Szerkesztő:Mozo/ A3 bizonyítások

A MathWikiből
< Szerkesztő:Mozo
A lap korábbi változatát látod, amilyen Mozo (vitalap | szerkesztései) 2014. január 1., 22:25-kor történt szerkesztése után volt.

Tartalomjegyzék

Egzakt differenciálegyenlet

Definíció

Legyen U ⊆ R2 nyílt halmaz és P,Q: U \to R folytonos függvények, Q sehol sem nulla. Azt mondjuk, hogy az

y'=-\frac{P(x,y)}{Q(x,y)}\quad\quad \mathrm{(EX)}

differenciálegyenlet egzakt, ha létezik olyan F: U \to R folytonosan differenciálható függvény, hogy

\frac{\partial F}{\partial x}=P,\quad\quad\frac{\partial F}{\partial y}=Q\quad\quad\mathrm{(C)}

Elméleti példa. Minden

y'=\frac{f(x)}{g(y)}\quad\quad (f\in\mathrm{C}(I),\;g\in \mathrm{C}(J),\;0\notin\mathrm{Ran}(g))

alakú szeparábilis differenciálegyenlet egzakt, hiszen ha g integrálfüggvénye G, akkor

g(y)y'=f(x)\quad\quad\Rightarrow\quad\quad G(y)=F(x)+C

Alkalmas tehát az alábbi függvény:

\Phi(x,y):=G(y)-F(x)=C\quad\quad\Rightarrow\quad\quad\frac{\partial \Phi}{\partial x}=f,\quad\quad\frac{\partial \Phi}{\partial y}=g

Jelen esetben a G függvény deriváltja (G'=g) sehol sem nulla folytonos függvény, ezért szigorúan monoton. Emiatt kifejezhető y éspedig:

y(x)=G^{-1}(F(x)+C)\,

Megjegyzés. A megoldásokat implicit módon adja meg az

\Phi(x,y)=C\,

egyenlet. Mivel

\frac{\partial\Phi}{\partial y}\ne 0

ezért az implicitfüggvény-tétel miatt y-t "ki lehet fejezni". Érdemes felelevenítenünk magát az implicitfüggvény-tételt:

Implicitfüggvény-tétel -- Ha a Φ: I×J \to R folytonosan differenciálható függvény az (x0,y0) ∈ int(I×J) pontban teljesíti a ∂Φ/∂y ≠ 0 feltételt, akkor a (x0,y0) pont egy környezetében egyértelműen létezik az Φ(x,y)=Φ(x0,y0) egyenletnek az (x0,y0) ponton áthaladó implicit függvénye, azaz az x0 egy KI környezetében értelmezett, J-beli értékű y deriválható függvény, melyre minden xK esetén:

\Phi(x,y(x))=\Phi(x_0,y_0)\,, y(x_0)=y_0\,

és ennek deriváltja minden xK-ban:

y'(x)=-\left.\frac{\;\frac{\partial\Phi}{\partial x}\;}{\frac{\partial \Phi}{\partial{y}}}\right|_{(x,y(x))}

Egzakt egyenlet egzisztencia- és unicitástétele

Tétel. Legyenek P és Q az UR2 nyílt halmazon értelmezett folytonos valós függvények, Q sehol se nulla, grad F = (P,Q) valamely F: U \to R folytonosan differenciálható függvénnyel és (x0,y0)U. Ekkor

1) az

(ex) y'=-P/Q

egyenletnek egyértelműen létezik az y0 = y(x0) kezdeti feltételt kielégítő y lokális megoldása és

2) az

(impl) F(x,y) = F(x0,y0)

egyenlet (x0,y0)-on áthaladó egyetlen lokális implicit függvénye az (ex) egyenlet y(x0) = y0 kezdeti feltételt kielégítő egyetlen lokális megoldása.

Biz. 1) Egzisztencia. Belátjuk, hogy (impl) egyetlen (x0,y0)-on áthaladó implicit függvénye megoldása az (ex) egyenletnek.

\left.\frac{\partial F}{\partial y}\right|_{(x_0,y_0)}=Q(x_0,y_0)\ne 0

így az implicitfüggvény-tétel szerint, egyértelműen létezik F-nek y=y(x) implicit függvénye az adott pont egy környezetében és ennek deriváltja az értelmezési tartományának minden pontjában:

y'(x)=-\frac{\;\cfrac{\partial F}{\partial x}(x,y(x))\;}{\cfrac{\partial F}{\partial y}(x,y(x))}=-\frac{P(x,y(x))}{Q(x,y(x))}

tehát y az (ex) differenciálegyenletnek is megoldása, és ez kielégíti a kezdeti feltételt.

Unicitás. Tegyük fel, hogy létezik megoldása a kezdeti érték feladatnak. Legyen egy tetszőleges megoldása y, azaz

y'(x)=-\frac{P(x,y(x))}{Q(x,y(x))}

Ez az egyenlet a grad F = (P,Q) miatt előáll

\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial y}y'=0

alakban. Most belátjuk, hogy y (impl)-nek implicit megoldása. Az összetett függvény differenciálási szabálya miatt ( d(F\circG)(x,y)=dF(G(x,y))\circ dG(x,y) ) az előző egyenlet a következő formában is írható:

(F(x,y(x)))'=[\mathrm{grad}\,F|_{(x,y(x))}]\cdot\begin{bmatrix}x'\\y'(x)\end{bmatrix}=\frac{\partial F}{\partial x}|_{(x,y(x))}+y'\frac{\partial F}{\partial y}|_{(x,y(x))}\equiv 0\,

x értékei egy intervallumból kerülnek ki, ezért az integrálszámítás alaptétele szerint az x \mapsto F(x,y(x)) egy konstans függvény. De a feltétel szerint y(x0) = y0 teljesül, ezért x \mapsto y(x) egy (x0,y0)-on áthaladó implicit függvénye az F(x,y)=F(x0,y0) egyenletnek. Ez az utóbbi azonban egyértelműen van meghatározva, ezért a kezdeti érték feladat minden megoldása egybeesik ezzel az implicit függvénnyel, azaz a megoldás egyértelmű.

2) Az implicitfüggvény tételében adott egyetlen implicit függvény az 1) egzisztencia része miatt megoldása (ex)-nek és 1) unicitás része miatt ez az egyetlen megoldása (ex)-nek.

Az egzaktság jellemzése

Megjegyzés. Az egzakt differenciálegyenletet még

P(x,y)+Q(x,y)y'=0\, ill. P(x,y)\,\mathrm{d}x+Q(x,y)\,\mathrm{d}y=0\,

alakban is szokás írni.

