-P/Q
egyenletnek egyértelműen létezik az y0 = y(x0) kezdeti feltételt kielégítő y lokális megoldása és
2) az
- (impl) F(x,y) = F(x0,y0)
egyenlet (x0,y0)-on áthaladó egyetlen lokális implicit függvénye az (ex) egyenlet y(x0) = y0 kezdeti feltételt kielégítő egyetlen lokális megoldása.
Biz. 1) Egzisztencia. Belátjuk, hogy (impl) egyetlen (x0,y0)-on áthaladó implicit függvénye megoldása az (ex) egyenletnek.
így az implicitfüggvény-tétel szerint, egyértelműen létezik F-nek y=y(x) implicit függvénye az adott pont egy környezetében és ennek deriváltja az értelmezési tartományának minden pontjában:
tehát y az (ex) differenciálegyenletnek is megoldása, és ez kielégíti a kezdeti feltételt.
Unicitás. Tegyük fel, hogy létezik megoldása a kezdeti érték feladatnak. Legyen egy tetszőleges megoldása y, azaz
Ez az egyenlet a grad F = (P,Q) miatt előáll
alakban. Most belátjuk, hogy y (impl)-nek implicit megoldása. Az összetett függvény differenciálási szabálya miatt ( d(FG)(x,y)=dF(G(x,y)) dG(x,y) ) az előző egyenlet a következő formában is írható:
x értékei egy intervallumból kerülnek ki, ezért az integrálszámítás alaptétele szerint az x F(x,y(x)) egy konstans függvény. De a feltétel szerint y(x0) = y0 teljesül, ezért x y(x) egy (x0,y0)-on áthaladó implicit függvénye az F(x,y)=F(x0,y0) egyenletnek. Ez az utóbbi azonban egyértelműen van meghatározva, ezért a kezdeti érték feladat minden megoldása egybeesik ezzel az implicit függvénnyel, azaz a megoldás egyértelmű.
2) Az implicitfüggvény tételében adott egyetlen implicit függvény az 1) egzisztencia része miatt megoldása (ex)-nek és 1) unicitás része miatt ez az egyetlen megoldása (ex)-nek.
Az egzaktság jellemzése
Megjegyzés. Az egzakt differenciálegyenletet még
- ill.
alakban is szokás írni.
Ez utóbbi egyenletről azt is mondják, hogy akkor egzakt, ha a P(x,y)dx + Q(x,y)dy kifejezés "teljes differenciál", amin azt értik, hogy létezik olyan F(x,y) függvény, melynek teljes differenciálja:
Ezt a mai jelölésekkel a következőképpen írjuk. Egy F kétváltozós függvény teljes differenciálja egy lineáris leképezés, mely a sztenderd {(1,0),(0,1)} bázisban felírt koordinátáival nem más, mit a parciális deriváltjainak sormátrixa:
Emiatt a (C) feltétel a következő alakban is írható:
- ill.
Tehát az egzakt egyenletben a (P,Q) vektormező (vektorértékű függvény) potenciálos. Innen hasznos jellemzést kapunk az egzaktságra a vektoranalízisbeli ismereteinkből.
Tétel. Legyen U egyszeresen összefüggő nyílt halmaz, P,Q: U R folytonosan differenciálható függvények (Q sehol sem nulla). A Pdx + Qdy = 0 egyenlet pontosan akkor egzakt, ha
Az F függvényt, az Pdx + Qdy = 0 egyenlet integráljának nevezzük.
Ezt a tételt jól ismerjük és a bizonyítását a vektoranalízisben vettük.
Megjegyzés. 1) A feltétel nem más, mint az, hogy a (P,Q) síkbeli vektormező rotációja azonosan nulla. Ugyanis a rotáció a síkbeli (P,Q) vektormező esetén:
2) Bár a szeparábilis egyenlet egzakt, a fenti feltétel az egzaktság ellenőrzésére sokkal szigorúbb mint a szeparábilis egyenlet megoldhatóságának feltétele.
