Szerkesztő:Mozo/ A3 bizonyítások

A MathWikiből

< Szerkesztő:Mozo(Változatok közti eltérés)

Ugrás: navigáció, keresés

A lap jelenlegi, 2018. június 16., 19:16-kori változata

Tartalomjegyzék

1 Egzakt differenciálegyenlet
2 Lineáris differenciálegyenletek
3 A deriválttenzor invariánsai
4 Potenciál
5 Felületi integrál, Gauss-tétel
- 5.1 A ponttöltés keltette elektromos mező divergenciája, fluxusa
6 Vonalintegrál, Stokes-tétel
- 6.1 Végtelen hosszú egyenes vezető keltette mágneses mező rotációja és cirkulációja
7 CROSS és alkalmazása és a Green-tétel

Egzakt differenciálegyenlet

Definíció

Legyen U ⊆ R² nyílt halmaz és P,Q: U $\to$ R folytonos függvények, Q sehol sem nulla. Azt mondjuk, hogy az

$y'=-\frac{P(x,y)}{Q(x,y)}\quad\quad \mathrm{(EX)}$

differenciálegyenlet egzakt, ha létezik olyan F: U $\to$ R folytonosan differenciálható függvény, hogy

$\frac{\partial F}{\partial x}=P,\quad\quad\frac{\partial F}{\partial y}=Q\quad\quad\mathrm{(C)}$

Elméleti példa. Minden

$y'=\frac{f(x)}{g(y)}\quad\quad (f\in\mathrm{C}(I),\;g\in \mathrm{C}(J),\;0\notin\mathrm{Ran}(g))$

alakú szeparábilis differenciálegyenlet egzakt, hiszen ha g integrálfüggvénye G, akkor

$g(y)y'=f(x)\quad\quad\Rightarrow\quad\quad G(y)=F(x)+C$

Alkalmas tehát az alábbi függvény:

$\Phi(x,y):=G(y)-F(x)=C\quad\quad\Rightarrow\quad\quad\frac{\partial \Phi}{\partial x}=f,\quad\quad\frac{\partial \Phi}{\partial y}=g$

Jelen esetben a G függvény deriváltja (G'=g) sehol sem nulla folytonos függvény, ezért szigorúan monoton. Emiatt kifejezhető y éspedig:

$y(x)=G^{-1}(F(x)+C)\,$

Megjegyzés. A megoldásokat implicit módon adja meg az

$\Phi(x,y)=C\,$

egyenlet. Mivel

$\frac{\partial\Phi}{\partial y}\ne 0$

ezért az implicitfüggvény-tétel miatt y-t "ki lehet fejezni". Érdemes felelevenítenünk magát az implicitfüggvény-tételt:

Implicitfüggvény-tétel -- Ha a Φ: $I$ × $J$ $\to$ R folytonosan differenciálható függvény az $(x 0, y 0)$ ∈ int( $I$ × $J$ ) pontban teljesíti a ∂Φ/∂y ≠ 0 feltételt, akkor a $(x 0, y 0)$ pont egy környezetében egyértelműen létezik az Φ(x,y)=Φ( $x 0, y 0$ ) egyenletnek az $(x 0, y 0)$ ponton áthaladó implicit függvénye, azaz az $x 0$ egy K⊆I környezetében értelmezett, J-beli értékű y deriválható függvény, melyre minden x ∈ K esetén:

$\Phi(x,y(x))=\Phi(x_0,y_0)\,$ , $y(x_0)=y_0\,$

és ennek deriváltja minden x ∈ K-ban:

$y'(x)=-\left.\frac{\;\frac{\partial\Phi}{\partial x}\;}{\frac{\partial \Phi}{\partial{y}}}\right|_{(x,y(x))}$

Egzakt egyenlet egzisztencia- és unicitástétele

Tétel. Legyenek P és Q az U ⊆ R² nyílt halmazon értelmezett folytonos valós függvények, Q sehol se nulla, grad F = (P,Q) valamely F: U $\to$ R folytonosan differenciálható függvénnyel és $(x 0, y 0)$ ∈ U. Ekkor

1) az

(ex) y'=-P/Q

egyenletnek egyértelműen létezik az $y 0 = y (x 0)$ kezdeti feltételt kielégítő y lokális megoldása és

2) az

(impl) F(x,y) = F(

x 0, y 0

)

egyenlet $(x 0, y 0)$ -on áthaladó egyetlen lokális implicit függvénye az (ex) egyenlet $y (x 0) = y 0$ kezdeti feltételt kielégítő egyetlen lokális megoldása.

Biz. 1) Egzisztencia. Belátjuk, hogy (impl) egyetlen $(x 0, y 0)$ -on áthaladó implicit függvénye megoldása az (ex) egyenletnek.

$\left.\frac{\partial F}{\partial y}\right|_{(x_0,y_0)}=Q(x_0,y_0)\ne 0$

így az implicitfüggvény-tétel szerint, egyértelműen létezik F-nek y=y(x) implicit függvénye az adott pont egy környezetében és ennek deriváltja az értelmezési tartományának minden pontjában:

$y'(x)=-\frac{\;\cfrac{\partial F}{\partial x}(x,y(x))\;}{\cfrac{\partial F}{\partial y}(x,y(x))}=-\frac{P(x,y(x))}{Q(x,y(x))}$

tehát y az (ex) differenciálegyenletnek is megoldása, és ez kielégíti a kezdeti feltételt.

Unicitás. Tegyük fel, hogy létezik megoldása a kezdeti érték feladatnak. Legyen egy tetszőleges megoldása y, azaz

$y'(x)=-\frac{P(x,y(x))}{Q(x,y(x))}$

Ez az egyenlet a grad F = (P,Q) miatt előáll

$\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial y}y'=0$

alakban. Most belátjuk, hogy y (impl)-nek implicit megoldása. Az összetett függvény differenciálási szabálya miatt ( d(F $\circ$ G)(x,y)=dF(G(x,y)) $\circ$ dG(x,y) ) az előző egyenlet a következő formában is írható:

$(F(x,y(x)))'=[\mathrm{grad}\,F|_{(x,y(x))}]\cdot\begin{bmatrix}x'\\y'(x)\end{bmatrix}=\frac{\partial F}{\partial x}|_{(x,y(x))}+y'\frac{\partial F}{\partial y}|_{(x,y(x))}\equiv 0\,$

x értékei egy intervallumból kerülnek ki, ezért az integrálszámítás alaptétele szerint az x $\mapsto$ F(x,y(x)) egy konstans függvény. De a feltétel szerint $y (x 0) = y 0$ teljesül, ezért x $\mapsto$ y(x) egy $(x 0, y 0)$ -on áthaladó implicit függvénye az F(x,y)=F( $x 0, y 0$ ) egyenletnek. Ez az utóbbi azonban egyértelműen van meghatározva, ezért a kezdeti érték feladat minden megoldása egybeesik ezzel az implicit függvénnyel, azaz a megoldás egyértelmű.

2) Az implicitfüggvény tételében adott egyetlen implicit függvény az 1) egzisztencia része miatt megoldása (ex)-nek és 1) unicitás része miatt ez az egyetlen megoldása (ex)-nek.

Az egzaktság jellemzése

Megjegyzés. Az egzakt differenciálegyenletet még

$P(x,y)+Q(x,y)y'=0\,$ ill. $P(x,y)\,\mathrm{d}x+Q(x,y)\,\mathrm{d}y=0\,$

alakban is szokás írni.

Ez utóbbi egyenletről azt is mondják, hogy akkor egzakt, ha a P(x,y)dx + Q(x,y)dy kifejezés "teljes differenciál", amin azt értik, hogy létezik olyan F(x,y) függvény, melynek teljes differenciálja:

$\mathrm{d}F(x,y)=P(x,y)\,\mathrm{d}x+Q(x,y)\,\mathrm{d}y\,$

Ezt a mai jelölésekkel a következőképpen írjuk. Egy F kétváltozós függvény teljes differenciálja egy lineáris leképezés, mely a sztenderd {(1,0),(0,1)} bázisban felírt koordinátáival nem más, mit a parciális deriváltjainak sormátrixa:

$[\mathrm{d}F(x,y)]=\mathrm{grad}\,F(x,y)=\left[\;\frac{\partial F}{\partial x}\;,\;\frac{\partial F}{\partial y}\;\right]$

Emiatt a (C) feltétel a következő alakban is írható:

$[\mathrm{d}F]=\left[P,Q\right]\,$ ill. $\mathrm{grad}\,F=[P,Q]\,$

Tehát az egzakt egyenletben a (P,Q) vektormező (vektorértékű függvény) potenciálos. Innen hasznos jellemzést kapunk az egzaktságra a vektoranalízisbeli ismereteinkből.

Tétel. Legyen U egyszeresen összefüggő nyílt halmaz, P,Q: U $\to$ R folytonosan differenciálható függvények (Q sehol sem nulla). A Pdx + Qdy = 0 egyenlet pontosan akkor egzakt, ha

$\frac{\partial P}{\partial y}\equiv\frac{\partial Q}{\partial x}$

Az F függvényt, az Pdx + Qdy = 0 egyenlet integráljának nevezzük.

Ezt a tételt jól ismerjük és a bizonyítását a vektoranalízisben vettük.

Megjegyzés. 1) A feltétel nem más, mint az, hogy a (P,Q) síkbeli vektormező rotációja azonosan nulla. Ugyanis a rotáció a síkbeli (P,Q) vektormező esetén:

$\mathrm{rot}\,(P,Q)=\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}$

2) Bár a szeparábilis egyenlet egzakt, a fenti feltétel az egzaktság ellenőrzésére sokkal szigorúbb mint a szeparábilis egyenlet megoldhatóságának feltétele.

Lineáris differenciálegyenletek

Inhomogén lineáris egyenlet megoldásai

Tétel. Ha V, W tetszőleges lineáris tér, A ∈ Lin(V,W) lineáris operátor, b ∈ W. Ha x₀ ∈ V megoldása az Ax = b inhomogén egyenletnek, akkor az

$\mathbf{A}x=b\,$

összes megoldásainak halmaza:

$M=\{x+x_0\in V\mid x\in\mathrm{Ker}(\mathbf{A})\}$

Bizonyítás. 1) Ha x ∈ Ker(A), akkor Ax = 0. Ekkor

$\mathbf{A}(x+x_0)= \mathbf{A}x+\mathbf{A}x_0=0+b=b\,$

azaz ekkor x+x₀ ∈ M.

2) Ha

$\mathbf{A}(x+x_0)=b\,$ és $\mathbf{A}x_0=b\,$

akkor

$\mathbf{A}x=\mathbf{A}(x+x_0-x_0)=\mathbf{A}(x+x_0)-\mathbf{A}x_0=b-b=0\,$

tehát x ∈ Ker(A). QED.

Megjegyzés. Tudjuk tehát akármilyen lineáris térben az inhomogén egyenlet összes megoldását, ha ismert egy megoldása. Ha tehát Ax=b lineáris differenciálegyenlet, akkor a tétel azt a szlogent fejezi ki, hogy inhomogén lineáris differenciálegyenlet általános megoldása egyenlő a homogén egyenlet általános megoldása plusz az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldása.

Elsőrendű inh. lin. diff. egyenlet és az állandó variálása

Állítás. Ha f: I $\to$ R folytonos függvény akkor az

$\mathbf{A}y=y'+f\cdot y\,\quad\quad(y\in\mathrm{C}^1(I))$

lineáris operátor a Lin(C¹(I),C(I)) téren.

Bizonyítás.

$\mathbf{A}(\lambda y_1+\mu y_2)=(\lambda .y_1+\mu .y_2)'+f\cdot(\lambda .y_1+\mu .y_2)=$

$=\lambda y_1'+\mu y_2'+\lambda f\cdot y_1+\mu f\cdot y_2=\lambda.\mathbf{A}(y_1)+\mu.\mathbf{A}(y_2)$

Következmény. A fenti jelölésekkel, tetszőleges g folytonos függvényre, ha $y 0$ a

$y'+f\cdot y+g=0\,\quad\quad(?=y\in\mathrm{C}^1(I))$

differenciálegyenlet egy megoldása, akkor az egyenlet általános megoldása egyenlő a

$y'+f\cdot y=0\,\quad\quad(?=y\in\mathrm{C}^1(I))$

homogén egyenlet általános megoldása plusz $y 0$ .

Példa. Oldjuk meg az

$y'+\frac{y}{x}=\sin(x^2)\,$

egyenletet! A partikuláris megoldást keressük az állandók variálása módszerével!

Másodrendű, áll. ehós hom. egyenlet

Tétel. Ha a,b ∈ R, akkor az

$\mathbf{A}y=y''+ay'+by\quad\quad(y\in\mathrm{C}^2(I))$

C²(I) $\to$ C(I) lineáris operátor magja kétdimenziós.

Megoldás. A bizonyítás két részből fog állni. Először is Laplace-transzformációval belátjuk, hogy ha dim Ker(A) legalább kettő, akkor legfeljebb 2. Másodszor pedig mutatunk 2 lineárisan független megoldást.