Ez utóbbi egyenletről azt is mondják, hogy akkor egzakt, ha a P(x,y)dx + Q(x,y)dy kifejezés "teljes differenciál", amin azt értik, hogy létezik olyan F(x,y) függvény, melynek teljes differenciálja:

\mathrm{d}F(x,y)=P(x,y)\,\mathrm{d}x+Q(x,y)\,\mathrm{d}y\,

Ezt a mai jelölésekkel a következőképpen írjuk. Egy F kétváltozós függvény teljes differenciálja egy lineáris leképezés, mely a sztenderd {(1,0),(0,1)} bázisban felírt koordinátáival nem más, mit a parciális deriváltjainak sormátrixa:

[\mathrm{d}F(x,y)]=\mathrm{grad}\,F(x,y)=\left[\;\frac{\partial F}{\partial x}\;,\;\frac{\partial F}{\partial y}\;\right]

Emiatt a (C) feltétel a következő alakban is írható:

[\mathrm{d}F]=\left[P,Q\right]\, ill. \mathrm{grad}\,F=[P,Q]\,

Tehát az egzakt egyenletben a (P,Q) vektormező (vektorértékű függvény) potenciálos. Innen hasznos jellemzést kapunk az egzaktságra a vektoranalízisbeli ismereteinkből.

Tétel. Legyen U egyszeresen összefüggő nyílt halmaz, P,Q: U \to R folytonosan differenciálható függvények (Q sehol sem nulla). A Pdx + Qdy = 0 egyenlet pontosan akkor egzakt, ha

\frac{\partial P}{\partial y}\equiv\frac{\partial Q}{\partial x}

Az F függvényt, az Pdx + Qdy = 0 egyenlet integráljának nevezzük.

Ezt a tételt jól ismerjük és a bizonyítását a vektoranalízisben vettük.

Megjegyzés. 1) A feltétel nem más, mint az, hogy a (P,Q) síkbeli vektormező rotációja azonosan nulla. Ugyanis a rotáció a síkbeli (P,Q) vektormező esetén:

\mathrm{rot}\,(P,Q)=\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}

2) Bár a szeparábilis egyenlet egzakt, a fenti feltétel az egzaktság ellenőrzésére sokkal szigorúbb mint a szeparábilis egyenlet megoldhatóságának feltétele.

Lineáris differenciálegyenletek

Inhomogén lineáris egyenlet megoldásai

Tétel. Ha V, W tetszőleges lineáris tér, A ∈ Lin(V,W) lineáris operátor, bW. Ha x0V megoldása az Ax = b inhomogén egyenletnek, akkor az

\mathbf{A}x=b\,

összes megoldásainak halmaza:

M=\{x+x_0\in V\mid x\in\mathrm{Ker}(\mathbf{A})\}

Bizonyítás. 1) Ha x ∈ Ker(A), akkor Ax = 0. Ekkor

\mathbf{A}(x+x_0)= \mathbf{A}x+\mathbf{A}x_0=0+b=b\,

azaz ekkor x+x0 ∈ M.

2) Ha

\mathbf{A}(x+x_0)=b\, és \mathbf{A}x_0=b\,

akkor

\mathbf{A}x=\mathbf{A}(x+x_0-x_0)=\mathbf{A}(x+x_0)-\mathbf{A}x_0=b-b=0\,

tehát x ∈ Ker(A). QED.

Megjegyzés. Tudjuk tehát akármilyen lineáris térben az inhomogén egyenlet összes megoldását, ha ismert egy megoldása. Ha tehát Ax=b lineáris differenciálegyenlet, akkor a tétel azt a szlogent fejezi ki, hogy inhomogén lineáris differenciálegyenlet általános megoldása egyenlő a homogén egyenlet általános megoldása plusz az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldása.

Elsőrendű inh. lin. diff. egyenlet és az állandó variálása

Állítás. Ha f: I \to R folytonos függvény akkor az

\mathbf{A}y=y'+f\cdot y\,\quad\quad(y\in\mathrm{C}^1(I))

lineáris operátor a Lin(C1(I),C(I)) téren.

Bizonyítás.

\mathbf{A}(\lambda y_1+\mu y_2)=(\lambda .y_1+\mu .y_2)'+f\cdot(\lambda .y_1+\mu .y_2)=
=\lambda y_1'+\mu y_2'+\lambda f\cdot y_1+\mu f\cdot y_2=\lambda.\mathbf{A}(y_1)+\mu.\mathbf{A}(y_2)

Következmény. A fenti jelölésekkel, tetszőleges g folytonos függvényre, ha y0 a

y'+f\cdot y+g=0\,\quad\quad(?=y\in\mathrm{C}^1(I))

differenciálegyenlet egy megoldása, akkor az egyenlet általános megoldása egyenlő a

y'+f\cdot y=0\,\quad\quad(?=y\in\mathrm{C}^1(I))

homogén egyenlet általános megoldása plusz y0.

Példa. Oldjuk meg az

y'+\frac{y}{x}=\sin(x^2)\,

egyenletet! A partikuláris megoldást keressük az állandók variálása módszerével!

Másodrendű, áll. ehós hom. egyenlet

Tétel. Ha a,b ∈ R, akkor az

\mathbf{A}y=y''+ay'+by\quad\quad(y\in\mathrm{C}^2(I))

C2(I) \to C(I) lineáris operátor magja kétdimenziós.

Megoldás. A bizonyítás két részből fog állni. Először is Laplace-transzformációval belátjuk, hogy ha dim Ker(A) legalább kettő, akkor legfeljebb 2. Másodszor pedig mutatunk 2 lineárisan független megoldást.

Bizonyítás nélkül elfogadjuk azt a tényt, hogy ha ezen egyenlet esetén egy adott pontban kezdeti értéket adunk az y-nak és az y'-nek akkor a megoldás (ha van) egyértelmű. Szemléletes képpel, ez azt jelenti, hogy ha a kezdőfázist és a sebességet megadjuk, akkor azzal a teljes hullámformát megkapjuk.

I. Legyen y1 és y2 két lineárisan független megolása az

A y = 0

egyenletnek és legyen y ∈ Ker(A) tetszőleges. Rögzítsünk egy x0 ∈ I helyet, melyen y(x0) = u és y'(x0) = v. Elő fogjuk állítani ezt a partikuláris megoldást a két előbbi megoldás lineáris kombinációjaként. Legyenek:

y_1(x_0)=u_1,\quad y_1'=v_1
y_2(x_0)=u_2,\quad y_1'=v_2

azt kívánjuk elérni, hogy az

αu1 + βu2 = u
αv1 + βv2 = v

egyenletrendszernek legyen egyértelmű megoldása (α,β)-ra. Ez pontosan akkor van, ha a

W^{\mathbf{A}}(x_0)=\begin{vmatrix}y_1(x_0) & y_2(x_0)\\y_1'(x_0) & y_2'(x_0)\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}u_1 & u_2\\v_1 & v_2\end{vmatrix}=u_1v_2 -u_2v_1

determináns (azaz az egyenletrendszer x0-beli Wronsky-determinánsa) nem nulla. Hiszen ekkor a megoldás egyértelműsége miatt (azaz, hogy u és v egyértelműen meghatározza y-t) azt kapjuk, hogy (α,β) "globális konstansok is", azaz αy1 + βy2 = y.