Lineáris differenciálegyenletek
Inhomogén lineáris egyenlet megoldásai
Tétel. Ha V, W tetszőleges lineáris tér, A ∈ Lin(V,W) lineáris operátor, b ∈ W. Ha x0 ∈ V megoldása az Ax = b inhomogén egyenletnek, akkor az
összes megoldásainak halmaza:
Bizonyítás. 1) Ha x ∈ Ker(A), akkor Ax = 0. Ekkor
azaz ekkor x+x0 ∈ M.
2) Ha
- és
akkor
tehát x ∈ Ker(A). QED.
Megjegyzés. Tudjuk tehát akármilyen lineáris térben az inhomogén egyenlet összes megoldását, ha ismert egy megoldása. Ha tehát Ax=b lineáris differenciálegyenlet, akkor a tétel azt a szlogent fejezi ki, hogy inhomogén lineáris differenciálegyenlet általános megoldása egyenlő a homogén egyenlet általános megoldása plusz az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldása.
Elsőrendű inh. lin. diff. egyenlet és az állandó variálása
Állítás. Ha f: I R folytonos függvény akkor az
lineáris operátor a Lin(C1(I),C(I)) téren.
Bizonyítás.
Következmény. A fenti jelölésekkel, tetszőleges g folytonos függvényre, ha y0 a
differenciálegyenlet egy megoldása, akkor az egyenlet általános megoldása egyenlő a
homogén egyenlet általános megoldása plusz y0.
Példa. Oldjuk meg az
egyenletet! A partikuláris megoldást keressük az állandók variálása módszerével!
Másodrendű, áll. ehós hom. egyenlet
Tétel. Ha a,b ∈ R, akkor az
C2(I) C(I) lineáris operátor magja kétdimenziós.
Megoldás. A bizonyítás két részből fog állni. Először is Laplace-transzformációval belátjuk, hogy ha dim Ker(A) legalább kettő, akkor legfeljebb 2. Másodszor pedig mutatunk 2 lineárisan független megoldást.
Bizonyítás nélkül elfogadjuk azt a tényt, hogy ha ezen egyenlet esetén egy adott pontban kezdeti értéket adunk az y-nak és az y'-nek akkor a megoldás (ha van) egyértelmű. Szemléletes képpel, ez azt jelenti, hogy ha a kezdőfázist és a sebességet megadjuk, akkor azzal a teljes hullámformát megkapjuk.
I. Legyen y1 és y2 két lineárisan független megolása az
- A y = 0
egyenletnek és legyen y ∈ Ker(A) tetszőleges. Rögzítsünk egy x0 ∈ I helyet, melyen y(x0) = u és y'(x0) = v. Elő fogjuk állítani ezt a partikuláris megoldást a két előbbi megoldás lineáris kombinációjaként. Legyenek:
azt kívánjuk elérni, hogy az
- αu1 + βu2 = u
- αv1 + βv2 = v
egyenletrendszernek legyen egyértelmű megoldása (α,β)-ra. Ez pontosan akkor van, ha a
determináns (azaz az egyenletrendszer x0-beli Wronsky-determinánsa) nem nulla. Hiszen ekkor a megoldás egyértelműsége miatt (azaz, hogy u és v egyértelműen meghatározza y-t) azt kapjuk, hogy (α,β) "globális konstansok is", azaz αy1 + βy2 = y.
Az egyenlet Laplace-transzformáltja:
- (s2 + as + b)(v2Y1 − v1Y2) + (s + a)(u2v1 − u1v2) = 0
Ennek az egyenletnek minden s-re fenn kell állnia, ezért ha u2v1 − u1v2 = 0 lenne, akkor v2Y1 − v1Y2 = 0 is lenne (minden s-re), azaz Y2 és Y1 lineárisan kifejezhetők lennének egymással, ami ellentmondana a rájuk tett kezdeti feltevésnek.
II. A megoldéskeresési feladatot kicsit bővebb körben, a valós változós, komplex értékű kétszer folytonosan R-differenciálható függvények körében oldjuk meg. Tehát ekkor A a C2(I,C) térből a C(I,C) térbe hat. Ezek között fogunk valós megoldás keresni. A differenciáloperátornak sajátfüggvénye az exponenciális függvény, így tetszőleges λ ∈ C
próbafüggvény behelyettesítésével kapjuk:
Tehát a megoldások:
1. ha λ1 ≠ λ2 valósak, akkor
bázis, mert lineárisan függetlenek és éppen ezért I. miatt előállítják Ker(A)-t:
2. ha λ1 = λ2 valósak, akkor keresnünk kell mégegy az eλx-től lineárisan független megoldást.