Bizonyítás nélkül elfogadjuk azt a tényt, hogy ha ezen egyenlet esetén egy adott pontban kezdeti értéket adunk az y-nak és az y'-nek akkor a megoldás (ha van) egyértelmű. Szemléletes képpel, ez azt jelenti, hogy ha a kezdőfázist és a sebességet megadjuk, akkor azzal a teljes hullámformát megkapjuk.

I. Legyen $y 1$ és $y 2$ két lineárisan független megolása az

A y = 0

egyenletnek és legyen y ∈ Ker(A) tetszőleges. Rögzítsünk egy $x 0$ ∈ I helyet, melyen $y (x 0) = u$ és $y'(x 0) = v$ . Elő fogjuk állítani ezt a partikuláris megoldást a két előbbi megoldás lineáris kombinációjaként. Legyenek:

$y_1(x_0)=u_1,\quad y_1'=v_1$

$y_2(x_0)=u_2,\quad y_1'=v_2$

azt kívánjuk elérni, hogy az

α u 1 + β u 2 = u

α v 1 + β v 2 = v

egyenletrendszernek legyen egyértelmű megoldása (α,β)-ra. Ez pontosan akkor van, ha a

$W^{\mathbf{A}}(x_0)=\begin{vmatrix}y_1(x_0) & y_2(x_0)\\y_1'(x_0) & y_2'(x_0)\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}u_1 & u_2\\v_1 & v_2\end{vmatrix}=u_1v_2 -u_2v_1$

determináns (azaz az egyenletrendszer $x 0$ -beli Wronsky-determinánsa) nem nulla. Hiszen ekkor a megoldás egyértelműsége miatt (azaz, hogy u és v egyértelműen meghatározza y-t) azt kapjuk, hogy (α,β) "globális konstansok is", azaz α $y 1$ + β $y 2$ = y.

Az egyenlet Laplace-transzformáltja:

$s^2Y-su_0-v_0+a(sY-u_0)+bY=0\,$

$Y_1(s^2+as+b)-su_1-v_1-au_1=0\quad\quad/\cdot v_2$

$Y_2(s^2+as+b)-su_2-v_2-au_2=0\quad\quad/\cdot v_1$

(s 2 + a s + b)(v 2 Y 1 - v 1 Y 2) + (s + a)(u 2 v 1 - u 1 v 2) = 0

Ennek az egyenletnek minden s-re fenn kell állnia, ezért ha $u 2 v 1 - u 1 v 2 = 0$ lenne, akkor $v 2 Y 1 - v 1 Y 2 = 0$ is lenne (minden s-re), azaz $Y 2$ és $Y 1$ lineárisan kifejezhetők lennének egymással, ami ellentmondana a rájuk tett kezdeti feltevésnek.

II. A megoldéskeresési feladatot kicsit bővebb körben, a valós változós, komplex értékű kétszer folytonosan R-differenciálható függvények körében oldjuk meg. Tehát ekkor A a C²(I,C) térből a C(I,C) térbe hat. Ezek között fogunk valós megoldás keresni. A differenciáloperátornak sajátfüggvénye az exponenciális függvény, így tetszőleges λ ∈ C

$\,y(x)=e^{x\lambda}\in\mathbf{C}\quad\quad(x\in \mathbf{R})$

próbafüggvény behelyettesítésével kapjuk:

$\lambda^2+a\lambda+b=0\,$

Tehát a megoldások:

1. ha λ₁ ≠ λ₂ valósak, akkor

$\{e^{\lambda_1x},e^{\lambda_2x}\}$

bázis, mert lineárisan függetlenek és éppen ezért I. miatt előállítják Ker(A)-t:

$\mathrm{Ker}(\mathbf{A})=\{C_1e^{\lambda_1 x}+C_2e^{\lambda_2 x}\mid C_1,C_2\in\mathbf{R}\}$

2. ha λ₁ = λ₂ valósak, akkor keresnünk kell mégegy az e^λx-től lineárisan független megoldást.

$y_2(x)=xe^{\lambda x}\,$

Világos, hogy ez az, hiszen a $C_1e^{\lambda x}+C_2xe^{\lambda x}\equiv 0$ egyenletet e^λx-vel leosztva, a polinom balodalú $C_1+C_2x\equiv 0$ adódna, ami csak akkor lehet a nullapolinom, ha az ehók mind nullák.

$\mathrm{Ker}(\mathbf{A})=\{C_1e^{\lambda x}+C_2xe^{\lambda x}\mid C_1,C_2\in\mathbf{R}\}$

3. ha λ = α $\pm$ βi nemvalós, akkor

$f_1(x)=e^{x(\alpha+i\beta)},\quad\quad f_2(x)=e^{x(\alpha-i\beta)}$

azaz

$f_1(x)=e^{\alpha x}(\cos(\beta)+i\sin(\beta)),\quad\quad f_2(x)=e^{\alpha x}(\cos(\beta)-i\sin(\beta))$

megoldások, melyek azonban komplexek. De ezeket összeadva, illetve a különbségüket i-vel beszorozva már valós megoldásokat kapunk (ezek az előbbi végzett műveletek lineárisak voltak, így a függvények megoldás mivoltán nem változtattak). Azaz:

$y_1(x)=e^{\alpha x}\cos(\beta),\quad\quad y_2(x)=e^{\alpha x}\sin(\beta)$

a tér pedig:

$\mathrm{Ker}(\mathbf{A})=\{C_1e^{\alpha x}\cos(\beta)+C_2e^{\alpha x}\sin(\beta)\mid C_1,C_2\in\mathbf{R}\}$

bázis, mert lineárisan függetlenek és éppen ezért I. miatt előállítják Ker(A)-t.

A deriválttenzor invariánsai

Tudjuk, hogy ha v differenciálható vektorfüggvény, akkor az r₀ pontbeli differenciálján, vagy deriváltján, vagy deriválttenzorán azt az egyértelműen létező A lineáris leképezést értjük, melyre:

$\lim\limits_{\mathbf{r}\to \mathbf{r}_0}\frac{\mathbf{v}(\mathbf{r})-\mathbf{v}(\mathbf{r}_0)-\mathbf{A}(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0|}=\mathbf{0}$

Minthogy az A deriválttenzor maga is tenzor, ezért érdemes külön elnevezni az invariánsait (h tetszőleges vektora a térnek):

$\mathbf{A}\mathbf{h}=\mathbf{A}_s\mathbf{h}+\left.\frac{1}{2}\mathbf{rot}(\mathbf{v})\right|_{\mathbf{r_0}}\times\mathbf{h}$

azaz A vektorinvariánsának duplája a rotáció. A divergencia a skalárinvariáns:

$\mathrm{div}(\mathbf{v})=\mathrm{Sp}(\mathbf{A})$

Világos, hogy ebből úgy lesznek a parciális deriváltakkal definiált alakok, ha az A sztenderd bázisbeli mátrixát, azaz a J Jacobi mátrixot írjuk fel. Ekkor mindkét említett differenciáloperátort a szokásos alakjában kapjuk:

$\mathrm{J}=\begin{pmatrix}\frac{\partial v_1}{\partial x}& \frac{\partial v_1}{\partial y}& \frac{\partial v_1}{\partial z}\\ \frac{\partial v_2}{\partial x}& \frac{\partial v_2}{\partial y}& \frac{\partial v_2}{\partial z}\\ \frac{\partial v_3}{\partial x}& \frac{\partial v_3}{\partial y}& \frac{\partial v_3}{\partial z}\end{pmatrix}$

Megjegyzés. A főtengelytételből következik, hogy hogyan jellemezhető az az eset, amikor az A deriváltenzor főtengelyre transzformálható. Ez pontosan akkor van, amikor rot(v)=0.

Potenciál

A továbbiakban feltesszük, hogy a v vektorfüggvény folytonosan differenciálható.

Azt mondjuk, hogy a v vektorfüggvény potenciálos, ha van olyan u skalárfüggvény, mely differenciálható és

$\mathrm{grad}\,u=\mathbf{v}$

A v vektorfüggvény cirkulációja a Γ egyszerű zárt görbén a

$\oint\limits_{\Gamma}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}$

vonalintegrál.

Jellemzés

A potenciálosság rendkívül szoros kapcsolatban van a cirkulációval és a rotációval:

Tétel. Ha v folyt. diff. vektormező az A egyszeresen összefüggő tartományon. Ekkor az alábbi három kijelentés egymással egyenértékű (v folyt. diff. vektormező):

v potenciálos,
v rotációja minden pontban nulla,
v cirkulációja minden zárt görbére nulla (más kifejezéssel: v konzetvatív).

Bizonyítás.

1. --> 2. Tegyük fel, hogy grad u = v, így rot v = rot grad u. Ekkor formálisan hivatkozhatunk például a vektoriális szorzás azon szabályára, hogy párhuzamos vektorok vektoriális szorzata 0, hisz

$\mathrm{rot}(\mathrm{grad}\,u)=\underline{\nabla}\times\underline{\nabla} u$

De itt végül is a Young-tételről van szó. Komponensenként kiírva:

$\underline{\nabla}\times\underline{\nabla} u= \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ \partial_1 & \partial_2 & \partial_3 \\ \partial_1 & \partial_2 & \partial_3 \end{vmatrix}\,u=\mathbf{i}(\partial_2\partial_3 u-\partial_3\partial_2u)+ ...$

kétszer folytonsan differenciálható u Hesse-mátrixa szimmertikus, azaz a vegyes másodrendű parciális deriváltak egyenlők, azaz a fenti összeg 0.

2. --> 3. Itt a Stokes-tételre kell hivatkoznunk:

$\oint\limits_{\partial F}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{F}\mathrm{rot}\,\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}$

egyszeresen összefüggő tartományban haladó Γ = ∂F görbére és tetszőleges olyan F felületre, melynek ő a pereme. De rot v mindenhol 0. így a jobb oldal 0, azaz cirkuláció is.

3. --> 1. Belátjuk, hogy van potenciál. Legyen a rögzített pont és b tetszőlegesen választott. Legyen Γ₁ és Γ₂ két tetszőleges görbe, mely a-ból b-be megy. Ekkor az egyszeres összefüggőség miatt a Γ₂ -t visszfelé irányítva:

$\Gamma=\Gamma_1^\frown(-\Gamma_2)$

az a zárt görbe, mely az a-ból megy a Γ₁ mentén a b-be és a b-ből megy a Γ₂ mentén, de ellenkezőleg irányítva az a-ba. De v minden körintegrálj eltűnik, így

$0=\oint\limits_{\Gamma}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{\Gamma_1}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}+\int\limits_{-\Gamma_2}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{\Gamma_1}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}-\int\limits_{\Gamma_2}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}$

azaz

$\int\limits_{\Gamma_1}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{\Gamma_2}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}$

Tehát az

$u(x)=\int\limits_{(\gamma)\;a}^{x}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}$

skalárfüggvény független az úttól és a felső határ szerinti gradiense ugyanúgy az integrandus, mint az egyváltozós valós függvények esetén. QED.

Gradiensre vonatkozó integráltétel

Az előbb említett, az integrálfüggvény deriválhatóságának tételének megvan a párja is. Ez az első gradienstétel, mely végül is nem más, mint a Newton--Leibniz-formula többdimenziós általánosításai közül a legelső verzió:

Tétel.

$u(b)-u(a)=\int\limits_{(\Gamma)\;a}^{b}\mathrm{grad}(u)\,\mathrm{d}\mathbf{r}$

(ha u folyt. diff. és egysz. öf. tartományon ért.)

A tétel beleillik a "nagy integrálátalakító tételek" sorába (Stokes-tétel, Gauss--Osztrogradszkij-tétel és most az I. gradienstétel), melyek alapszlogenje, hogy "integrál a peremen = a derivált integrálja belül", persze itt a perem az {a,b} véges halmaz, a derivált a gradiens, a "belül" pedig a Γ görbe. (S.-t-nél felület a belső, a határán futó zárt görbe a perem és rot a derivált, G--O-t nél térrész a belső, az őt határoló zárt felület a perem és div a derivált).

Potenciálkeresés. 1) Pancsolásos módszer és variánsai (alkalmazások: egzakt differenciálegyenlet megoldása, harmonikus társ keresése) 2) integrálás és az I. grad. tétel alkalmazása 3) invariáns alakban adott feldatoknál primitívfüggvény keresés.