Az egyenlet Laplace-transzformáltja:

s^2Y-su_0-v_0+a(sY-u_0)+bY=0\,
Y_1(s^2+as+b)-su_1-v_1-au_1=0\quad\quad/\cdot v_2
Y_2(s^2+as+b)-su_2-v_2-au_2=0\quad\quad/\cdot v_1
(s2 + as + b)(v2Y1v1Y2) + (s + a)(u2v1u1v2) = 0

Ennek az egyenletnek minden s-re fenn kell állnia, ezért ha u2v1u1v2 = 0 lenne, akkor v2Y1v1Y2 = 0 is lenne (minden s-re), azaz Y2 és Y1 lineárisan kifejezhetők lennének egymással, ami ellentmondana a rájuk tett kezdeti feltevésnek.

II. A megoldéskeresési feladatot kicsit bővebb körben, a valós változós, komplex értékű kétszer folytonosan R-differenciálható függvények körében oldjuk meg. Tehát ekkor A a C2(I,C) térből a C(I,C) térbe hat. Ezek között fogunk valós megoldás keresni. A differenciáloperátornak sajátfüggvénye az exponenciális függvény, így tetszőleges λ ∈ C

\,y(x)=e^{x\lambda}\in\mathbf{C}\quad\quad(x\in \mathbf{R})

próbafüggvény behelyettesítésével kapjuk:

\lambda^2+a\lambda+b=0\,

Tehát a megoldások:

1. ha λ1 ≠ λ2 valósak, akkor

\{e^{\lambda_1x},e^{\lambda_2x}\}

bázis, mert lineárisan függetlenek és éppen ezért I. miatt előállítják Ker(A)-t:

\mathrm{Ker}(\mathbf{A})=\{C_1e^{\lambda_1 x}+C_2e^{\lambda_2 x}\mid C_1,C_2\in\mathbf{R}\}

2. ha λ1 = λ2 valósak, akkor keresnünk kell mégegy az eλx-től lineárisan független megoldást.

y_2(x)=xe^{\lambda x}\,

Világos, hogy ez az, hiszen a C_1e^{\lambda x}+C_2xe^{\lambda x}\equiv 0 egyenletet eλx-vel leosztva, a polinom balodalú C_1+C_2x\equiv 0 adódna, ami csak akkor lehet a nullapolinom, ha az ehók mind nullák.

\mathrm{Ker}(\mathbf{A})=\{C_1e^{\lambda x}+C_2xe^{\lambda x}\mid C_1,C_2\in\mathbf{R}\}

3. ha λ = α  \pm βi nemvalós, akkor

f_1(x)=e^{x(\alpha+i\beta)},\quad\quad f_2(x)=e^{x(\alpha-i\beta)}

azaz

f_1(x)=e^{\alpha x}(\cos(\beta)+i\sin(\beta)),\quad\quad f_2(x)=e^{\alpha x}(\cos(\beta)-i\sin(\beta))

megoldások, melyek azonban komplexek. De ezeket összeadva, illetve a különbségüket i-vel beszorozva már valós megoldásokat kapunk (ezek az előbbi végzett műveletek lineárisak voltak, így a függvények megoldás mivoltán nem változtattak). Azaz:

y_1(x)=e^{\alpha x}\cos(\beta),\quad\quad y_2(x)=e^{\alpha x}\sin(\beta)

a tér pedig:

\mathrm{Ker}(\mathbf{A})=\{C_1e^{\alpha x}\cos(\beta)+C_2e^{\alpha x}\sin(\beta)\mid C_1,C_2\in\mathbf{R}\}

bázis, mert lineárisan függetlenek és éppen ezért I. miatt előállítják Ker(A)-t.


Komplex differenciálhatóság

Definíció - Komplex differenciálhatóság, komplex derivált - Legyen f a z0 egy környezetében értelmezett függvény. Azt mondjuk, hogy f C-deriválható z0-ban és deriváltja a w szám, ha

\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=w

Jelölése: f'(z0).

Azt, hogy az f a z0-ban komplex deriválható még úgy is jelöljük, hogy

f\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{C}}(z_0).

Megj. Hasonlóképpen a valós egyváltozós esethez az f komplex differenciálhatósága z0-ban ekvivalens azzal, hogy létezik olyan ε(z) függvény, mely a z0-ban a 0-hoz tart, ott folytonos és minden z-re az értelmezési tartományból:

f(z)=f(z_0)+f'(z_0)(z-z_0)+\varepsilon(z)(z-z_0).

Példa. A következő függvény komplex deriválható a 0-ban:

f(z)=\overline{z}\cdot z

Mo. A különbségi hányados:

\frac{\overline{z}\cdot z-0}{z-0}=\frac{\overline{z}\cdot z}{z}=\overline{z}\to 0, ha z tart nullába.

Példa. Az alábbi függvény nem deriválható komplex módon a 0-ban:

f(z)=\overline{z}

Mo. A különbségi hányados:

\frac{\overline{z}-0}{z-0}=\frac{\overline{z}}{z}=\cos(-2\varphi)+i\sin(-2\varphi)

Ennek a határértéke nem létezik a nullában.

Jellemzés

Tétel. - A komplex differenciálhatóság jellemzése - Legyen f a z0 = x0 + iy0 egy környezetében értelmezett függvény. Ekkor az alábbiak ekvivalensek:

1) f\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{C}}(z_0)
2) f\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{R}}(x_0,y_0) és [\mathrm{d}f(x_0,y_0)]\in\mathbf{C}.

Bizonyítás. Legyen f a z0 = x0 + iy0 egy környezetében értelmezett függvény és w komplex szám. Tekintsük a következő határértéket:

\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)-[w]\cdot (z-z_0)}{|z-z_0|}=0

ahol az z, z0, f(z), f(z0) mennyisegekre ugy tekintunk, mint vektorokra. Ez ekvivalens a következővel:

\lim\limits_{z\to z_0}\left|\frac{f(z)-f(z_0)}{|z-z_0|}-\frac{w\cdot (z-z_0)}{|z-z_0|}\right|=0

ahol az elobb emlitettek mar algebrai ertelemben komplex szamok, nem feltetlenul vektorok. Azaz

\lim\limits_{z\to z_0}\left|\frac{z-z_0}{|z-z_0|}\left(\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-w\right)\right|=0

Itt (z-z0)/|z-z0| a komplex egységkörön "futó" függvény, hossza 1, ezért a fenti ekvivalnes a következővel:

\lim\limits_{z\to z_0}\left|\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-w\right|=0

Ami viszont ugyanakkor igaz mint:

\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=w

Ha a következtetésben felfelé vizsgálódunk, tehát feltesszük a komplex deriválhatóságot ahol w a komplex derivált, akkor azt kapjuk, hogy a w mátrixreprezentációjával való mátrixszorzás alkalmas lineáris leképezés a valós derivált számára, azaz létezik [df(z0)]=[w].

Másfelől, ha f valósan deriválható és a deriváltja a w komplex számot reprezentálja, akkor komplexen is deriválható es komplex derivaltja pont w.