Világos, hogy ez az, hiszen a egyenletet eλx-vel leosztva, a polinom balodalú adódna, ami csak akkor lehet a nullapolinom, ha az ehók mind nullák.
3. ha λ = α βi nemvalós, akkor
azaz
megoldások, melyek azonban komplexek. De ezeket összeadva, illetve a különbségüket i-vel beszorozva már valós megoldásokat kapunk (ezek az előbbi végzett műveletek lineárisak voltak, így a függvények megoldás mivoltán nem változtattak). Azaz:
a tér pedig:
bázis, mert lineárisan függetlenek és éppen ezért I. miatt előállítják Ker(A)-t.
A deriválttenzor invariánsai
Tudjuk, hogy ha v differenciálható vektorfüggvény, akkor az r0 pontbeli differenciálján, vagy deriváltján, vagy deriválttenzorán azt az egyértelműen létező A lineáris leképezést értjük, melyre:
Minthogy az A deriválttenzor maga is tenzor, ezért érdemes külön elnevezni az invariánsait (h tetszőleges vektora a térnek):
azaz A vektorinvariánsának duplája a rotáció. A divergencia a skalárinvariáns:
Világos, hogy ebből úgy lesznek a parciális deriváltakkal definiált alakok, ha az A sztenderd bázisbeli mátrixát, azaz a J Jacobi mátrixot írjuk fel. Ekkor mindkét említett differenciáloperátort a szokásos alakjában kapjuk:
Megjegyzés. A főtengelytételből következik, hogy hogyan jellemezhető az az eset, amikor az A deriváltenzor főtengelyre transzformálható. Ez pontosan akkor van, amikor rot(v)=0.
Potenciál
A továbbiakban feltesszük, hogy a v vektorfüggvény folytonosan differenciálható.
Azt mondjuk, hogy a v vektorfüggvény potenciálos, ha van olyan u skalárfüggvény, mely differenciálható és
A v vektorfüggvény cirkulációja a Γ egyszerű zárt görbén a
vonalintegrál.
Jellemzés
A potenciálosság rendkívül szoros kapcsolatban van a cirkulációval és a rotációval:
Tétel. Ha v folyt. diff. vektormező az A egyszeresen összefüggő tartományon. Ekkor az alábbi három kijelentés egymással egyenértékű (v folyt. diff. vektormező):
- v potenciálos,
- v rotációja minden pontban nulla,
- v cirkulációja minden zárt görbére nulla (más kifejezéssel: v konzetvatív).
Bizonyítás.
1. --> 2. Tegyük fel, hogy grad u = v, így rot v = rot grad u. Ekkor formálisan hivatkozhatunk például a vektoriális szorzás azon szabályára, hogy párhuzamos vektorok vektoriális szorzata 0, hisz
De itt végül is a Young-tételről van szó. Komponensenként kiírva:
kétszer folytonsan differenciálható u Hesse-mátrixa szimmertikus, azaz a vegyes másodrendű parciális deriváltak egyenlők, azaz a fenti összeg 0.
2. --> 3. Itt a Stokes-tételre kell hivatkoznunk:
egyszeresen összefüggő tartományban haladó Γ = ∂F görbére és tetszőleges olyan F felületre, melynek ő a pereme. De rot v mindenhol 0. így a jobb oldal 0, azaz cirkuláció is.
3. --> 1. Belátjuk, hogy van potenciál. Legyen a rögzített pont és b tetszőlegesen választott. Legyen Γ1 és Γ2 két tetszőleges görbe, mely a-ból b-be megy. Ekkor az egyszeres összefüggőség miatt a Γ2 -t visszfelé irányítva:
az a zárt görbe, mely az a-ból megy a Γ1 mentén a b-be és a b-ből megy a Γ2 mentén, de ellenkezőleg irányítva az a-ba. De v minden körintegrálj eltűnik, így
azaz
Tehát az
skalárfüggvény független az úttól és a felső határ szerinti gradiense ugyanúgy az integrandus, mint az egyváltozós valós függvények esetén. QED.