Hossz n-edik deriváltja

Ez utóbbi megoldáshoz tudnunk kell, hogy a hossz n-edik deriváltja mi. Ezt a többváltozós függvények analízisében az összetett függvény deriválásánál tanultuk: ha r nem nulla, akkor

$\mathrm{grad} |\mathbf{r}|^n =n|\mathbf{r}|^{n-1}\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}$

mert a külső függvény: $t\mapsto t^n$ , a belső pedig $\mathbf{r}\mapsto |\mathbf{r}|$ . Az utóbbi deriváltja koordinátás alakban:

$\mathrm{grad}\,\sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_m^2}=(\frac{2x_1}{2\sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_m^2}}, ..., \frac{2x_m}{2\sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_m^2}})=\frac{(x_1,x_2, ..., x_m}{\sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_m^2}}$

tehát a függvénykompozíció deriválására vonatkozó tétel szerint:

$\mathrm{grad} (f(\Phi(\mathbf{r})))=f'(\Phi(\mathbf{r}))\cdot\mathrm{grad}\Phi(\mathbf{r})=n|\mathbf{r}|^{n-1}\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}$

Felületi integrál, Gauss-tétel

Definíció. Legyen $\mathbf{v}$ vektormező, mely $\mathbf{R}^3$ egy nyílt D tartományán értelmezett. Legyen $\mathbf{r}:T\to D,\quad (u,v)\mapsto\mathbf{r}(u,v)$ folytonosan differenciálható függvény, melynek értelmezési tartománya a T mérhető síktartomány. Ekkor a vektorfüggvény integrálját és létezését a felület mentén a következő limesszel definiáljuk:

$\exists\int\limits_{\mathrm{Ran}(\mathbf{r})}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{F}=L\quad\quad\Longleftrightarrow\quad\quad\sum\limits_{i=1}^n\mathbf{v}(\mathbf{r}_i)\Delta\mathbf{F}_{i}\underset{\begin{matrix}n\to \infty\\\mathbf{r}_i\in F\\|\Delta\mathbf{F}_{i}|\to 0\end{matrix}}{\longrightarrow} L\in \mathbf{R}$

Itt tehát T-t egymásba nem nyúló, mérhető I_i síktartományokra bontjuk fel, amelyek ármérője egyre csökken. Az integrál létezésére és értékére az alábbi egyszerű kritériumot és tartományi integrált írhatjuk föl. Legyen $\mathbf{r}:T\to D,\quad (u,v)\mapsto\mathbf{r}(u,v)$ folytonosan differenciálható függvény, melynek értelmezési tartománya a T mérhető síktartomány. Ekkor az $\mathbf{r}(u,v)$ deriváltjai léteznek, a felületi integrál létezik és felírható

$\int\limits_{F}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{F}=\int\limits_{T_{u,v}}\mathbf{v}(\mathbf{r}(u,v))\cdot \frac{\partial \mathbf{r}(u,v)}{\partial u}\times\frac{\partial \mathbf{r}(u,v)}{\partial v}\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v$

Ha a skaláris szorzat invariáns értelmezését vesszük, akkor a fenti formulát még a következőképpen is felírhatjuk:

$\int\limits_{G}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}=\int\limits_{G}v_{\perp}\,|\mathrm{d}\mathbf{f}|$

ahol $v_\perp =\mathbf{v}\cdot \frac{\mathbf{n}}{|\mathbf{n}|}$ , azaz a felületi integrál egyenlő a vektormezőnek a felületi érintősík normálisa irányába eső előjeles komponense ugyanazon felületre vonatkozó felszín szerinti integráljával.

Megjegyzendő, hogy a képletben szereplő vegyes szorzat értéke $3\times 3$ -as determinánsként számítható ki a komponenseiből:

$\mathbf{v}(\mathbf{r}(u,v))\cdot \frac{\partial \mathbf{r}(u,v)}{\partial u}\times\frac{\partial \mathbf{r}(u,v)}{\partial v}=\begin{vmatrix}\quad[\mathbf{v}(\mathbf{r}(u,v))]\quad\\\\ \left[\frac{\partial \mathbf{r}(u,v)}{\partial u}\right]\\\\ \left[\frac{\partial \mathbf{r}(u,v)}{\partial v}\right]\end{vmatrix}$

Tétel -- Gauss-Osztrogradszkíj -- Legyen $\mathbf{v}:D\to \mathbf{R}^3$ folytonosan differenciálható vektormező, $D\subseteq \mathbf{R}^3$ tartomány és legyen V a D-ben lévő mérhető térrész, melynek pereme az $\partial V=F\subseteq D$ zárt felület a térrészből kifelé mutató irányítással. Ekkor

$\oint\limits_{\partial V}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{F}=\int\limits_{V}\mathrm{div}\,\mathbf{v}\,\mathrm{d}V$

A tétel fontos alkalmazása a gömbszimmetrikus vektormezők felületi integráljának kiszámítása, ezek közül is a legfontosabb a reciproknégyzetes erősségű vektormezők.

A ponttöltés keltette elektromos mező divergenciája, fluxusa

Számítsuk ki a

$\mathbf{v}=\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|^3}$

vektormező integrálját a tetszőleges Γ zárt felületre, mely az origót belsejében tartalmazó V kompakt tartomány pereme, kifelé irányítva!

Először kiszámítjuk a vektoremző divergenciáját ott, ahol értelmezve van:

$\mathrm{div}\,\mathbf{v}=\mathrm{div}\,(\mathbf{r}|\mathbf{r}|^{-3})=3|\mathbf{r}|^{-3}+\mathbf{r}(-3)|\mathbf{r}|^{-4}\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}=0$

Itt felhasználtuk a divergenciára vontkozó szorzási szabályt.

Az integrál előállítható egy a v értelmezési tartományába eső tartomány peremére és egy másik felületre vonatkozó felületi integrálként. Legyen ugyanis G az origó középpontú olyan R sugarú gömb, mely benne van V belsejében és D az a tartomány pedig legyen V minusz G. Ekkor

$\int_{\partial D} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}=\int_{\partial V} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}+\int_{-\partial G} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}$

azaz

$\int_{\partial V} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}= \int_{\partial D} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}+\int_{\partial G} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}=\int_{D} \mathrm{div}(\mathbf{v})\,\mathrm{d}\mathrm{V}+\int_{\partial G} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}=\int_{\partial G} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}$

Tehát csak G határára kell kiszámítani a vektormező fluxusát. Ezt az invariáns formulával tesszük:

$\int_{\partial G} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}=\int_{\partial G} \frac{1}{R^2}\,|\mathrm{d}\mathbf{f}|=\frac{1}{R^2}\int_{\partial G} \,|\mathrm{d}\mathbf{f}|=4\pi$

(Imént lényegében az elektrosztatikus Gauss-törtvény állítását vezettük le a Coulomb-törvényből)

Vonalintegrál, Stokes-tétel

Legyen $\mathbf{v}$ vektormező, mely $\mathbf{R}^n$ egy nyílt D tartományán értelmezett. Legyen $\Gamma:[a,b]\to D,\quad t\mapsto\mathbf{r}(t)$ folytonosan differenciálható függvény. Ekkor a vektormező integrálját és létezését a görbe mentén a következő limesszel definiáljuk:

$\exists\int\limits_{\Gamma}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=L\quad\quad\Longleftrightarrow\quad\quad\sum\limits_{i=1}^n\mathbf{v}(\mathbf{r}_i)(\mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{i-1})\underset{\begin{matrix}n\to \infty\\\mathbf{r}_i\in \Gamma\\|\mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{i-1}|\to 0\\\mathbf{r}_{i}=\mathbf{r}(t_i)\\(t_i)_{i=1...n}\mbox{ szig. mon. nov.} \end{matrix}}{\longrightarrow} L\in \mathbf{R}$

Az integrál létezésére és értékére az alábbi egy egyszerű kritériumot és egydimenziós integrált írhatjuk föl. Legyen $G:[t_1,t_2]\to D,\quad t\mapsto\mathbf{r}(t)$ legfeljebb véges sok pontban nem folytonosan differenciálható függvény. Ekkor az $\mathbf{r}(t)$ deriváltja véges sok pont kivételével létezik, a vonalintegrál létezik és felírható

$\int\limits_{G}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{t_1}^{t_2}\mathbf{v}(\mathbf{r}(t))\cdot \dot{\mathbf{r}}(t)\,\mathrm{d}t$

Ha a skaláris szorzat invariáns értelmezését vesszük, akkor a fenti formulát még a következőképpen is felírhatjuk:

$\int\limits_{G}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{t_1}^{t_2}v_{\parallel }(\mathbf{r}(t))\cdot|\dot{\mathbf{r}}(t)|\,\mathrm{d}t=\int\limits_{G}v_{\parallel }\,|\mathrm{d}\mathbf{r}|$

ahol $v_\parallel =\mathbf{v}\cdot \mathbf{t}$ , azaz a vektormezőnek a görbe érintője irányába eső előjeles vetülete.

Tétel -- Stokes-tétel -- Legyen $\mathbf{v}:D\to \mathbf{R}^3$ folytonosan differenciálható vektormező, $D\subseteq \mathbf{R}^3$ tartomány és legyen $F\subseteq D$ irányított, peremes felület, ennek pereme $\partial F$ . Ekkor

$\oint\limits_{\partial F}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{F}\mathrm{rot}\,\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{F}$

Megjegyezzük, hogy a perem irányítása kompatibilis kell hogy legyen a felület irányításával, ellenkező esetben az integrál a fenti ellentettje lesz. Kompatibilis a felület és a pereme irányítása, ha "a felületi normálvektor irány a fejünk iránya, a lábunk a felületen van, a peremen haladunk végig és a felület bal kéz felől esik (jobbkézszabály)".

Végtelen hosszú egyenes vezető keltette mágneses mező rotációja és cirkulációja

A tétel alkalmazására a következő hengerszimmetrikus esetet nézzük.

Legyen

$\mathbf{v}=\frac{\mathbf{k}\times \mathbf{r}}{|\mathbf{k}\times\mathbf{r}|^2}$

a vektormező és a felület az [xy] sík egy olyan tetszőleges T mérhető tartománya, mely a belsejében tartalmazza az origót és a pereme a G zárt görbe. Igazoljuk ekkor, hogy G-re az integrál 2π.

Először kiszámítjuk a vektormező rotációját. Ehhez felhasználjuk a rotációra vonatkozókövetkező azonosságot:

$\mathbf{rot}\,(\Phi\mathbf{u})=\mathbf{rot}(\mathbf{u})\cdot \Phi+\mathrm{grad}\Phi\times\mathbf{u}$

$\mathbf{rot}\,\mathbf{v}=\mathbf{rot}(\mathbf{k}\times \mathbf{r})\cdot |\mathbf{k}\times\mathbf{r}|^{-2}+(\mathbf{k}\times \mathbf{r})\times\mathrm{grad}(|\mathbf{k}\times\mathbf{r}|^{-2})$

A rotáció a deriválttenzor vektorinvariánsának kétszerese, mivel lineáris leképezés deriváltja saját maga, ezért a képletbeli rotáció 2k. A képletbeli gradiens alatti skalármező a tengelytől mért távolságtől függ, ezért:

$\mathbf{rot}\,\mathbf{v}=2\mathbf{k}|\mathbf{k}\times\mathbf{r}|^{-2}+(\mathbf{k}\times \mathbf{r})\times(-2)|\mathbf{k}\times\mathbf{r}|^{-3}\cdot \frac{(\mathbf{k}\times \mathbf{r})\times\mathbf{k}}{|\mathbf{k}\times\mathbf{r}|}=\mathbf{0}$

Most felbontjuk a T tartományt egy D lyukas tartományra és egy körlapra. A K körlap sugara legyen olyan R, mely esetén a körlap a T belsejében van benne. Ekkor

$\int\limits_{\partial D}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{\partial T}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}+\int\limits_{-\partial K}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}$

Tehát

$\int\limits_{\partial T}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{\partial D}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}+\int\limits_{\partial K}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{D}\mathbf{rot}(\mathbf{v})\,\mathrm{d}\mathbf{f}+\int\limits_{\partial K}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{\partial K}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}$

Innen a vonalintegrál invariáns értelmezése folytán:

$\int\limits_{\partial K}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{\partial K}\frac{1}{R}|\mathrm{d}\mathbf{r}|=\frac{1}{R}2\pi R=2\pi$

(Itt lényegében a végtelen hosszú egyenes vezető körüli görbén a mágneses indukció körintegrálját határoztuk meg.)

CROSS és alkalmazása és a Green-tétel

Definíció. A kettő vagy háromdimenziós térben CROSS a következő lineáris ill. bilineáris leképezés:

Ha $\mathbf{v}=(v_1,v_2)\in \mathbf{R}^2$ , akkor $\mathsf{cross}(\mathbf{v})=(-v_2,v_1)$ .

Ha $\mathbf{v}, \mathbf{w}\in \mathbf{R}^3$ , akkor $\mathsf{cross}(\mathbf{v},\mathbf{w})=\mathbf{v}\times\mathbf{w}$ .

Leképezések invariánsai

Az S lineáris leképezés szimmetrikus, ha minden ortonormált bázisban a mátrixa szimmetrikus mátrix. Igaz az, hogy S pontosan akkor szimmetrikus, ha minden u, v vektorra

u $\cdot$ (Sv)=v $\cdot$ (Su),

ahol $\cdot$ a skaláris szorzás.

Az A lineáris leképezésantiszimmetrikus, ha minden ortonormált bázisban a mátrixa antiszimmetrikus mátrix. Igaz az, hogy A pontosan akkor antiszimmetrikus, ha minden u, v vektorra

u $\cdot$ (Av)=-v $\cdot$ (Au),

ahol $\cdot$ a skaláris szorzás.