Cauchy--Riemann-egyenletek A fenti tételben a [df(z)] ∈ C feltétel (természetesen a totális deriválhatóság esetén) ekvivalens az alábbiakkal. Ha f = u + iv és z = x +iy, akkor

\begin{cases}
\partial_xu=\partial_yv\\
\partial_yu=-\partial_x v
\end{cases}

Komplex deriváltfüggvény Ahol egy f komplex függvény komplex deriválható, ott a deriváltja:

f'(z)=\partial_x u+\mathrm{i}\partial_xv=\partial_y v+\mathrm{i}\partial_xv=\partial_xu-\mathrm{i}\partial_yu=\partial_y v-\mathrm{i}\partial_yu

Definíció - Regularitás - Az f komplex függvény reguláris a z pontban, ha f a z egy egész környezetén értelmezett, és a teljes környezetben komplex deriválható.

Egy tétel a reziduumról

Tétel. Ha f-nek k-adrendű pólusa van a z_0\in \mathbf{C}-ben (k>0), akkor


\mathrm{Res}_{z_0}f=\frac{1}{(k-1)!}\lim\limits_{z\to z_0}((z-z_0)^k f(z))^{(k-1)}

Az, hogy f-nek k-adrendű pólusa van a z0-ban, az azt jelenti, hogy ott izolált szingularitása van, és a Laurent-sorában a legmagasabb 1/(z-z0) hatvány kitevője k. Legyen

\varphi(z)=(z-z_0)^k f(z)\,, \quad \varphi(z_0)=c_{-k}

Tudjuk, hogy

f(z)=\frac{c_{-k}}{(z-z_0)^k}+...+\frac{c_{-1}}{z-z_0} +c_0+c_1(z-z_0)+...\,

ezért \varphi már egy Taylor-sor, reguláris és világos, hogy a c-1 tagot a Taylor-sora k-1-edik tagjának együtthatójából számíthatjuk ki:

\varphi(z)=(z-z_0)^k f(z)=c_{-k}+...+c_{-1}(z-z_0)^{k-1}+c_0(z-z_0)^k+c_1(z-z_0)^{k+1}+...\,

de a hatványsor tagjainak egyértelműségéből következik, hogy

\frac{\varphi^{(k-1)}(z_0)}{(k-1)!}=c_{-1}

ezért


\mathrm{Res}_{z_0}f=\frac{1}{(k-1)!}(\varphi)^{(k-1)}(z_0)

Potenciál

A továbbiakban feltesszük, hogy a v vektorfüggvény folytonosan differenciálható.

Azt mondjuk, hogy a v vektorfüggvény potenciálos, ha van olyan u skalárfüggvény, mely differenciálható és

\mathrm{grad}\,u=\mathbf{v}

A v vektorfüggvény cirkulációja a Γ egyszerű zárt görbén a

\oint\limits_{\Gamma}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}

vonalintegrál.

A potenciálosság rendkívül szoros kapcsolatban van a cirkulációval és a rotációval:

Tétel. Ha v folyt. diff. vektormező az A egyszeresen összefüggő tartományon. Ekkor az alábbi három kijelentés egymással egyenértékű (v folyt. diff. vektormező):

  1. v potenciálos,
  2. v rotációja minden pontban nulla,
  3. v cirkulációja minden zárt görbére nulla (más kifejezéssel: v konzetvatív).

Bizonyítás.

1. --> 2. Tegyük fel, hogy grad u = v, így rot v = rot grad u. Ekkor formálisan hivatkozhatunk például a vektoriális szorzás azon szabályára, hogy párhuzamos vektorok vektoriális szorzata 0, hisz

\mathrm{rot}(\mathrm{grad}\,u)=\underline{\nabla}\times\underline{\nabla} u

De itt végül is a Young-tételről van szó. Komponensenként kiírva:

\underline{\nabla}\times\underline{\nabla} u=
\begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\
\partial_1 & \partial_2 & \partial_3 \\
\partial_1 & \partial_2 & \partial_3 
\end{vmatrix}\,u=\mathbf{i}(\partial_2\partial_3 u-\partial_3\partial_2u)+ ...

kétszer folytonsan differenciálható u Hesse-mátrixa szimmertikus, azaz a vegyes másodrendű parciális deriváltak egyenlők, azaz a fenti összeg 0.

2. --> 3. Itt a Stokes-tételre kell hivatkoznunk:

\oint\limits_{\partial F}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{F}\mathrm{rot}\,\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}

egyszeresen összefüggő tartományban haladó Γ = ∂F görbére és tetszőleges olyan F felületre, melynek ő a pereme. De rot v mindenhol 0. így a jobb oldal 0, azaz cirkuláció is.

3. --> 1. Belátjuk, hogy van potenciál. Legyen a rögzített pont és b tetszőlegesen választott. Legyen Γ1 és Γ2 két tetszőleges görbe, mely a-ból b-be megy. Ekkor az egyszeres összefüggőség miatt a Γ2 -t visszfelé irányítva:

\Gamma=\Gamma_1^\frown(-\Gamma_2)

az a zárt görbe, mely az a-ból megy a Γ1 mentén a b-be és a b-ből megy a Γ2 mentén, de ellenkezőleg irányítva az a-ba. De v minden körintegrálj eltűnik, így

0=\oint\limits_{\Gamma}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{\Gamma_1}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}+\int\limits_{-\Gamma_2}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{\Gamma_1}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}-\int\limits_{\Gamma_2}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}

azaz

\int\limits_{\Gamma_1}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{\Gamma_2}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}

Tehát az

u(x)=\int\limits_{(\gamma)\;a}^{x}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}

skalárfüggvény független az úttól és a felső határ szerinti gradiense ugyanúgy az integrandus, mint az egyváltozós valós függvények esetén. QED.

Az előbb említett, az integrálfüggvény deriválhatóságának tételének megvan a párja is. Ez az első gradientétel, mely végül is nem más, mint a Newton--Leibniz-formula többdimenziós általánosításai közül a legelső verzió:

Tétel.

u(b)-u(a)=\int\limits_{(\Gamma)\;a}^{b}\mathrm{grad}(u)\,\mathrm{d}\mathbf{r}

(ha u folyt. diff. és egysz. öf. tartományon ért.)

A tétel beleillik a "nagy integrálátalakító tételek" sorába (Stokes-tétel, Gauss--Osztrogradszkij-tétel és most az I. gradienstétel), melyek alapszlogenje, hogy "integrál a peremen = a derivált integrálja belül", persze itt a perem az {a,b} véges halmaz, a derivált a gradiens, a "belül" pedig a Γ görbe. (S.-t-nél felület a belső, a határán futó zárt görbe a perem és rot a derivált, G--O-t nél térrész a belső, az őt határoló zárt felület a perem és div a derivált).