Gradiensre vonatkozó integráltétel
Az előbb említett, az integrálfüggvény deriválhatóságának tételének megvan a párja is. Ez az első gradienstétel, mely végül is nem más, mint a Newton--Leibniz-formula többdimenziós általánosításai közül a legelső verzió:
Tétel.
(ha u folyt. diff. és egysz. öf. tartományon ért.)
A tétel beleillik a "nagy integrálátalakító tételek" sorába (Stokes-tétel, Gauss--Osztrogradszkij-tétel és most az I. gradienstétel), melyek alapszlogenje, hogy "integrál a peremen = a derivált integrálja belül", persze itt a perem az {a,b} véges halmaz, a derivált a gradiens, a "belül" pedig a Γ görbe. (S.-t-nél felület a belső, a határán futó zárt görbe a perem és rot a derivált, G--O-t nél térrész a belső, az őt határoló zárt felület a perem és div a derivált).
Potenciálkeresés. 1) Pancsolásos módszer és variánsai (alkalmazások: egzakt differenciálegyenlet megoldása, harmonikus társ keresése) 2) integrálás és az I. grad. tétel alkalmazása 3) invariáns alakban adott feldatoknál primitívfüggvény keresés.
Hossz n-edik deriváltja
Ez utóbbi megoldáshoz tudnunk kell, hogy a hossz n-edik deriváltja mi. Ezt a többváltozós függvények analízisében az összetett függvény deriválásánál tanultuk: ha r nem nulla, akkor
mert a külső függvény: , a belső pedig . Az utóbbi deriváltja koordinátás alakban:
tehát a függvénykompozíció deriválására vonatkozó tétel szerint:
Felületi integrál, Gauss-tétel
Definíció. Legyen vektormező, mely egy nyílt D tartományán értelmezett. Legyen folytonosan differenciálható függvény, melynek értelmezési tartománya a T mérhető síktartomány. Ekkor a vektorfüggvény integrálját és létezését a felület mentén a következő limesszel definiáljuk:
Itt tehát T-t egymásba nem nyúló, mérhető Ii síktartományokra bontjuk fel, amelyek ármérője egyre csökken. Az integrál létezésére és értékére az alábbi egyszerű kritériumot és tartományi integrált írhatjuk föl. Legyen folytonosan differenciálható függvény, melynek értelmezési tartománya a T mérhető síktartomány. Ekkor az deriváltjai léteznek, a felületi integrál létezik és felírható
Ha a skaláris szorzat invariáns értelmezését vesszük, akkor a fenti formulát még a következőképpen is felírhatjuk:
ahol , azaz a felületi integrál egyenlő a vektormezőnek a felületi érintősík normálisa irányába eső előjeles komponense ugyanazon felületre vonatkozó felszín szerinti integráljával.
Megjegyzendő, hogy a képletben szereplő vegyes szorzat értéke -as determinánsként számítható ki a komponenseiből:
Tétel -- Gauss-Osztrogradszkíj -- Legyen folytonosan differenciálható vektormező, tartomány és legyen V a D-ben lévő mérhető térrész, melynek pereme az zárt felület a térrészből kifelé mutató irányítással. Ekkor
A tétel fontos alkalmazása a gömbszimmetrikus vektormezők felületi integráljának kiszámítása, ezek közül is a legfontosabb a reciproknégyzetes erősségű vektormezők.
A ponttöltés keltette elektromos mező divergenciája, fluxusa
Számítsuk ki a
vektormező integrálját a tetszőleges Γ zárt felületre, mely az origót belsejében tartalmazó V kompakt tartomány pereme, kifelé irányítva!
Először kiszámítjuk a vektoremző divergenciáját ott, ahol értelmezve van:
Itt felhasználtuk a divergenciára vontkozó szorzási szabályt.