Bármely T lineáris leképezés egyértélműen előáll S + A alakban, ahol S szimmetrikus, A pedig antiszimmetrikus, éspedig:

$\mathbf{T}=\frac{1}{2}(\mathbf{T}+\mathbf{T}^{\mathrm{T}})+\frac{1}{2}(\mathbf{T}-\mathbf{T}^{\mathrm{T}})$

Két fontos tétel:

Tétel -- Ha A ∈R³ (illetve R² ) antiszimmetrikus, akkor létezik olyan a vektor (vagy a skalár), hogy minden v vektorra:

$\mathbf{Av}=\mathbf{a}\times\mathbf{v}=\mathsf{cross}(\mathbf{a},\mathbf{v})\quad\quad(\mathrm{vagy}\;\mathbf{Av}=a\cdot\mathsf{cross}(\mathbf{v}))$

a-t (ill. a-t) az A vektorinvariánsának nevezzük (bár a síkon ez skalár). A tételt elég a sztenderd bázisban igazolni, ott az a×( . ) opertátorral, azonos így A ez az operátor.

Főtengelyétel -- Ha S ∈R^n×n szimmetrikus, akkor minden sajátértéke valós és létezik a sajátvektorokból álló B ortonormált bázis, amiben S főtengelyre transzformálható, azaz diagonális és az elemei az S sajátértékei:

$[\mathbf{S}]_{\{\mathbf{v}_1,...,\mathbf{v}_n\}}=\begin{pmatrix}\lambda_1& 0& 0\\ 0& \ddots& 0\\ 0 & 0& \lambda_n\end{pmatrix}$

Ez nehéz, de fontos tétel.

A deriválttenzor invariánsai

Tudjuk, hogy ha v differenciálható vektorfüggvény, akkor az r₀ pontbeli differenciálján, vagy deriváltján, vagy deriválttenzorán azt az egyértelműen létező A lineáris leképezést értjük, melyre:

$\lim\limits_{\mathbf{r}\to \mathbf{r}_0}\frac{\mathbf{v}(\mathbf{r})-\mathbf{v}(\mathbf{r}_0)-\mathbf{A}(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0|}=\mathbf{0}$

Minthogy az A deriválttenzor lineáris leképezés, ezért érdemes külön elnevezni az invariánsait (h tetszőleges vektora a térnek):

$\mathbf{A}\mathbf{h}=\mathbf{A}_s\mathbf{h}+\left.\frac{1}{2}\mathbf{rot}(\mathbf{v})\right|_{\mathbf{r_0}}\times\mathbf{h}$

azaz A vektorinvariánsának duplája a rotáció.A_s a derivált leképezés szimmetrikus része. A divergencia a skalárinvariáns:

$\mathrm{div}(\mathbf{v})=\mathrm{Tr}(\mathbf{A})$

Világos, hogy ebből úgy lesznek a parciális deriváltakkal definiált alakok, ha az A sztenderd bázisbeli mátrixát, azaz a J Jacobi mátrixot írjuk fel. Ekkor mindkét említett differenciáloperátort a szokásos alakjában kapjuk:

$\mathrm{J}=\begin{pmatrix}\frac{\partial v_1}{\partial x}& \frac{\partial v_1}{\partial y}& \frac{\partial v_1}{\partial z}\\ \frac{\partial v_2}{\partial x}& \frac{\partial v_2}{\partial y}& \frac{\partial v_2}{\partial z}\\ \frac{\partial v_3}{\partial x}& \frac{\partial v_3}{\partial y}& \frac{\partial v_3}{\partial z}\end{pmatrix}$

Integrálok kiszámítási formulái

Felszín szerinti intergálok:

Síkban: $\int\limits_{F} \varphi|df|=\int\limits_{t=t_1}^{t_2} \varphi(r(t))|\mathsf{cross}(\dot{r}(t))|dt$

Térben: $\int\limits_{F} \varphi|df|=\int\limits_{(u,v)\in T} \varphi(r(u,v))|\mathsf{cross}(r_u(u,v),r_v(u,v))|dudv$

Felületmenti intergálok:

Síkban: $\int\limits_{F} vdf=\int\limits_{t=t_1}^{t_2} v(r(t))\mathsf{cross}(\dot{r}(t))dt$

Térben: $\int\limits_{F} vdf=\int\limits_{(u,v)\in T} v(r(u,v))\mathsf{cross}(r_u(u,v),r_v(u,v))dudv$

Síkban a felületi és felszín integrál kifejezhető az ívhossz és a vonalintegrállal, a következőképpen. Mivel $|\mathsf{cross}(a)|=|a|$ , ezért

$\int\limits_{F} \varphi|df|=\int\limits_{t=t_1}^{t_2} \varphi(r(t))|\mathsf{cross}(\dot{r}(t))|dt=\int\limits_{t=t_1}^{t_2} \varphi(r(t))|\dot{r}(t))|dt=\int \limits_{L}\varphi|dr|$ ,

ahol L és F paraméterezése $t\mapsto r(t)$ ugyanaz.

Felületi integrál esetén, ha F egy T tartomány peremdarabja, akkor

$\int\limits_{F} vdf=\int\limits_{-F}\mathsf{cross}(v)dr$

ugyanis felhasználva, hogy cross(dx,dy)=(-dy,dx) és cross( $v 1$ , $v 2$ )=(- $v 2$ , $v 1$ )

$\int\limits_{F} vdf=\int\limits_{F}v_1(-dy)+v_2dx=\int\limits_{F}v_2dx-v_1dy=\int\limits_{F}-(-v_2dx+v_1dy)=-\int\limits_{F}-v_2dx+v_1dy=$

$=\int\limits_{-F}-v_2dx+v_1dy=\int\limits_{-F}\mathsf{cross}(v)dr$

Itt -F, mint vonal a T tartomány peremének egy darabja, amint pozitívan van irányítva (ha tudjuk, hogy F kifelé irányított)

Green-tétel

Legyen a (P,Q) síkbeli vektormező egy U nyílt halmazon folytonosan differenciálható és legyen T az U egy kompakt mérhető része, ∂T a peremét alkotó görbe. Ekkor

$\oint\limits_{\partial T} Pdx+Qdy=\int\limits_{T}\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}dxdy$

Ezt a tételt egy spéci T háromszöglapra bizonyítjuk. Legyen

$T:=\{(x,y)\mid 0\leq x\leq 1,\quad 0\leq y\leq 1-x\}$

Az így definiált T az x tengelyre vonatkozóan normáltartomány. A bizonyításban szükség lesz arra, hogy T-t y tengelyre vonatkozó normáltartományként is megadjuk:

$T:=\{(x,y)\mid 0\leq y\leq 1,\quad 0\leq x\leq 1-y\}$

Határa:

$\partial T=[(0,0),(1,0)]\cup[(1,0),(0,1)]\cup[(0,1),(0,0)]$

A vonaldarabok paraméterezése legyen rendre: (t,0), ha t∈[0,1], (t,1-t), ha t∈[0,1] (ennek az irányításét majd meg kell fordítani) és (0,t), t∈[0,1] (ennek is meg kell fordítani). Ekkor

$\oint\limits_{\partial T} Pdx+Qdy=\int\limits_{0}^1P(t,0)dt-\int\limits_{0}^1 P(t,1-t)-Q(t,1-t)dt-\int\limits_{0}^1 Q(0,t)dt=$

$=\int\limits_{0}^1P(t,0)- P(t,1-t)dt+\int\limits_{0}^1 Q(1-t,t)-Q(0,t)dt=\int\limits_{0}^1P(x,0)- P(x,1-x) dx+\int\limits_{0}^1 Q(1-y,y)-Q(0,y)dy=$

Itt végeztünk egy paramétercserét.

$=\int\limits_{0}^1 Q(1-y,y)-Q(0,y)dy-\int\limits_{0}^1 P(x,1-x)-P(x,0)dx=\int\limits_{y=0}^1\int\limits_{x=0}^{1-y} \frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}dxdy-\int\limits_{x=0}^1\int\limits_{y=0}^{1-x}\frac{\partial P(x,y)}{\partial y}dydx=$

Ezután pedig felhasználjuk, hogy a két integrál ugyanarra a tartományra vett kettősintegrál:

$\int\limits_{T}\frac{\partial Q}{\partial x}dxdy-\int\limits_{T}\frac{\partial P}{\partial y}dxdy=\int\limits_{T}\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}dxdy$

A tétel érvényes minden n-szeresen összefüggő tartományra is (az n-1 db lyukat tartalmazó kilyukasztott körlappal homeomorf tartományokra), mert egyfelől változatlan marad, ha görbevonalú háromszögre térünk át (integráltranszformációval), másfelől minden n-szeresen összefüggő tartomány felbontható véges sok görbevonalú háromszögre, ahol az integrálok összegében a belső szakaszok eltűnnek és a tétel szintén érvényben marad.

A Green-tétel a (háromdimenziós) Stokes-tétel speciális esete, hiszen a (P,Q,0) vektormező rotációja pont (0,0,∂_xQ-∂_yP). A Green-tételből levezethető a kétdimenziós Gauss-tétel, a következőképpen. Legyen T a síkbeli peremes tartomány és ∂T a pereme mint pozitívan irányított zárt görbe (ill. véges sok görbe diszjunkt úniója, ha n-szeresen összefüggő, n>1). Ekkor a Q:=P, P:=-Q szereposztással felírva a Green-tételt:

$\oint\limits_{\partial T} -Qdx+Pdy=\int\limits_{T}\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}dxdy$

Itt a baloldali integrandus a (P,Q) vektormező cross-ja, ami viszont a ∂T-re, mint valódi felületre vett integrál ellenkezője:

$\int\limits_{T}\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}dxdy=\oint\limits_{\partial T} -Qdx+Pdy=\oint\limits_{\partial T} \mathsf{cross}(P,Q) dr=\oint\limits_{-\partial T} (P,Q) df$

ahol persze ∂_xP+∂_yQ=div(P,Q) és a -∂T valódi felület a tartományból kifelé van irányítva.