Potenciálkeresés. 1) Pancsolásos módszer és variánsai (alkalmazások: egzakt differenciálegyenlet megoldása, harmonikus társ keresése) 2) integrálás és az I. grad. tétel alkalmazása 3) invariáns alakban adott feldatoknál primitívfüggvény keresés. Ez utóbbi megoldához tudnunk kell, hogy a hossz n-edik deriváltja mi. Ezt a többváltozós függvények analízisében az összetett függvény deriválásánál tanultuk: ha r nem nulla, akkor

\mathrm{grad} |\mathbf{r}|^n =n|\mathbf{r}|^{n-1}\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}

mert a külső függvény: t\mapsto t^n, a belső pedig \mathbf{r}\mapsto |\mathbf{r}|. Az utóbbi deriváltja koordinátás alakban:

\mathrm{grad}\,\sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_m^2}=(\frac{2x_1}{2\sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_m^2}}, ..., \frac{2x_m}{2\sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_m^2}})=\frac{(x_1,x_2, ..., x_m}{\sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_m^2}}

tehát a függvénykompozíció deriválására vonatkozó tétel szerint:

\mathrm{grad} (f(\Phi(\mathbf{r})))=f'(\Phi(\mathbf{r}))\cdot\mathrm{grad}\Phi(\mathbf{r})=n|\mathbf{r}|^{n-1}\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}


Komplex körintegrálok

Ebben a tételben a komplex körintegrálok kiszámításával foglalkozunk.

Definíció. Ha G:[a,b]\toC görbe és f olyan komplex függvény, melyre Ran(G)⊆Dom(f), és f folytonos, akkor belátható, hogy létezik a

\begin{matrix}
\sum\limits_{i=1}^nf(\zeta_i)\cdot \Delta z_i & \longrightarrow & \int\limits_{G}f(z)\,\mathrm{d}z\\
 & n\to \infty & \\
 & \forall z_i\in G, \;\forall \zeta_i\in \Delta z_i &\\
 & |\Delta z_i|\to 0 &  
\end{matrix}

határérték, mely egy speciális Riemann-közelítőösszeg határértéke. Itt a görbén kijelöltük a véges sok zi pontot, melyek a szigorúan monoton (ti)-khez tartoznak a zi = z(ti) definícióval. Ezen [z(ti),z(ti + 1)] görbeszakaszokon belül felvettük tetszőlegesen a ζi közbülső pontokat, és a Δzi=[z(ti),z(ti + 1)] szakaszokkal elkészítettük az f(ζi)Δzi komplex szorzatokat. A határérték ezek görbére vett összegének határértéke. Ez a határérték az f függvény G-re vett komplex integrálja.


Kiszámítási formula. Belátható, hogy a fenti integrál a következőkkel egyenlő:


\int\limits_{G}f(z)\mathrm{d}z=\int\limits_{a}^b f(z(t))\cdot \dot{z}(t)\,\mathrm{d}t

Megjegyzes A helyettesiteses integralas tetelenek felhasznalasaval belathato, hogy ez az integral fuggetlen a parametertezestol, ha azok ugyanazt az iranyitast hatarozzak meg.

Megj. A kiszamitasi formulaban skalarvaltozos vektorerteku fuggveny integralja szerepel. Ezt a kovetkezokeppen kell kiszamitani:

\int\limits_a^b\begin{pmatrix}f_1(t)\\f_2(t)\end{pmatrix}\,dt=\begin{pmatrix}\int\limits_a^b f_1(t) \,dt\\ \int\limits_a^b  f_2(t)\,dt\end{pmatrix}

Visszavezetés valós vonalintegrálra es feluleti integralra

Az integrál kifejezhető vonalintegrállal. Ha ugyanis f= u + iv, akkor az f=(u,v) vektormezőnek olyan differenciálforma szerinti integrálja a komplex pályamenti integrál, mely az f=(u,v) vektor és a dz=(dx,dy) infinitezimális elmozdulásvektor komplex szorzásaként jön létre:

\int\limits_{G}f(z)\mathrm{d}z = \int\limits_{G} u\mathrm{d}x-v\mathrm{d }y + i\int\limits_{G} u\mathrm{d}y+v\mathrm{d }x

Ebben a felírásban az (u,-v) és (v,u) olyan segédvektormezők, melyek vonalintegráljai adják meg a komplex integrál valós és képzetes részét. Tehát az integrált a

\mathbf{P}=\begin{pmatrix}u\\-v\end{pmatrix} és \mathbf{Q}=\begin{pmatrix}v\\u\end{pmatrix}

segédvektormezők síkbeli vonalintegráljai

\int\limits_{G}\mathbf{P}\,\mathrm{d}\mathbf{r}+i\int\limits_{G}\mathbf{Q}\,\mathrm{d}\mathbf{r}

vagy

\mathbf{P}'=\begin{pmatrix}-v\\-u\end{pmatrix} és \mathbf{Q}'=\begin{pmatrix}u\\-v\end{pmatrix}

segédvektormezők síkbeli felületi integráljai

\int\limits_{F}\mathbf{P}'\,\mathrm{d}\mathbf{f}+i\int\limits_{F}\mathbf{Q}'\,\mathrm{d}\mathbf{f}

szolgáltatják.

Itt érdemes feleleveníteni, hogy az v = (v1, v2) síkvektormező vonalintegrája a v1dx+v2dy differenciálforma integrálja az L görbére, felületi integrálja a (v1, v2)(df1, df2)=v_1df_1+v_2df_2 "differencialforma" integralasa adja. Itt az infinitezimalis feluletelem (df1, df2)=(dy,-dx):

\int\limits_{F} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}=\int\limits_{-F} v_1 \mathrm{d}y-v_2\mathrm{d}x,

Ahol az F irányítását megváltoztattuk F'=-F-re, amikor vonalintegrálra tértünk át.

Primitívfüggvény

A G: [a,b] \to C görbe zárt görbe, ha G(a)=G(b). A zárt görbére vett integrál a körintegrál.

Az első eszköz a Newton--Leibniz-formulából következik, hisz ha F'=f, akkor ∫zw f = F(w) - F(z).

Tétel. Ha a D tartományon értelmezett f függvénynek van primitív függvénye, akkor a körintegrál minden a D-ben haladó zárt görbén eltűnik:

\oint f=0\,

Példa. Az f(z)=\frac{1}{z^2}-nek van primitívfüggvény, így körintegrálja mindenütt eltűnik.

Példa. Paraméteresen kiszámolható, hogy

\oint\limits_{|z|=r} \frac{1}{z}=2\pi i\,

akrámilyen r > 0 sugárra. Tehát a teljes C \ {0}-n a reciproknak nincs primitívfüggvénye. (De egyszeresen összefüggő, a 0-t nem tartalmazó tartományon már van: a logaritmus.)