Az integrál előállítható egy a v értelmezési tartományába eső tartomány peremére és egy másik felületre vonatkozó felületi integrálként. Legyen ugyanis G az origó középpontú olyan R sugarú gömb, mely benne van V belsejében és D az a tartomány pedig legyen V minusz G. Ekkor
azaz
Tehát csak G határára kell kiszámítani a vektormező fluxusát. Ezt az invariáns formulával tesszük:
(Imént lényegében az elektrosztatikus Gauss-törtvény állítását vezettük le a Coulomb-törvényből)
Vonalintegrál, Stokes-tétel
Legyen vektormező, mely egy nyílt D tartományán értelmezett. Legyen folytonosan differenciálható függvény. Ekkor a vektormező integrálját és létezését a görbe mentén a következő limesszel definiáljuk:
Az integrál létezésére és értékére az alábbi egy egyszerű kritériumot és egydimenziós integrált írhatjuk föl. Legyen legfeljebb véges sok pontban nem folytonosan differenciálható függvény. Ekkor az deriváltja véges sok pont kivételével létezik, a vonalintegrál létezik és felírható
Ha a skaláris szorzat invariáns értelmezését vesszük, akkor a fenti formulát még a következőképpen is felírhatjuk:
ahol , azaz a vektormezőnek a görbe érintője irányába eső előjeles vetülete.
Tétel -- Stokes-tétel -- Legyen folytonosan differenciálható vektormező, tartomány és legyen irányított, peremes felület, ennek pereme . Ekkor
Megjegyezzük, hogy a perem irányítása kompatibilis kell hogy legyen a felület irányításával, ellenkező esetben az integrál a fenti ellentettje lesz. Kompatibilis a felület és a pereme irányítása, ha "a felületi normálvektor irány a fejünk iránya, a lábunk a felületen van, a peremen haladunk végig és a felület bal kéz felől esik (jobbkézszabály)".
Végtelen hosszú egyenes vezető keltette mágneses mező rotációja és cirkulációja
A tétel alkalmazására a következő hengerszimmetrikus esetet nézzük.
Legyen
a vektormező és a felület az [xy] sík egy olyan tetszőleges T mérhető tartománya, mely a belsejében tartalmazza az origót és a pereme a G zárt görbe. Igazoljuk ekkor, hogy G-re az integrál 2π.
Először kiszámítjuk a vektormező rotációját. Ehhez felhasználjuk a rotációra vonatkozókövetkező azonosságot:
A rotáció a deriválttenzor vektorinvariánsának kétszerese, mivel lineáris leképezés deriváltja saját maga, ezért a képletbeli rotáció 2k. A képletbeli gradiens alatti skalármező a tengelytől mért távolságtől függ, ezért:
Most felbontjuk a T tartományt egy D lyukas tartományra és egy körlapra. A K körlap sugara legyen olyan R, mely esetén a körlap a T belsejében van benne. Ekkor
Tehát
Innen a vonalintegrál invariáns értelmezése folytán:
(Itt lényegében a végtelen hosszú egyenes vezető körüli görbén a mágneses indukció körintegrálját határoztuk meg.)
CROSS és alkalmazása és a Green-tétel
Definíció. A kettő vagy háromdimenziós térben CROSS a következő lineáris ill. bilineáris leképezés:
Ha , akkor .
Ha , akkor .
Leképezések invariánsai
Az S lineáris leképezés szimmetrikus, ha minden ortonormált bázisban a mátrixa szimmetrikus mátrix. Igaz az, hogy S pontosan akkor szimmetrikus, ha minden u, v vektorra
- u(Sv)=v(Su),
ahol a skaláris szorzás.
Az A lineáris leképezésantiszimmetrikus, ha minden ortonormált bázisban a mátrixa antiszimmetrikus mátrix. Igaz az, hogy A pontosan akkor antiszimmetrikus, ha minden u, v vektorra
- u(Av)=-v(Au),
ahol a skaláris szorzás.
Bármely T lineáris leképezés egyértélműen előáll S + A alakban, ahol S szimmetrikus, A pedig antiszimmetrikus, éspedig:
Két fontos tétel:
Tétel -- Ha A ∈R3 (illetve R2 ) antiszimmetrikus, akkor létezik olyan a vektor (vagy a skalár), hogy minden v vektorra:
a-t (ill. a-t) az A vektorinvariánsának nevezzük (bár a síkon ez skalár). A tételt elég a sztenderd bázisban igazolni, ott az a×( . ) opertátorral, azonos így A ez az operátor.