Szerkesztő:Mozo/ A3 bizonyítások

A lap jelenlegi, 2018. június 16., 19:16-kori változata

Tartalomjegyzék

Egzakt differenciálegyenlet

Definíció

Egzakt egyenlet egzisztencia- és unicitástétele

Az egzaktság jellemzése

Lineáris differenciálegyenletek

Inhomogén lineáris egyenlet megoldásai

Elsőrendű inh. lin. diff. egyenlet és az állandó variálása

Másodrendű, áll. ehós hom. egyenlet

A deriválttenzor invariánsai

Potenciál

Jellemzés

Gradiensre vonatkozó integráltétel

Hossz n-edik deriváltja

Felületi integrál, Gauss-tétel

A ponttöltés keltette elektromos mező divergenciája, fluxusa

Vonalintegrál, Stokes-tétel

Végtelen hosszú egyenes vezető keltette mágneses mező rotációja és cirkulációja

CROSS és alkalmazása és a Green-tétel

Leképezések invariánsai

A deriválttenzor invariánsai

Integrálok kiszámítási formulái

Green-tétel

Nézetek

Személyes eszközök

Navigáció

Keresés

Eszközök

@@ 108. sor: / 108. sor: @@
 ''Bizonyítás.''
 :<math>\mathbf{A}(\lambda y_1+\mu y_2)=(\lambda .y_1+\mu .y_2)'+f\cdot(\lambda .y_1+\mu .y_2)=</math>
-:<math>=\lambda y_1'+\mu y_2'+\lambda f\cdot y_1+\mu f\cdot y_2=\lambda.\mathbf{A}(y_1)+\mu.\lambda.\mathbf{A}(y_1)</math>
+:<math>=\lambda y_1'+\mu y_2'+\lambda f\cdot y_1+\mu f\cdot y_2=\lambda.\mathbf{A}(y_1)+\mu.\mathbf{A}(y_2)</math>
 '''Következmény.''' A fenti jelölésekkel, tetszőleges ''g'' folytonos függvényre, ha <math>y_0</math> a
@@ 164. sor: / 164. sor: @@
 :<math>\mathrm{Ker}(\mathbf{A})=\{C_1e^{\lambda x}+C_2xe^{\lambda x}\mid C_1,C_2\in\mathbf{R}\}</math>
-. ha &lambda; = &alpha; <math> \pm</math> &beta; nemvalós, akkor
+. ha &lambda; = &alpha; <math> \pm</math> &beta;i nemvalós, akkor
 :<math>f_1(x)=e^{x(\alpha+i\beta)},\quad\quad f_2(x)=e^{x(\alpha-i\beta)}</math>
 azaz
@@ 174. sor: / 174. sor: @@
 bázis, mert lineárisan függetlenek és éppen ezért I. miatt előállítják Ker('''A''')-t.
-==Geometriai tenzorok==
+<!--==Geometriai tenzorok==
 :''Lásd erről még Serény [http://www.math.bme.hu/%7Esereny/LINKEK/vektanal.ps.gz jegyzetének (ps.gz/dvi)] 30., 34-35., 70-72. oldalán.''
@@ 257. sor: / 257. sor: @@
 & \ddots& 0\\
 & 0& \lambda_n\end{pmatrix}</math>
-Ez nehéz, de fontos tétel.
+Ez nehéz, de fontos tétel. -->
-===A deriválttenzor invariánsai===
+==A deriválttenzor invariánsai==
 Tudjuk, hogy ha '''v''' differenciálható vektorfüggvény, akkor az '''r'''<sub>0</sub> pontbeli differenciálján, vagy deriváltján, vagy deriválttenzorán azt az egyértelműen létező '''A''' lineáris leképezést értjük, melyre:
 :<math>\lim\limits_{\mathbf{r}\to \mathbf{r}_0}\frac{\mathbf{v}(\mathbf{r})-\mathbf{v}(\mathbf{r}_0)-\mathbf{A}(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0|}=\mathbf{0}</math>
@@ 272. sor: / 272. sor: @@
 '''Megjegyzés.''' A főtengelytételből következik, hogy hogyan jellemezhető az az eset, amikor az '''A''' deriváltenzor főtengelyre transzformálható. Ez pontosan akkor van, amikor rot('''v''')=0.
+<!--
+==Komplex differenciálhatóság==
+'''Definíció''' - ''Komplex differenciálhatóság, komplex derivált'' - Legyen ''f'' a ''z''<sub>0</sub> egy környezetében értelmezett függvény. Azt mondjuk, hogy ''f'' '''C'''-deriválható ''z''<sub>0</sub>-ban és deriváltja a ''w'' szám, ha
+:<math>\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=w</math>
+Jelölése: <math>f'(z_0)</math>.
+Azt, hogy az f a ''z''<sub>0</sub>-ban komplex deriválható még úgy is jelöljük, hogy
+:<math>f\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{C}}(z_0)</math>.
+'''Megj.''' Hasonlóképpen a valós egyváltozós esethez az f komplex differenciálhatósága ''z''<sub>0</sub>-ban ekvivalens azzal, hogy létezik olyan &epsilon;(z) függvény, mely a ''z''<sub>0</sub>-ban a 0-hoz tart, ott folytonos és minden ''z''-re az értelmezési tartományból:
+:<math>f(z)=f(z_0)+f'(z_0)(z-z_0)+\varepsilon(z)(z-z_0).</math>
+'''Példa.''' A következő függvény komplex deriválható a 0-ban:
+:<math>f(z)=\overline{z}\cdot z</math>
+''Mo.'' A különbségi hányados:
+:<math>\frac{\overline{z}\cdot z-0}{z-0}=\frac{\overline{z}\cdot z}{z}=\overline{z}\to 0</math>, ha z tart nullába.
+'''Példa.''' Az alábbi függvény nem deriválható komplex módon a 0-ban:
+:<math>f(z)=\overline{z}</math>
+''Mo.''
+A különbségi hányados:
+:<math>\frac{\overline{z}-0}{z-0}=\frac{\overline{z}}{z}=\cos(-2\varphi)+i\sin(-2\varphi)</math>
+Ennek a határértéke nem létezik a nullában.
+===Jellemzés===
+'''Tétel.''' - ''A komplex differenciálhatóság jellemzése'' -  Legyen ''f'' a ''z''<sub>0</sub> = ''x''<sub>0</sub> + i''y''<sub>0</sub>  egy környezetében értelmezett függvény. Ekkor az alábbiak ekvivalensek:
+:1) <math>f\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{C}}(z_0)</math>
+:2) <math>f\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{R}}(x_0,y_0)</math> és <math>[\mathrm{d}f(x_0,y_0)]\in\mathbf{C}</math>.
+''Bizonyítás.'' Legyen ''f'' a ''z''<sub>0</sub> = ''x''<sub>0</sub> + i''y''<sub>0</sub>  egy környezetében értelmezett függvény és ''w'' komplex szám.
+Tekintsük a következő határértéket:
+:<math>\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)-[w]\cdot (z-z_0)}{|z-z_0|}=0</math>
+ahol az ''z'', ''z''<sub>0</sub>, ''f''(''z''), ''f''(''z''<sub>0</sub>) mennyisegekre ugy tekintunk, mint vektorokra.
+Ez ekvivalens a következővel:
+:<math>\lim\limits_{z\to z_0}\left|\frac{f(z)-f(z_0)}{|z-z_0|}-\frac{w\cdot (z-z_0)}{|z-z_0|}\right|=0</math>
+ahol az elobb emlitettek mar algebrai ertelemben komplex szamok, nem feltetlenul vektorok.  Azaz
+:<math>\lim\limits_{z\to z_0}\left|\frac{z-z_0}{|z-z_0|}\left(\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-w\right)\right|=0</math>
+Itt (''z''-''z''<sub>0</sub>)/|''z''-''z''<sub>0</sub>| a komplex egységkörön "futó" függvény, hossza 1, ezért a fenti ekvivalnes a következővel:
+:<math>\lim\limits_{z\to z_0}\left|\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-w\right|=0</math>
+Ami viszont ugyanakkor igaz mint:
+:<math>\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=w</math>
+Ha a következtetésben felfelé vizsgálódunk, tehát feltesszük a komplex deriválhatóságot ahol ''w'' a komplex derivált, akkor azt kapjuk, hogy a ''w'' mátrixreprezentációjával való mátrixszorzás alkalmas lineáris leképezés a valós derivált számára, azaz létezik [df(z<sub>0</sub>)]=[w].
+Másfelől, ha f valósan deriválható és a deriváltja a ''w'' komplex számot reprezentálja, akkor komplexen is deriválható es komplex derivaltja pont ''w''.
+'''Cauchy--Riemann-egyenletek''' A fenti tételben a [df(z)] &isin; '''C''' feltétel (természetesen a totális deriválhatóság esetén) ekvivalens az alábbiakkal. Ha ''f'' = ''u'' + i''v'' és ''z'' =  ''x'' +i''y'', akkor
+:<math>\begin{cases}
+\partial_xu=\partial_yv\\
+\partial_yu=-\partial_x v
+\end{cases}</math>
+'''Komplex deriváltfüggvény''' Ahol egy f komplex függvény komplex deriválható, ott a deriváltja:
+:<math>f'(z)=\partial_x u+\mathrm{i}\partial_xv=\partial_y v+\mathrm{i}\partial_xv=\partial_xu-\mathrm{i}\partial_yu=\partial_y v-\mathrm{i}\partial_yu</math>
+'''Definíció''' - Regularitás - Az f komplex függvény reguláris a z pontban, ha f a z egy egész környezetén értelmezett, és a teljes környezetben komplex deriválható.
+===Egy tétel a reziduumról===
+'''Tétel.''' Ha ''f''-nek k-adrendű pólusa van a <math>z_0\in \mathbf{C}</math>-ben (k>0), akkor
+:<math>
+\mathrm{Res}_{z_0}f=\frac{1}{(k-1)!}\lim\limits_{z\to z_0}((z-z_0)^k f(z))^{(k-1)}
+</math>
+Az, hogy f-nek k-adrendű pólusa van a <math>z_0</math>-ban, az azt jelenti, hogy ott izolált szingularitása van, és a Laurent-sorában a legmagasabb 1/(z-<math>z_0</math>) hatvány kitevője k. Legyen
+:<math>\varphi(z)=(z-z_0)^k f(z)\,, \quad \varphi(z_0)=c_{-k}</math>
+Tudjuk, hogy
+:<math>f(z)=\frac{c_{-k}}{(z-z_0)^k}+...+\frac{c_{-1}}{z-z_0} +c_0+c_1(z-z_0)+...\,</math>
+ezért <math>\varphi</math> már egy Taylor-sor, reguláris és világos, hogy a c<sub>-1</sub> tagot a Taylor-sora k-1-edik tagjának együtthatójából számíthatjuk ki:
+:<math>\varphi(z)=(z-z_0)^k f(z)=c_{-k}+...+c_{-1}(z-z_0)^{k-1}+c_0(z-z_0)^k+c_1(z-z_0)^{k+1}+...\,</math>
+de a hatványsor tagjainak egyértelműségéből következik, hogy
+:<math>\frac{\varphi^{(k-1)}(z_0)}{(k-1)!}=c_{-1}</math>
+ezért
+:<math>
+\mathrm{Res}_{z_0}f=\frac{1}{(k-1)!}(\varphi)^{(k-1)}(z_0)
+</math>
+-->
 ==Potenciál==
@@ 284. sor: / 357. sor: @@
 vonalintegrál.
+===Jellemzés===
 A potenciálosság rendkívül szoros kapcsolatban van a cirkulációval és a rotációval:
@@ 317. sor: / 391. sor: @@
 skalárfüggvény független az úttól és a felső határ szerinti gradiense ugyanúgy az integrandus, mint az egyváltozós valós függvények esetén. QED.
-Az előbb említett, az integrálfüggvény deriválhatóságának tételének megvan a párja is. Ez az ''első gradientétel'', mely végül is nem más, mint a Newton--Leibniz-formula többdimenziós általánosításai közül a legelső verzió:
+===Gradiensre vonatkozó integráltétel===
+Az előbb említett, az integrálfüggvény deriválhatóságának tételének megvan a párja is. Ez az ''első gradienstétel'', mely végül is nem más, mint a Newton--Leibniz-formula többdimenziós általánosításai közül a legelső verzió:
 '''Tétel.'''
@@ 326. sor: / 402. sor: @@
 '''Potenciálkeresés.'''
-:''lásd: egzakt differenciálegyenlet megoldása (un. ''pancsolásos módszer''), komplex potenciál keresése és harmonikus társ.''
+) Pancsolásos módszer és variánsai (alkalmazások: egzakt differenciálegyenlet megoldása, harmonikus társ keresése)
-:grad u = ''r''<sup>n</sup>'''r''' típusú differenciálegyenletek megoldása
+) integrálás és az I. grad. tétel alkalmazása
+) invariáns alakban adott feldatoknál primitívfüggvény keresés.
+===Hossz n-edik deriváltja===
+Ez utóbbi megoldáshoz tudnunk kell, hogy a hossz n-edik deriváltja mi. Ezt a többváltozós függvények analízisében az összetett függvény deriválásánál tanultuk:
+ha '''r''' nem nulla, akkor
+:<math>\mathrm{grad} |\mathbf{r}|^n =n|\mathbf{r}|^{n-1}\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}
+</math>
+mert a külső függvény: <math>t\mapsto t^n</math>, a belső pedig <math>\mathbf{r}\mapsto |\mathbf{r}|</math>. Az utóbbi deriváltja koordinátás alakban:
+:<math>\mathrm{grad}\,\sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_m^2}=(\frac{2x_1}{2\sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_m^2}}, ..., \frac{2x_m}{2\sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_m^2}})=\frac{(x_1,x_2, ..., x_m}{\sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_m^2}}</math>
+tehát a függvénykompozíció deriválására vonatkozó tétel szerint:
+:<math>\mathrm{grad} (f(\Phi(\mathbf{r})))=f'(\Phi(\mathbf{r}))\cdot\mathrm{grad}\Phi(\mathbf{r})=n|\mathbf{r}|^{n-1}\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}</math>
+<!--
 ==Analitikus függvény reguláris==
@@ 426. sor: / 514. sor: @@