A komplex analízis főtétele

A komplex N--L-tétel nem túl hatékony eszköz. A N--L-tétel síkvektoranalízisbeli általánosításához kell folyamodnunk, például a Stokes-tételhez, ha többet akarunk mondani:

Stokes-tétel (R2-re) Legyen a D síkbeli tartomany határa a ∂D zárt görbe, megfelelően irányítva. Ha v folytonosan R-differenciálható egy nyílt halmazon, mely tartalmazza D lezártját, akkor

\oint\limits_{\partial D} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{D} \mathrm{rot}(\mathbf{v})\,\mathrm{d}A

Ekkor csak a rotációt kell kiszámítanunk:

\mathrm{rot}\mathbf{P}=\frac{\partial u}{\partial y} - \left(-\frac{\partial v}{\partial x}\right)=0
\mathrm{rot}\mathbf{Q}=\frac{\partial v}{\partial y} - \frac{\partial u}{\partial x}=0

Ami, a C-R-egyenletek miatt igaz.

Innen

\int\limits_{G}f(z)\mathrm{d}z=0

Goursat ennél is mélyebb eredményt talált:

Goursat-lemma. A T háromszöglapon reguláris f komplex függvény integrálja a háromszög határán nulla:

\oint\limits_{\partial T}f=0\,

Bizonyitas. A haromszoget osszuk fel 4 egybevago haromszogre: Δ=Δ1∪Δ2∪Δ3∪Δ4. Ha jol iranyitjuk a kis haromszogek hatarat, akkor

\int\limits_{\Delta}f=\int\limits_{\Delta_1}f+\int\limits_{\Delta_2}f+\int\limits_{\Delta_3}f+\int\limits_{\Delta_4}f

Ezt felulbecsulhetjuk a kovetkezovel:

\left|\int\limits_{\Delta}f\right|\leq\sum\limits_{i=1}^4\left|\int\limits_{\Delta_i}f\right|\leq 4\max\limits_{i=1}^4\left|\int\limits_{\Delta_i}f\right|=4\left|\int\limits_{\Delta^{(1)}}f\right|

most Δ(1)-et bontjuk fel es folytatva a felosztast egy nullahoz tarto nagysagu haromszogekbol allo egymasba skatulyazott (Δ(n)) haromszogsorozatot kapunk, mely egy ponthoz, a z0-hoz tart. A haromszogek kerulete K/2n, ha K az eredeti haromszog kerulete. Erra a sorozatra tovabba:

\left|\int\limits_{\Delta}f\right|\leq 4^n\left|\int\limits_{\Delta^{(n)}}f\right|

igaz.

Most felhasznaljuk a komplex differencialhatosagot. Tetszoleges ε>0 szamra van olyan kornyezete z0-nak, es a haromszogsorozatnak olyan N indexe, melyre az n-edik tagok mar a kornyezetben vannak es az alabbi formulaban az |ε(z)|<ε:

f(z)=f(z_0)+f'(z_0)(z-z_0)+\varepsilon(z)(z-z_0)

Ezt integralva a haromszogre:

|\int\limits_{\Delta^{(n)}}f(z)|=|\int\limits_{\Delta^{(n)}}f(z_0)+f'(z_0)(z-z_0)+\varepsilon(z)(z-z_0)\,dz|=|\int\limits_{\Delta^{(n)}}\varepsilon(z)(z-z_0)\,dz|=

Itt az utolso kifejezest az ivhossz integrallal felulbecsuljuk:

\leq\int\limits_{\Delta^{(n)}}|\varepsilon(z)||(z-z_0)|\,d|z|<\varepsilon K^2/4^n

Mivel ε tetszoleges volt, ezert az integral eltunik.

Innen már könnyen adódik a komplex analízis főtétele, melyet először Cauchy modott ki ugyan csak folytonosan diffható komplex függvényre, de Goursat ezt megfejelte a gyengített feltételével:

Főtétel. Ha a D egyszeresen összefüggő tartományon reguláris az f komplex függvény, akkor a tartományban minden zárt G egyszeru görbén a függvény integrálja nulla:

\oint\limits_{G} f=0\,

Cauchy-formulák

A Cauchy-formulák azért múlhatatlan fontosságúak, mert ezeknek következménye, hogy egy reguláris függvény nem csak egyszer, de végtelenszer differenciálható, sőt analitikus.

Tétel. Ha f az z_0 egy U környezetén reguláris, akkor tetszőleges az U-ban haladó, a z_0-t egyszer körülhurkoló pozitívan irányított G zárt görbére:

f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint\limits_{G}\frac{f(z)}{(z-z_0){n+1}}\,\mathrm{d}z


Riemann-tétel

Tétel. Legyen U nyilt tartomány, z0 ∈ U. Ha f az U\{z0}-on reguláris és korlátos, akkor minden U-beli körintegrálja eltűnik.

Bizonyítás. Belátjuk, az f Laurent-sora csak reguláris részből áll a z0 körül. Az Laurent-sor együtthatóformuláiból, k < 0 egészre és Kr r sugarú körre:

|c_{-k}|=\left|\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{K_r}f(z)(z-z_0)^{k-1}\mathrm{d}z\right|\leq\frac{1}{2\pi}\oint\limits_{K_r}|f(z)||(z-z_0)^{k-1}|\mathrm{d}z=\frac{1}{2\pi}K^2\cdot 2\pi r\to 0

hiszen f korlátjához létezik olyan kis környzet, ahol a nullához tartó második tényező K-nál kisebb (vagy 1, és akkor a képletben és a végeredméybencsak K szerepel). Ha pedig r-rel tartunk a 0-hoz, az együttható eltűnik.

f-tehát kiterjeszthető U-n reguláris függvénnyé, így a Cauchy-tétel miatt minden körintegrálja eltűnik. Vagy egyszerűbben: f reziduuma a megszüntethető szingularitási helyen 0.

Reguláris függvény analitikus, Laurent-sorfejtés

Tétel. -- A Laurent-sor tétele -- Ha az f: C \supset\!\to C és aC szám és 0 ≤ r < R ≤ +∞ olyan sugarak, hogy f az

T=\{z\in \mathbf{C}\mid r<|z-a|<R\,\}

nyílt körgyűrűben reguláris, akkor egyértelműen léteznek olyan (cn)n∈Z komplex számok, éspedig tetszőleges a T-ben haladó az a-t egyszer pozitív irányban körbehurkoló G görbére:

c_n=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{G}\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}\mathrm{d}w,\quad\quad n\in\mathbf{Z}

hogy a

\sum\limits_{(-\infty)}(c_n(id-a)^n)

függvénysor konvergens T-ben és minden zT számra:

f(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(z-a)^n

Bizonyítás. f-et most nem tudjuk előállítani a Cauchy-integrálformulával, mint a Taylor-sor esetén, mert az a pontban esetleg a függvény nem reguláris. De előállíthatjuk két hasonló formula különbségeként.