Főtengelyétel -- Ha S ∈Rn×n szimmetrikus, akkor minden sajátértéke valós és létezik a sajátvektorokból álló B ortonormált bázis, amiben S főtengelyre transzformálható, azaz diagonális és az elemei az S sajátértékei:
Ez nehéz, de fontos tétel.
A deriválttenzor invariánsai
Tudjuk, hogy ha v differenciálható vektorfüggvény, akkor az r0 pontbeli differenciálján, vagy deriváltján, vagy deriválttenzorán azt az egyértelműen létező A lineáris leképezést értjük, melyre:
Minthogy az A deriválttenzor lineáris leképezés, ezért érdemes külön elnevezni az invariánsait (h tetszőleges vektora a térnek):
azaz A vektorinvariánsának duplája a rotáció.As a derivált leképezés szimmetrikus része. A divergencia a skalárinvariáns:
Világos, hogy ebből úgy lesznek a parciális deriváltakkal definiált alakok, ha az A sztenderd bázisbeli mátrixát, azaz a J Jacobi mátrixot írjuk fel. Ekkor mindkét említett differenciáloperátort a szokásos alakjában kapjuk:
Integrálok kiszámítási formulái
Felszín szerinti intergálok:
Síkban:
Térben:
Felületmenti intergálok:
Síkban:
Térben:
Síkban a felületi és felszín integrál kifejezhető az ívhossz és a vonalintegrállal, a következőképpen. Mivel , ezért
- ,
ahol L és F paraméterezése ugyanaz.
Felületi integrál esetén, ha F egy T tartomány peremdarabja, akkor
ugyanis felhasználva, hogy cross(dx,dy)=(-dy,dx) és cross(v1,v2)=(-v2,v1)
Itt -F, mint vonal a T tartomány peremének egy darabja, amint pozitívan van irányítva (ha tudjuk, hogy F kifelé irányított)
Green-tétel
Legyen a (P,Q) síkbeli vektormező egy U nyílt halmazon folytonosan differenciálható és legyen T az U egy kompakt mérhető része, ∂T a peremét alkotó görbe. Ekkor
Ezt a tételt egy spéci T háromszöglapra bizonyítjuk. Legyen
Az így definiált T az x tengelyre vonatkozóan normáltartomány. A bizonyításban szükség lesz arra, hogy T-t y tengelyre vonatkozó normáltartományként is megadjuk:
Határa:
A vonaldarabok paraméterezése legyen rendre: (t,0), ha t∈[0,1], (t,1-t), ha t∈[0,1] (ennek az irányításét majd meg kell fordítani) és (0,t), t∈[0,1] (ennek is meg kell fordítani). Ekkor
Itt végeztünk egy paramétercserét.
Ezután pedig felhasználjuk, hogy a két integrál ugyanarra a tartományra vett kettősintegrál:
A tétel érvényes minden n-szeresen összefüggő tartományra is (az n-1 db lyukat tartalmazó kilyukasztott körlappal homeomorf tartományokra), mert egyfelől változatlan marad, ha görbevonalú háromszögre térünk át (integráltranszformációval), másfelől minden n-szeresen összefüggő tartomány felbontható véges sok görbevonalú háromszögre, ahol az integrálok összegében a belső szakaszok eltűnnek és a tétel szintén érvényben marad.
A Green-tétel a (háromdimenziós) Stokes-tétel speciális esete, hiszen a (P,Q,0) vektormező rotációja pont (0,0,∂xQ-∂yP). A Green-tételből levezethető a kétdimenziós Gauss-tétel, a következőképpen. Legyen T a síkbeli peremes tartomány és ∂T a pereme mint pozitívan irányított zárt görbe (ill. véges sok görbe diszjunkt úniója, ha n-szeresen összefüggő, n>1). Ekkor a Q:=P, P:=-Q szereposztással felírva a Green-tételt:
Itt a baloldali integrandus a (P,Q) vektormező cross-ja, ami viszont a ∂T-re, mint valódi felületre vett integrál ellenkezője:
ahol persze ∂xP+∂yQ=div(P,Q) és a -∂T valódi felület a tartományból kifelé van irányítva.