 Ebben a tételben a komplex körintegrálok kiszámításával foglalkozunk.
-Az ''f'' folytonos komplex függvény komplex integrálját egy szakaszonként folytonosan differenciálható ''G'': [a,b] <math>\to</math> '''C''' görbe mengtén értelmezhetjük közvetlenül a '''C''' síkon a
+'''Definíció.''' Ha ''G'':[a,b]<math>\to</math>'''C''' görbe és f olyan komplex függvény, melyre Ran(G)&sube;Dom(f), és f folytonos, akkor belátható, hogy létezik a
 :<math>\begin{matrix}
@@ 434. sor: / 522. sor: @@
   & |\Delta z_i|\to 0 &
 \end{matrix}</math>
-Riemann-közelítőösszeg határátmenetével vagy a síkbeli vonalintegrálra visszavezetve. Ez utóbbi esetben válik kifehezetten szembetűnővé, hogy a fenti képletben a <math>\cdot</math> szorzás a komplex szorzás. Ha ugyanis f= u + iv, akkor az f=(u,v) vektormezőnek olyan differenciálforma szerinti integrálja a komplex pályamenti integrál, mely az f=(u,v) vektor és a dz=(dx,dy) infinitezimális elmozdulásvektor komplex szorzásaként jön létre:
+határérték, mely egy speciális Riemann-közelítőösszeg határértéke. Itt a görbén kijelöltük a véges sok <math>z_i</math> pontot, melyek a szigorúan monoton (<math>t_i</math>)-khez tartoznak a <math>z_i=z(t_i)</math> definícióval. Ezen <math>[z(t_i),z(t_{i+1})]</math> görbeszakaszokon belül felvettük tetszőlegesen a &zeta;<sub>i</sub> közbülső pontokat, és a &Delta;z<sub>i</sub>=<math>[z(t_i),z(t_{i+1})]</math> szakaszokkal elkészítettük az f(&zeta;<sub>i</sub>)&Delta;z<sub>i</sub> komplex szorzatokat. A határérték ezek görbére vett összegének határértéke. Ez a határérték az f függvény ''G''-re vett komplex integrálja.
+'''Kiszámítási formula.''' Belátható, hogy a fenti integrál a következőkkel egyenlő:
+:<math>
+\int\limits_{G}f(z)\mathrm{d}z=\int\limits_{a}^b f(z(t))\cdot \dot{z}(t)\,\mathrm{d}t</math>
+'''Megjegyzes''' A helyettesiteses integralas tetelenek felhasznalasaval belathato, hogy ez az integral fuggetlen a parametertezestol, ha azok ugyanazt az iranyitast hatarozzak meg.
+'''Megj.''' A kiszamitasi formulaban skalarvaltozos vektorerteku fuggveny integralja szerepel. Ezt a kovetkezokeppen kell kiszamitani:
+<math>\int\limits_a^b\begin{pmatrix}f_1(t)\\f_2(t)\end{pmatrix}\,dt=\begin{pmatrix}\int\limits_a^b f_1(t) \,dt\\ \int\limits_a^b  f_2(t)\,dt\end{pmatrix}
+</math>
+===Visszavezetés valós vonalintegrálra es feluleti integralra===
+Az integrál kifejezhető vonalintegrállal. Ha ugyanis f= u + iv, akkor az f=(u,v) vektormezőnek olyan differenciálforma szerinti integrálja a komplex pályamenti integrál, mely az f=(u,v) vektor és a dz=(dx,dy) infinitezimális elmozdulásvektor komplex szorzásaként jön létre:
 :<math>\int\limits_{G}f(z)\mathrm{d}z = \int\limits_{G} u\mathrm{d}x-v\mathrm{d }y + i\int\limits_{G} u\mathrm{d}y+v\mathrm{d }x</math>
 Ebben a felírásban az (u,-v) és (v,u) olyan segédvektormezők, melyek vonalintegráljai adják meg a komplex integrál valós és képzetes részét. Tehát az integrált a
 :<math>\mathbf{P}=\begin{pmatrix}u\\-v\end{pmatrix}</math> és <math>\mathbf{Q}=\begin{pmatrix}v\\u\end{pmatrix}</math>
-segédvektormezők síkbeli '''vonalintegráljai''', vagy a
+segédvektormezők síkbeli '''vonalintegráljai'''
+:<math>\int\limits_{G}\mathbf{P}\,\mathrm{d}\mathbf{r}+i\int\limits_{G}\mathbf{Q}\,\mathrm{d}\mathbf{r}</math>
+vagy
 :<math>\mathbf{P}'=\begin{pmatrix}-v\\-u\end{pmatrix}</math> és <math>\mathbf{Q}'=\begin{pmatrix}u\\-v\end{pmatrix}</math>
-segédvektormezők síkbeli '''felületi integráljai''' szolgáltatják.
+segédvektormezők síkbeli '''felületi integráljai'''
+:<math>\int\limits_{F}\mathbf{P}'\,\mathrm{d}\mathbf{f}+i\int\limits_{F}\mathbf{Q}'\,\mathrm{d}\mathbf{f}</math>
+szolgáltatják.
-Itt érdemes feleleveníteni, hogy az '''S''' = (<math>s_1</math>, <math>s_2</math>) síkvektormező felületi integrálja nem más, mint a (<math>-s_2</math>, <math>s_1</math>) vektormező vonalintegrálja (a megfelelő irányítással).
+Itt érdemes feleleveníteni, hogy az '''v''' = (<math>v_1</math>, <math>v_2</math>) síkvektormező vonalintegrája a <math>v_1</math>dx+<math>v_2</math>dy differenciálforma integrálja az L görbére, felületi integrálja a (<math>v_1</math>, <math>v_2</math>)(<math>df_1</math>, <math>df_2</math>)=v_1df_1+v_2df_2 "differencialforma" integralasa adja. Itt az infinitezimalis feluletelem (<math>df_1</math>, <math>df_2</math>)=(<math>dy</math>,-<math>dx</math>):
+:<math>\int\limits_{F} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}=\int\limits_{-F} v_1 \mathrm{d}y-v_2\mathrm{d}x</math>,
-:<math>\int\limits_{F} \mathbf{S}\,\mathrm{d}\mathbf{f}=\int\limits_{''F''} s_1 \mathrm{d}y-s_2\mathrm{d}x</math>
+Ahol az F irányítását megváltoztattuk F'=-F-re, amikor vonalintegrálra tértünk át.
-megfelelő módon irányítva az F felületet, ill ennek "F" görbe mivoltát.
-(Azaz a s_2dx - s_1 dy differenciálforma integrálja. ''Differenciálforma'' -- nemes egyszerűséggel -- egy olyan kifejezése, ahol dx, dy, dz-k és egy vektormező komponensei vannak összeszorozva-összeadva.)
 ===Primitívfüggvény===
@@ 466. sor: / 571. sor: @@
 ===A komplex analízis főtétele===
-A komplex N--L-tétel nem túl hatékony eszköz. A N--L-tétel síkvektoranalízisbeli általánosításához kell folyamodnunk, például a Gauss-tételhez, ha többet akarunk mondani:
+A komplex N--L-tétel nem túl hatékony eszköz. A N--L-tétel síkvektoranalízisbeli általánosításához kell folyamodnunk, például a Stokes-tételhez, ha többet akarunk mondani:
+'''Stokes-tétel''' ('''R'''<sup>2</sup>-re) Legyen a ''D'' síkbeli tartomany határa a &part;D zárt görbe, megfelelően irányítva. Ha '''v''' folytonosan '''R'''-differenciálható egy nyílt halmazon, mely tartalmazza ''D'' lezártját, akkor
+:<math>\oint\limits_{\partial D} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{D} \mathrm{rot}(\mathbf{v})\,\mathrm{d}A</math>
-'''Gauss-tétel''' ('''R'''<sup>2</sup>-re) Legyen D egyszeresen összefüggő, síktartomány és legyen G : '''r'''='''r'''(t) ennek határát paraméterező zárt görbe. Ha '''v''' folytonosan '''R'''-differenciálható a D lezártján, akkor
+Ekkor csak a rotációt kell kiszámítanunk:
-:<math>\oint\limits_{G} \mathbf{v}(\mathbf{r})\mathrm{d}\mathbf{f}=\int\limits_{D} \mathrm{div}\,(\mathbf{v})\mathrm{d}f</math>
-A tételben rendkívül lényeges az egyszeres összefüggőség kitétel (ahogy a folytonos differenciálhatóság is). Gondoljunk csak a térbeli '''v'''('''r''') =  '''r'''/|'''r'''|<sup>3</sup> vektormezőre. Ennek körintegrálja az origóközéppontú gömbön 4&pi;, miközben a divergenciája mindenhol 0.
+:<math>\mathrm{rot}\mathbf{P}=\frac{\partial u}{\partial y} - \left(-\frac{\partial v}{\partial x}\right)=0</math>
+:<math>\mathrm{rot}\mathbf{Q}=\frac{\partial v}{\partial y} - \frac{\partial u}{\partial x}=0</math>
-Így tehát a komplex vonalintegrál kiszámításához csak a '''P''' ' és '''Q''' ' felületi integrálját kell kiszámítanunk, amihez a Gauss-tétel miatt a divergenciákat ki kell kiszámítanunk:
-:<math>\mathrm{div}\mathbf{P}'=-\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}=0</math>
-:<math>\mathrm{div}\mathbf{Q}'=\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y}=0</math>
 Ami, a C-R-egyenletek miatt igaz.
@@ 485. sor: / 590. sor: @@
 '''Goursat-lemma'''. A T háromszöglapon reguláris ''f'' komplex függvény integrálja a háromszög határán nulla:
 :<math>\oint\limits_{\partial T}f=0\,</math>
+''Bizonyitas.'' A haromszoget osszuk fel 4 egybevago haromszogre: &Delta;=&Delta;<sub>1</sub>&cup;&Delta;<sub>2</sub>&cup;&Delta;<sub>3</sub>&cup;&Delta;<sub>4</sub>. Ha jol iranyitjuk a kis haromszogek hatarat, akkor
+:<math>\int\limits_{\Delta}f=\int\limits_{\Delta_1}f+\int\limits_{\Delta_2}f+\int\limits_{\Delta_3}f+\int\limits_{\Delta_4}f</math>
+Ezt felulbecsulhetjuk a kovetkezovel:
+:<math>\left|\int\limits_{\Delta}f\right|\leq\sum\limits_{i=1}^4\left|\int\limits_{\Delta_i}f\right|\leq 4\max\limits_{i=1}^4\left|\int\limits_{\Delta_i}f\right|=4\left|\int\limits_{\Delta^{(1)}}f\right|</math>
+most &Delta;<sup>(1)</sup>-et bontjuk fel es folytatva a felosztast egy nullahoz tarto nagysagu haromszogekbol allo egymasba skatulyazott (&Delta;<sup>(''n'')</sup>) haromszogsorozatot kapunk, mely egy ponthoz, a ''z''<sub>0</sub>-hoz tart. A haromszogek kerulete K/2<sup>''n''</sup>, ha K az eredeti haromszog kerulete. Erra a sorozatra tovabba:
+:<math>\left|\int\limits_{\Delta}f\right|\leq 4^n\left|\int\limits_{\Delta^{(n)}}f\right|</math>
+igaz.
+Most felhasznaljuk a komplex differencialhatosagot. Tetszoleges &epsilon;>0 szamra van olyan kornyezete ''z''<sub>0</sub>-nak, es a haromszogsorozatnak olyan N indexe, melyre az n-edik tagok mar a kornyezetben vannak es az alabbi formulaban az |&epsilon;(z)|<&epsilon;:
+:<math>f(z)=f(z_0)+f'(z_0)(z-z_0)+\varepsilon(z)(z-z_0)</math>
+Ezt integralva a haromszogre:
+:<math>|\int\limits_{\Delta^{(n)}}f(z)|=|\int\limits_{\Delta^{(n)}}f(z_0)+f'(z_0)(z-z_0)+\varepsilon(z)(z-z_0)\,dz|=|\int\limits_{\Delta^{(n)}}\varepsilon(z)(z-z_0)\,dz|=</math>
+Itt az utolso kifejezest az ivhossz integrallal felulbecsuljuk:
+:<math>\leq\int\limits_{\Delta^{(n)}}|\varepsilon(z)||(z-z_0)|\,d|z|<\varepsilon K^2/4^n</math>
+Mivel &epsilon; tetszoleges volt, ezert az integral eltunik.
 Innen már könnyen adódik a komplex analízis főtétele, melyet először Cauchy modott ki ugyan csak folytonosan diffható komplex függvényre, de Goursat ezt megfejelte a gyengített feltételével:
-'''Cauchy-tétel''' vagy '''Főtétel.''' Ha a ''D'' tartományon egyszeresen összefüggő tartományon reguláris az ''f'' komplex függvény, akkor a tartományban minden zárt G görbén a függvény integrálja nulla:
+'''Főtétel.''' Ha a ''D'' egyszeresen összefüggő tartományon reguláris az ''f'' komplex függvény, akkor a tartományban minden zárt G egyszeru görbén a függvény integrálja nulla:
 :<math>\oint\limits_{G} f=0\,</math>
-===Cauchy-formula===
+===Cauchy-formulák===
-A Cauchy-formula azért múlhatatlan fontosságú, mert ennek a kifejezetten komplex jellegű állításnak a következménye, hogy egy reguláris függvény nem csak egyszer, de végtelenszer differenciálható, sőt analitikus.
+A Cauchy-formulák azért múlhatatlan fontosságúak, mert ezeknek következménye, hogy egy reguláris függvény nem csak egyszer, de végtelenszer differenciálható, sőt analitikus.
 '''Tétel.''' Ha f az z_0 egy U környezetén reguláris, akkor tetszőleges az U-ban haladó, a z_0-t egyszer körülhurkoló pozitívan irányított G zárt görbére:
-:<math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{G}\frac{f(z)}{z-z_0}\,\mathrm{d}z</math>
+:<math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint\limits_{G}\frac{f(z)}{(z-z_0){n+1}}\,\mathrm{d}z</math>