Rögzítsük egy tetszőlegesen választott zT-t. Legyenek k1 és k2 két a középpontú, T-ben haladó, pozitívan irányított kör, úgy, hogy z a k1 és k2 körök közötti nyílt tartományba essen. Ezekből a körökből és az őket elválasztó gyűrűt sugárirányban befelé átmetsző s szakaszból elkészítünk egy olyan zárt görbét, melyre már alkalmazható az integrálformula. Tekintsük úgy, hogy k1 kezdő és végpontja az s kezdőpontja, k2 kezdő és végpontja pedig az s végpontja. Legyen

\Gamma=k_1^\frown s^\frown (-k_2)^\frown(-s)

itt (-s) az s-sel ellenkező irányítású szakaszt jelzi. Ekkor Γ a z-t egy reguláris tartományban hurkolja egyszer, pozitívan körbe, így a Cauchy-integrálformulával:

f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{\Gamma}\frac{f(w)}{(w-z)}\mathrm{d}w

Node, ebben az integálban az s íven kétszer oda-vissza végezzük el az integrálást, így az erre vett integrál eltűnik. Másrészt a (-k2)-n vett integrál ellenkezője a 'k2-vettének, így végülis:

f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{k_1}\frac{f(w)}{(w-z)}\mathrm{d}w-\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{k_2}\frac{f(w)}{(w-z)}\mathrm{d}w

Hangsúlyozzuk, hogy z és a most konstansok, így a

w\mapsto\frac{1}{w-z}\,

az értelmezési tartományán analitikus függvény. Ennek -- szikásos módon a mértani sor összegére vonatkozó képlet segítségével -- elvégezhetjük az a középpontú, valamilyen körön belüli hatványsorba fejtését. Természetesen a |w-a| < |z-a| feltételt meg kell követelnünk, hiszen hatványsor konvergenciakörében nem lehet benne a z szakadási pont. Tegyük fel tehát, hogy |w-a| < |z-a|. Ekkor:

\frac{1}{w-z}=\frac{1}{(w-a)+(a-z)}=\frac{1}{a-z}\cdot\frac{1}{\frac{w-a}{a-z}+1}=-\frac{1}{z-a}\cdot\frac{1}{1-\frac{w-a}{z-a}}

Ezzel megvan a sorfejtés minden együtthatója, ugyanis q=\frac{w-a}{z-a}-ra kell alkalmazni a mértani sor formuláját:

\frac{1}{w-z}=-\frac{1}{z-a}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(z-a)^n}\cdot(w-a)^n

1) Világos, hogy ezt a sorfejtést csak a k2-re vonatkozó integrálban használhatjuk fel, mert ott lesz a q < 1 (ill. a w mindig közelebb a-hoz mint z-hez). Ezt az integrált tehát:

-\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{k_2}\frac{f(w)}{(w-z)}\mathrm{d}w=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{k_2}f(w)\frac{1}{z-a}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(z-a)^n}\cdot(w-a)^n\mathrm{d}w=

az integrál felcserélhető a szummával és a w-től független tagok kihozhatók az integrál elé, ezért

=\frac{1}{2\pi i}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\oint\limits_{k_2}f(w)\frac{1}{(z-a)^{n+1}}\cdot(w-a)^n\mathrm{d}w=\frac{1}{2\pi i}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(z-a)^{n+1}}\oint\limits_{k_2}f(w)\cdot(w-a)^n\mathrm{d}w

Ekkor egy konvergens, negatív kitevőjű hatványsort kaptunk, melynek csak főrésze van, de érdekes módon nem a középponttal és w-re, hanem a középponttal és z-ra. Ez pont a kívánt sorfejtés, melyet érdemes átindexelni úgy, hogy a szummázás -1-től induljon és -∞-ig menjen:

-\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{k_2}\frac{f(w)}{(w-z)}\mathrm{d}w=\frac{1}{2\pi i}\sum\limits_{n=-1}^{-\infty}\left(\oint\limits_{k_2}\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}\mathrm{d}w\right)(z-a)^{n}

Már csak azt kell megmagyaráznunk, hogy a k2 helyére most már minden olyan G görbére felírható, mely az a-t pozitívan öleli körbe egyszer és a regularitási tartományban halad. Valóban, a képletbeli integrál már független az 1/(w-z) sorfejtési szituációjától és minden olyan G görbére áttranszformálható melyek folytonosan áttranszformálható k2-be. Ez a T körgyűrű összes a tételi állításban megadott görbéjére áll.

2) Most már az előző számolásból sejthető, hogy a Laurent-sor reguláris része akkor jön ki, ha az 1/(w-z) reciprokfüggvényt a az a körül nem pozitív, hanem negatív kitevőjű hatványsorba, fejtjük -- mint az első példában. Ezt a |w-a| > |z-a| feltétellel tehetjük csak meg, hisz ilyen sor konvergenciatartománya körgyűrű és a z szinguláris pontot nem tartalmazhatja:

\frac{1}{w-z}=\frac{1}{(w-a)+(a-z)}=\frac{1}{w-a}\cdot\frac{1}{1-\frac{z-a}{w-a}}

Ez a sor valóban akkor konvergens, ha |w-a| > |z-a|. Ezzel az előző pomt számolását elvégezve az f(z)-t előállító Laurent-sor reguláris részét kapjuk. QED

Következmény. Reguláris függvény analitikus.

Következmény. Az izolált szingularitások a sorfejtés szerint osztályozhatóak éspedig. Az f függvény a z0 izolált szinguláris pontja körüli sorfejtésében

  1. pontosan akkor van csak reguláris tag, ha a szingularitás megszűntethető,
  2. pontosan akkor van véges sok főrészbeli tag, ha végtelen a határérék z0-ban,
  3. pontosan akkor van végtelen sok főrészbeli tag (lényeges szingularitás), ha nem létezik a határérék z0-ban.

Felületi integrál, Gauss-tétel

Definíció. Legyen \mathbf{v} vektormező, mely \mathbf{R}^3 egy nyílt D tartományán értelmezett. Legyen \mathbf{r}:T\to D,\quad (u,v)\mapsto\mathbf{r}(u,v) folytonosan differenciálható függvény, melynek értelmezési tartománya a T mérhető síktartomány. Ekkor a vektorfüggvény integrálját és létezését a felület mentén a következő limesszel definiáljuk:

\exists\int\limits_{\mathrm{Ran}(\mathbf{r})}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{F}=L\quad\quad\Longleftrightarrow\quad\quad\sum\limits_{i=1}^n\mathbf{v}(\mathbf{r}_i)\Delta\mathbf{F}_{i}\underset{\begin{matrix}n\to \infty\\\mathbf{r}_i\in F\\|\Delta\mathbf{F}_{i}|\to 0\end{matrix}}{\longrightarrow} L\in \mathbf{R}

Itt tehát T-t egymásba nem nyúló, mérhető Ii síktartományokra bontjuk fel, amelyek ármérője egyre csökken. Az integrál létezésére és értékére az alábbi egyszerű kritériumot és tartományi integrált írhatjuk föl. Legyen \mathbf{r}:T\to D,\quad (u,v)\mapsto\mathbf{r}(u,v) folytonosan differenciálható függvény, melynek értelmezési tartománya a T mérhető síktartomány. Ekkor az \mathbf{r}(u,v) deriváltjai léteznek, a felületi integrál létezik és felírható

\int\limits_{F}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{F}=\int\limits_{T_{u,v}}\mathbf{v}(\mathbf{r}(u,v))\cdot \frac{\partial \mathbf{r}(u,v)}{\partial u}\times\frac{\partial \mathbf{r}(u,v)}{\partial v}\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v

Ha a skaláris szorzat invariáns értelmezését vesszük, akkor a fenti formulát még a következőképpen is felírhatjuk:

\int\limits_{G}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}=\int\limits_{G}v_{\perp}\,|\mathrm{d}\mathbf{f}|

ahol v_\perp =\mathbf{v}\cdot \frac{\mathbf{n}}{|\mathbf{n}|} , azaz a felületi integrál egyenlő a vektormezőnek a felületi érintősík normálisa irányába eső előjeles komponense ugyanazon felületre vonatkozó felszín szerinti integráljával.