 ''Bizonyítás.'' Vegyünk a <math>z_0</math> körül egy olyan K kört, mely a pozitívan irányított G belsejében halad és ''r'' > 0 sugarú. Definiáljuk azt a görbét melyet a következőkppen kapunk. Metszük át egy befelé menő s sugárral a G és K közötti tartományt. Tegyük fel, hogy G és K kezdőpontjai a sugár metszetei. tákoljuk össze a következő görbét:
@@ 528. sor: / 649. sor: @@
 f-tehát kiterjeszthető U-n reguláris függvénnyé, így a Cauchy-tétel miatt minden körintegrálja eltűnik. Vagy egyszerűbben: f reziduuma a megszüntethető szingularitási helyen 0.
-'''Feladat.''' Igazoljuk, hogy az '''C''' \ {0}-n értelmezett
-<math>f(z)=\frac{\frac{e^{x}-1}{x}-1}{x}</math>
-függvény integrálja az egységkörre nulla!
 ==Reguláris függvény analitikus, Laurent-sorfejtés==
@@ 575. sor: / 690. sor: @@
 '''Következmény.''' Reguláris függvény analitikus.
+===Szakadások osztályozása===
 '''Következmény.''' Az izolált szingularitások a sorfejtés szerint osztályozhatóak éspedig. Az ''f'' függvény a <math>z_0</math> izolált szinguláris pontja körüli sorfejtésében
 # pontosan akkor van csak reguláris tag, ha a szingularitás megszűntethető,
 # pontosan akkor van véges sok főrészbeli tag, ha végtelen a határérék <math>z_0</math>-ban,
-# pontosan akkor van végtelen sok főrészbeli tag (lényeges szingularitás), ha nem létezik a határérék <math>z_0</math>-ban.
+# pontosan akkor van végtelen sok főrészbeli tag (lényeges szingularitás), ha nem létezik a határérék <math>z_0</math>-ban.-->
 == Felületi integrál, Gauss-tétel==
@@ 585. sor: / 701. sor: @@
 '''Definíció.'''  Legyen <math>\mathbf{v}</math> vektormező, mely <math>\mathbf{R}^3</math> egy nyílt ''D'' tartományán értelmezett.
 Legyen <math>\mathbf{r}:T\to D,\quad (u,v)\mapsto\mathbf{r}(u,v)</math> folytonosan differenciálható függvény, melynek értelmezési tartománya a ''T'' mérhető síktartomány. Ekkor a vektorfüggvény integrálját és létezését a felület mentén a következő limesszel definiáljuk:
-:<math>\exists\int\limits_{\mathrm{Ran}(\mathbf{r})}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{F}=L\in \mathbf{R}\quad\quad\Longleftrightarrow\quad\quad\sum\limits_{i=1}^n\mathbf{v}(\mathbf{r}_i)\Delta\mathbf{F}_{i}\underset{\begin{matrix}n\to \infty\\\mathbf{r}_i\in F\\|\Delta\mathbf{F}_{i}|\to 0\\\Delta\mathbf{F}_{i}=\mathbf{r}(I_i)\\I_i\subseteq T\\ \uplus I_i=T\end{matrix}}{\longrightarrow} L</math>
+:<math>\exists\int\limits_{\mathrm{Ran}(\mathbf{r})}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{F}=L\quad\quad\Longleftrightarrow\quad\quad\sum\limits_{i=1}^n\mathbf{v}(\mathbf{r}_i)\Delta\mathbf{F}_{i}\underset{\begin{matrix}n\to \infty\\\mathbf{r}_i\in F\\|\Delta\mathbf{F}_{i}|\to 0\end{matrix}}{\longrightarrow} L\in \mathbf{R}</math>
 Itt tehát ''T''-t egymásba nem nyúló, mérhető ''I<sub>i</sub>'' síktartományokra bontjuk fel, amelyek ármérője egyre csökken.
 Az integrál létezésére és értékére az alábbi egyszerű kritériumot és tartományi integrált írhatjuk föl. Legyen <math>\mathbf{r}:T\to D,\quad (u,v)\mapsto\mathbf{r}(u,v)</math> folytonosan differenciálható függvény, melynek értelmezési tartománya a ''T'' mérhető síktartomány. Ekkor az <math>\mathbf{r}(u,v)</math> deriváltjai léteznek, a felületi integrál létezik és felírható
 :<math>\int\limits_{F}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{F}=\int\limits_{T_{u,v}}\mathbf{v}(\mathbf{r}(u,v))\cdot \frac{\partial \mathbf{r}(u,v)}{\partial u}\times\frac{\partial \mathbf{r}(u,v)}{\partial v}\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v</math>
 Ha a skaláris szorzat '''invariáns''' értelmezését vesszük, akkor a fenti formulát még a következőképpen is felírhatjuk:
-:<math>\int\limits_{G}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{G}v_{\perp}\,\mathrm{d}F</math>
+:<math>\int\limits_{G}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}=\int\limits_{G}v_{\perp}\,|\mathrm{d}\mathbf{f}|</math>
-ahol <math>v_\perp =\mathbf{v}\cdot \frac{\mathbf{n}}{|\mathbf{n}|}</math>, azaz a vektormezőnek a felületi érintősík normálisa  irányába eső előjeles vetülete.
+ahol <math>v_\perp =\mathbf{v}\cdot \frac{\mathbf{n}}{|\mathbf{n}|}</math>
+, azaz a felületi integrál egyenlő a vektormezőnek a felületi érintősík normálisa irányába eső előjeles komponense ugyanazon felületre vonatkozó felszín szerinti integráljával.
 Megjegyzendő, hogy a képletben szereplő vegyes szorzat értéke <math>3\times 3</math>-as determinánsként számítható ki a komponenseiből:
@@ 600. sor: / 717. sor: @@
 '''Tétel ''' -- Gauss-Osztrogradszkíj -- Legyen <math>\mathbf{v}:D\to \mathbf{R}^3</math> folytonosan differenciálható vektormező, <math>D\subseteq \mathbf{R}^3</math> tartomány és legyen ''V'' a ''D''-ben lévő mérhető térrész, melynek pereme az <math>\partial V=F\subseteq D</math> zárt felület a térrészből kifelé mutató irányítással. Ekkor
 :<math>
-\oint\limits_{\partial V}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{F}=\int\limits_{V}\mathrm{div}\,\mathbf{v}\,\mathrm{d}\,V</math>
+\oint\limits_{\partial V}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{F}=\int\limits_{V}\mathrm{div}\,\mathbf{v}\,\mathrm{d}V</math>
 A tétel fontos alkalmazása a gömbszimmetrikus vektormezők felületi integráljának kiszámítása, ezek közül is a legfontosabb a reciproknégyzetes erősségű vektormezők.
+===A ponttöltés keltette elektromos mező divergenciája, fluxusa===
 Számítsuk ki a
 :<math>\mathbf{v}=\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|^3}</math>
-vektormező integrálját a &Gamma; felületre, mely az origót belsejében tartalmazó V kompakt tartomány pereme, kifelé irányítva!
+vektormező integrálját a ''tetszőleges'' &Gamma; zárt felületre, mely az origót belsejében tartalmazó V kompakt tartomány pereme, kifelé irányítva!
-Először kiszámatjuk a vektoremző divergenciáját ott, ahol értelmezve van:
+Először kiszámítjuk a vektoremző divergenciáját ott, ahol értelmezve van:
 :<math>\mathrm{div}\,\mathbf{v}=\mathrm{div}\,(\mathbf{r}|\mathbf{r}|^{-3})=3|\mathbf{r}|^{-3}+\mathbf{r}(-3)|\mathbf{r}|^{-4}\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}=0</math>
+Itt felhasználtuk a divergenciára vontkozó szorzási szabályt.
+Az integrál előállítható egy a '''v''' értelmezési tartományába eső tartomány peremére és egy másik felületre vonatkozó felületi integrálként. Legyen ugyanis ''G'' az origó középpontú olyan ''R'' sugarú gömb, mely benne van ''V'' belsejében és ''D'' az a tartomány pedig legyen ''V'' minusz ''G''. Ekkor
+:<math>\int_{\partial D} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}=\int_{\partial V} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}+\int_{-\partial G} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}</math>
+azaz
+:<math>\int_{\partial V} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}= \int_{\partial D} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}+\int_{\partial G} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}=\int_{D} \mathrm{div}(\mathbf{v})\,\mathrm{d}\mathrm{V}+\int_{\partial G} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}=\int_{\partial G} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}</math>
+Tehát csak G határára kell kiszámítani a vektormező fluxusát. Ezt az invariáns formulával tesszük:
+:<math>\int_{\partial G} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}=\int_{\partial G} \frac{1}{R^2}\,|\mathrm{d}\mathbf{f}|=\frac{1}{R^2}\int_{\partial G} \,|\mathrm{d}\mathbf{f}|=4\pi</math>
+(Imént lényegében az elektrosztatikus Gauss-törtvény állítását vezettük le a Coulomb-törvényből)
+==Vonalintegrál, Stokes-tétel==
+Legyen <math>\mathbf{v}</math> vektormező, mely <math>\mathbf{R}^n</math> egy nyílt ''D'' tartományán értelmezett.
+Legyen <math>\Gamma:[a,b]\to D,\quad t\mapsto\mathbf{r}(t)</math> folytonosan differenciálható függvény. Ekkor a vektormező integrálját és létezését a görbe mentén a következő limesszel definiáljuk:
+:<math>\exists\int\limits_{\Gamma}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=L\quad\quad\Longleftrightarrow\quad\quad\sum\limits_{i=1}^n\mathbf{v}(\mathbf{r}_i)(\mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{i-1})\underset{\begin{matrix}n\to \infty\\\mathbf{r}_i\in \Gamma\\|\mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{i-1}|\to 0\\\mathbf{r}_{i}=\mathbf{r}(t_i)\\(t_i)_{i=1...n}\mbox{ szig. mon. nov.} \end{matrix}}{\longrightarrow} L\in \mathbf{R}</math>
+Az integrál létezésére és értékére az alábbi egy egyszerű kritériumot és egydimenziós integrált írhatjuk föl. Legyen <math>G:[t_1,t_2]\to D,\quad t\mapsto\mathbf{r}(t)</math> legfeljebb véges sok pontban nem folytonosan differenciálható függvény. Ekkor az <math>\mathbf{r}(t)</math> deriváltja véges sok pont kivételével létezik, a vonalintegrál létezik és felírható
+: <math>\int\limits_{G}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{t_1}^{t_2}\mathbf{v}(\mathbf{r}(t))\cdot \dot{\mathbf{r}}(t)\,\mathrm{d}t</math>
+Ha a skaláris szorzat invariáns értelmezését vesszük, akkor a fenti formulát még a következőképpen is felírhatjuk:
+: <math>\int\limits_{G}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{t_1}^{t_2}v_{\parallel }(\mathbf{r}(t))\cdot|\dot{\mathbf{r}}(t)|\,\mathrm{d}t=\int\limits_{G}v_{\parallel }\,|\mathrm{d}\mathbf{r}|</math>
+ahol <math>v_\parallel =\mathbf{v}\cdot \mathbf{t}</math>, azaz a vektormezőnek a görbe érintője irányába eső előjeles vetülete.
+'''Tétel ''' -- Stokes-tétel -- Legyen <math>\mathbf{v}:D\to \mathbf{R}^3</math> folytonosan differenciálható vektormező, <math>D\subseteq \mathbf{R}^3</math> tartomány és legyen <math>F\subseteq D</math> irányított, peremes felület, ennek pereme <math>\partial F</math>. Ekkor
+: <math>\oint\limits_{\partial F}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{F}\mathrm{rot}\,\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{F}</math>
+Megjegyezzük, hogy a perem irányítása kompatibilis kell hogy legyen a felület irányításával, ellenkező esetben az integrál a fenti ellentettje lesz. Kompatibilis a felület és a pereme irányítása, ha "a felületi normálvektor irány a fejünk iránya, a lábunk a felületen van, a peremen haladunk végig és a felület bal kéz felől esik (jobbkézszabály)".
+===Végtelen hosszú egyenes vezető keltette mágneses mező rotációja és cirkulációja===
+A tétel alkalmazására a következő hengerszimmetrikus esetet nézzük.
+Legyen
+:<math>\mathbf{v}=\frac{\mathbf{k}\times \mathbf{r}}{|\mathbf{k}\times\mathbf{r}|^2}</math>
+a vektormező és a felület az [xy] sík egy olyan ''tetszőleges'' T mérhető tartománya, mely a belsejében tartalmazza az origót és a pereme a G zárt görbe. Igazoljuk ekkor, hogy G-re az integrál 2&pi;.
+Először kiszámítjuk a vektormező rotációját. Ehhez felhasználjuk a rotációra vonatkozókövetkező azonosságot:
+:<math>\mathbf{rot}\,(\Phi\mathbf{u})=\mathbf{rot}(\mathbf{u})\cdot \Phi+\mathrm{grad}\Phi\times\mathbf{u}</math>
+:<math>\mathbf{rot}\,\mathbf{v}=\mathbf{rot}(\mathbf{k}\times \mathbf{r})\cdot |\mathbf{k}\times\mathbf{r}|^{-2}+(\mathbf{k}\times \mathbf{r})\times\mathrm{grad}(|\mathbf{k}\times\mathbf{r}|^{-2})</math>
+A rotáció a deriválttenzor vektorinvariánsának kétszerese, mivel lineáris leképezés deriváltja saját maga, ezért a képletbeli rotáció 2''k''. A képletbeli gradiens alatti skalármező a tengelytől mért távolságtől függ, ezért:
+:<math>\mathbf{rot}\,\mathbf{v}=2\mathbf{k}|\mathbf{k}\times\mathbf{r}|^{-2}+(\mathbf{k}\times \mathbf{r})\times(-2)|\mathbf{k}\times\mathbf{r}|^{-3}\cdot \frac{(\mathbf{k}\times \mathbf{r})\times\mathbf{k}}{|\mathbf{k}\times\mathbf{r}|}=\mathbf{0}</math>
+Most felbontjuk a T tartományt egy D lyukas tartományra és egy körlapra. A K körlap sugara legyen olyan R, mely esetén a körlap a T belsejében van benne. Ekkor
+:<math>\int\limits_{\partial D}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{\partial T}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}+\int\limits_{-\partial K}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}</math>
+Tehát
+:<math>\int\limits_{\partial T}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{\partial D}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}+\int\limits_{\partial K}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{D}\mathbf{rot}(\mathbf{v})\,\mathrm{d}\mathbf{f}+\int\limits_{\partial K}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{\partial K}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}</math>
+Innen a vonalintegrál invariáns értelmezése folytán:
+:<math>\int\limits_{\partial K}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{\partial K}\frac{1}{R}|\mathrm{d}\mathbf{r}|=\frac{1}{R}2\pi R=2\pi</math>
+(Itt lényegében a végtelen hosszú egyenes vezető körüli görbén a mágneses indukció körintegrálját határoztuk meg.)
+==CROSS és alkalmazása és a Green-tétel==
+'''Definíció.''' A '''kettő vagy háromdimenziós térben''' CROSS a következő lineáris ill. bilineáris leképezés:
+Ha <math>\mathbf{v}=(v_1,v_2)\in \mathbf{R}^2</math>, akkor <math>\mathsf{cross}(\mathbf{v})=(-v_2,v_1)</math>.
+Ha <math>\mathbf{v}, \mathbf{w}\in \mathbf{R}^3</math>, akkor <math>\mathsf{cross}(\mathbf{v},\mathbf{w})=\mathbf{v}\times\mathbf{w}</math>.
+===Leképezések invariánsai===
+Az '''S''' lineáris leképezés '''szimmetrikus''', ha minden ortonormált bázisban a mátrixa szimmetrikus mátrix. Igaz az, hogy '''S''' pontosan akkor szimmetrikus, ha minden '''u''', '''v''' vektorra
+:'''u'''<math>\cdot</math>('''Sv''')='''v'''<math>\cdot</math>('''Su'''),
+ahol <math>\cdot</math> a skaláris szorzás.
+Az '''A''' lineáris leképezés'''antiszimmetrikus''', ha minden ortonormált bázisban a mátrixa antiszimmetrikus mátrix. Igaz az, hogy '''A''' pontosan akkor antiszimmetrikus, ha minden '''u''', '''v''' vektorra
+:'''u'''<math>\cdot</math>('''Av''')=-'''v'''<math>\cdot</math>('''Au'''),
+ahol <math>\cdot</math> a skaláris szorzás.
+Bármely '''T''' lineáris leképezés egyértélműen előáll '''S''' + '''A''' alakban, ahol  '''S''' szimmetrikus, '''A''' pedig antiszimmetrikus, éspedig:
+:<math>\mathbf{T}=\frac{1}{2}(\mathbf{T}+\mathbf{T}^{\mathrm{T}})+\frac{1}{2}(\mathbf{T}-\mathbf{T}^{\mathrm{T}})</math>
+Két fontos tétel:
+'''Tétel''' -- Ha '''A''' &isin;'''R'''<sup>3</sup> (illetve '''R'''<sup>2</sup> ) antiszimmetrikus, akkor létezik olyan '''a''' vektor (vagy ''a'' skalár), hogy minden '''v''' vektorra:
+:<math>\mathbf{Av}=\mathbf{a}\times\mathbf{v}=\mathsf{cross}(\mathbf{a},\mathbf{v})\quad\quad(\mathrm{vagy}\;\mathbf{Av}=a\cdot\mathsf{cross}(\mathbf{v}))</math>
+'''a'''-t (ill. ''a''-t) az '''A''' '''vektorinvariánsá'''nak nevezzük (bár a síkon ez skalár). A tételt elég a sztenderd bázisban igazolni, ott az '''a'''&times;( . ) opertátorral, azonos így '''A''' ez az operátor.
+'''Főtengelyétel''' -- Ha '''S''' &isin;'''R'''<sup>n&times;n</sup> szimmetrikus, akkor minden sajátértéke valós és létezik a sajátvektorokból álló B ortonormált bázis, amiben '''S''' főtengelyre transzformálható, azaz diagonális és az elemei az '''S''' sajátértékei:
+:<math>[\mathbf{S}]_{\{\mathbf{v}_1,...,\mathbf{v}_n\}}=\begin{pmatrix}\lambda_1& 0& 0\\
+& \ddots& 0\\
+& 0& \lambda_n\end{pmatrix}</math>
+Ez nehéz, de fontos tétel.
+===A deriválttenzor invariánsai===
+Tudjuk, hogy ha '''v''' differenciálható vektorfüggvény, akkor az '''r'''<sub>0</sub> pontbeli differenciálján, vagy deriváltján, vagy deriválttenzorán azt az egyértelműen létező '''A''' lineáris leképezést értjük, melyre:
+:<math>\lim\limits_{\mathbf{r}\to \mathbf{r}_0}\frac{\mathbf{v}(\mathbf{r})-\mathbf{v}(\mathbf{r}_0)-\mathbf{A}(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0|}=\mathbf{0}</math>
+Minthogy az '''A''' deriválttenzor lineáris leképezés, ezért érdemes külön elnevezni az invariánsait ('''h''' tetszőleges vektora a térnek):
+:<math>\mathbf{A}\mathbf{h}=\mathbf{A}_s\mathbf{h}+\left.\frac{1}{2}\mathbf{rot}(\mathbf{v})\right|_{\mathbf{r_0}}\times\mathbf{h}</math>
+azaz '''A''' vektorinvariánsának duplája a rotáció.'''A'''<sub>s</sub> a derivált leképezés szimmetrikus része. A divergencia a skalárinvariáns:
+:<math>\mathrm{div}(\mathbf{v})=\mathrm{Tr}(\mathbf{A})</math>
+Világos, hogy ebből úgy lesznek a parciális deriváltakkal definiált alakok, ha az '''A''' sztenderd bázisbeli mátrixát, azaz a J Jacobi mátrixot írjuk fel. Ekkor mindkét említett differenciáloperátort a szokásos alakjában kapjuk:
+:<math>\mathrm{J}=\begin{pmatrix}\frac{\partial v_1}{\partial x}& \frac{\partial v_1}{\partial y}& \frac{\partial v_1}{\partial z}\\
+\frac{\partial v_2}{\partial x}& \frac{\partial v_2}{\partial y}& \frac{\partial v_2}{\partial z}\\
+\frac{\partial v_3}{\partial x}& \frac{\partial v_3}{\partial y}& \frac{\partial v_3}{\partial z}\end{pmatrix}</math>
+===Integrálok kiszámítási formulái===
+Felszín szerinti intergálok:
+Síkban: <math>\int\limits_{F} \varphi|df|=\int\limits_{t=t_1}^{t_2} \varphi(r(t))|\mathsf{cross}(\dot{r}(t))|dt</math>
+Térben: <math>\int\limits_{F} \varphi|df|=\int\limits_{(u,v)\in T} \varphi(r(u,v))|\mathsf{cross}(r_u(u,v),r_v(u,v))|dudv</math>
+Felületmenti intergálok:
+Síkban: <math>\int\limits_{F} vdf=\int\limits_{t=t_1}^{t_2} v(r(t))\mathsf{cross}(\dot{r}(t))dt</math>
+Térben: <math>\int\limits_{F} vdf=\int\limits_{(u,v)\in T} v(r(u,v))\mathsf{cross}(r_u(u,v),r_v(u,v))dudv</math>
+Síkban a felületi és felszín integrál kifejezhető az ívhossz és a vonalintegrállal, a következőképpen. Mivel <math>|\mathsf{cross}(a)|=|a|</math>, ezért
+:<math>\int\limits_{F} \varphi|df|=\int\limits_{t=t_1}^{t_2} \varphi(r(t))|\mathsf{cross}(\dot{r}(t))|dt=\int\limits_{t=t_1}^{t_2} \varphi(r(t))|\dot{r}(t))|dt=\int \limits_{L}\varphi|dr|</math>,
+ahol L és F paraméterezése <math>t\mapsto r(t)</math> ugyanaz.
+Felületi integrál esetén, ha F egy T tartomány peremdarabja, akkor
+:<math>\int\limits_{F} vdf=\int\limits_{-F}\mathsf{cross}(v)dr</math>
+ugyanis felhasználva, hogy cross(dx,dy)=(-dy,dx) és cross(<math>v_1</math>,<math>v_2</math>)=(-<math>v_2</math>,<math>v_1</math>)
+:<math>\int\limits_{F} vdf=\int\limits_{F}v_1(-dy)+v_2dx=\int\limits_{F}v_2dx-v_1dy=\int\limits_{F}-(-v_2dx+v_1dy)=-\int\limits_{F}-v_2dx+v_1dy=</math>
+:<math>=\int\limits_{-F}-v_2dx+v_1dy=\int\limits_{-F}\mathsf{cross}(v)dr</math>
+Itt -F, mint vonal a T tartomány peremének egy darabja, amint pozitívan van irányítva (ha tudjuk, hogy F kifelé irányított)
+===Green-tétel===
+Legyen a (P,Q) síkbeli vektormező egy U nyílt halmazon folytonosan differenciálható és legyen T az U egy kompakt mérhető része, &part;T a peremét alkotó görbe. Ekkor
+:<math>\oint\limits_{\partial T} Pdx+Qdy=\int\limits_{T}\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}dxdy</math>
+Ezt a tételt egy spéci T háromszöglapra bizonyítjuk. Legyen
+:<math>T:=\{(x,y)\mid 0\leq x\leq 1,\quad 0\leq y\leq 1-x\}</math>
+Az így definiált T az x tengelyre vonatkozóan normáltartomány. A bizonyításban szükség lesz arra, hogy T-t y tengelyre vonatkozó normáltartományként is megadjuk:
+:<math>T:=\{(x,y)\mid 0\leq y\leq 1,\quad 0\leq x\leq 1-y\}</math>
+Határa:
+:<math>\partial T=[(0,0),(1,0)]\cup[(1,0),(0,1)]\cup[(0,1),(0,0)]</math>
+A vonaldarabok paraméterezése legyen rendre: (t,0), ha t&isin;[0,1], (t,1-t), ha t&isin;[0,1] (ennek az irányításét majd meg kell fordítani) és (0,t), t&isin;[0,1] (ennek is meg kell fordítani).
+Ekkor
+:<math>\oint\limits_{\partial T} Pdx+Qdy=\int\limits_{0}^1P(t,0)dt-\int\limits_{0}^1 P(t,1-t)-Q(t,1-t)dt-\int\limits_{0}^1 Q(0,t)dt=</math>
+:<math>=\int\limits_{0}^1P(t,0)- P(t,1-t)dt+\int\limits_{0}^1 Q(1-t,t)-Q(0,t)dt=\int\limits_{0}^1P(x,0)- P(x,1-x) dx+\int\limits_{0}^1 Q(1-y,y)-Q(0,y)dy=</math>
+Itt végeztünk egy paramétercserét.
+:<math>=\int\limits_{0}^1 Q(1-y,y)-Q(0,y)dy-\int\limits_{0}^1 P(x,1-x)-P(x,0)dx=\int\limits_{y=0}^1\int\limits_{x=0}^{1-y} \frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}dxdy-\int\limits_{x=0}^1\int\limits_{y=0}^{1-x}\frac{\partial P(x,y)}{\partial y}dydx=</math>
+Ezután pedig felhasználjuk, hogy a két integrál ugyanarra a tartományra vett kettősintegrál:
+:<math>\int\limits_{T}\frac{\partial Q}{\partial x}dxdy-\int\limits_{T}\frac{\partial P}{\partial y}dxdy=\int\limits_{T}\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}dxdy</math>
+A tétel érvényes minden ''n''-szeresen összefüggő tartományra is (az ''n-1'' db lyukat tartalmazó kilyukasztott körlappal homeomorf tartományokra), mert egyfelől változatlan marad, ha görbevonalú háromszögre térünk át (integráltranszformációval), másfelől minden ''n''-szeresen összefüggő tartomány felbontható véges sok görbevonalú háromszögre, ahol az integrálok összegében a belső szakaszok eltűnnek és a tétel szintén érvényben marad.
+A Green-tétel a (háromdimenziós) Stokes-tétel speciális esete, hiszen a (P,Q,0) vektormező rotációja pont (0,0,&part;<sub>x</sub>Q-&part;<sub>y</sub>P). A Green-tételből levezethető a kétdimenziós Gauss-tétel, a következőképpen. Legyen T a síkbeli peremes tartomány és &part;T a pereme mint pozitívan irányított zárt görbe (ill. véges sok görbe diszjunkt úniója, ha ''n''-szeresen összefüggő, ''n''>1). Ekkor a Q:=P, P:=-Q szereposztással felírva a Green-tételt:
+:<math>\oint\limits_{\partial T} -Qdx+Pdy=\int\limits_{T}\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}dxdy</math>
+Itt a baloldali integrandus a (P,Q) vektormező cross-ja, ami viszont a &part;T-re, mint valódi felületre vett integrál ellenkezője:
+:<math>\int\limits_{T}\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}dxdy=\oint\limits_{\partial T} -Qdx+Pdy=\oint\limits_{\partial T} \mathsf{cross}(P,Q) dr=\oint\limits_{-\partial T} (P,Q) df</math>
+ahol persze &part;<sub>x</sub>P+&part;<sub>y</sub>Q=div(P,Q) és a -&part;T valódi felület a tartományból kifelé van irányítva.