Megjegyzendő, hogy a képletben szereplő vegyes szorzat értéke 3\times 3-as determinánsként számítható ki a komponenseiből:

\mathbf{v}(\mathbf{r}(u,v))\cdot \frac{\partial \mathbf{r}(u,v)}{\partial u}\times\frac{\partial \mathbf{r}(u,v)}{\partial v}=\begin{vmatrix}\quad[\mathbf{v}(\mathbf{r}(u,v))]\quad\\\\
\left[\frac{\partial \mathbf{r}(u,v)}{\partial u}\right]\\\\
\left[\frac{\partial \mathbf{r}(u,v)}{\partial v}\right]\end{vmatrix}

Tétel -- Gauss-Osztrogradszkíj -- Legyen \mathbf{v}:D\to \mathbf{R}^3 folytonosan differenciálható vektormező, D\subseteq \mathbf{R}^3 tartomány és legyen V a D-ben lévő mérhető térrész, melynek pereme az \partial V=F\subseteq D zárt felület a térrészből kifelé mutató irányítással. Ekkor


\oint\limits_{\partial V}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{F}=\int\limits_{V}\mathrm{div}\,\mathbf{v}\,\mathrm{d}V

A tétel fontos alkalmazása a gömbszimmetrikus vektormezők felületi integráljának kiszámítása, ezek közül is a legfontosabb a reciproknégyzetes erősségű vektormezők.

Számítsuk ki a

\mathbf{v}=\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|^3}

vektormező integrálját a tetszőleges Γ zárt felületre, mely az origót belsejében tartalmazó V kompakt tartomány pereme, kifelé irányítva!

Először kiszámítjuk a vektoremző divergenciáját ott, ahol értelmezve van:

\mathrm{div}\,\mathbf{v}=\mathrm{div}\,(\mathbf{r}|\mathbf{r}|^{-3})=3|\mathbf{r}|^{-3}+\mathbf{r}(-3)|\mathbf{r}|^{-4}\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}=0

Itt felhasználtuk a divergenciára vontkozó szorzási szabályt.

Az integrál előállítható egy a v értelmezési tartományába eső tartomány peremére és egy másik felületre vonatkozó felületi integrálként. Legyen ugyanis G az origó középpontú olyan R sugarú gömb, mely benne van V belsejében és D az a tartomány pedig legyen V minusz G. Ekkor

\int_{\partial D} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}=\int_{\partial V} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}+\int_{-\partial G} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}

azaz

\int_{\partial V} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}= \int_{\partial D} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}+\int_{\partial G} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}=\int_{D} \mathrm{div}(\mathbf{v})\,\mathrm{d}\mathrm{V}+\int_{\partial G} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}=\int_{\partial G} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}

Tehát csak G határára kell kiszámítani a vektormező fluxusát. Ezt az invariáns formulával tesszük:

\int_{\partial G} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}=\int_{\partial G} \frac{1}{R^2}\,|\mathrm{d}\mathbf{f}|=\frac{1}{R^2}\int_{\partial G} \,|\mathrm{d}\mathbf{f}|=4\pi

(Imént lényegében az elektrosztatikus Gauss-törtvény állítását vezettük le a Coulomb-törvényből)

Vonalintegrál, Stokes-tétel

Legyen \mathbf{v} vektormező, mely \mathbf{R}^n egy nyílt D tartományán értelmezett. Legyen \Gamma:[a,b]\to D,\quad t\mapsto\mathbf{r}(t) folytonosan differenciálható függvény. Ekkor a vektormező integrálját és létezését a görbe mentén a következő limesszel definiáljuk:

\exists\int\limits_{\Gamma}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=L\quad\quad\Longleftrightarrow\quad\quad\sum\limits_{i=1}^n\mathbf{v}(\mathbf{r}_i)(\mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{i-1})\underset{\begin{matrix}n\to \infty\\\mathbf{r}_i\in \Gamma\\|\mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{i-1}|\to 0\\\mathbf{r}_{i}=\mathbf{r}(t_i)\\(t_i)_{i=1...n}\mbox{ szig. mon. nov.} \end{matrix}}{\longrightarrow} L\in \mathbf{R}

Az integrál létezésére és értékére az alábbi egy egyszerű kritériumot és egydimenziós integrált írhatjuk föl. Legyen G:[t_1,t_2]\to D,\quad t\mapsto\mathbf{r}(t) legfeljebb véges sok pontban nem folytonosan differenciálható függvény. Ekkor az \mathbf{r}(t) deriváltja véges sok pont kivételével létezik, a vonalintegrál létezik és felírható

\int\limits_{G}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{t_1}^{t_2}\mathbf{v}(\mathbf{r}(t))\cdot \dot{\mathbf{r}}(t)\,\mathrm{d}t

Ha a skaláris szorzat invariáns értelmezését vesszük, akkor a fenti formulát még a következőképpen is felírhatjuk:

\int\limits_{G}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{t_1}^{t_2}v_{\parallel }(\mathbf{r}(t))\cdot|\dot{\mathbf{r}}(t)|\,\mathrm{d}t=\int\limits_{G}v_{\parallel }\,|\mathrm{d}\mathbf{r}|

ahol v_\parallel =\mathbf{v}\cdot \mathbf{t}, azaz a vektormezőnek a görbe érintője irányába eső előjeles vetülete.

Tétel -- Stokes-tétel -- Legyen \mathbf{v}:D\to \mathbf{R}^3 folytonosan differenciálható vektormező, D\subseteq \mathbf{R}^3 tartomány és legyen F\subseteq D irányított, peremes felület, ennek pereme \partial F. Ekkor

\oint\limits_{\partial F}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{F}\mathrm{rot}\,\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{F}

Megjegyezzük, hogy a perem irányítása kompatibilis kell hogy legyen a felület irányításával, ellenkező esetben az integrál a fenti ellentettje lesz. Kompatibilis a felület és a pereme irányítása, ha "a felületi normálvektor irány a fejünk iránya, a lábunk a felületen van, a peremen haladunk végig és a felület bal kéz felől esik (jobbkézszabály)".

A tétel alkalmazására a következő hengerszimmetrikus esetet nézzük.

Legyen

\mathbf{v}=\frac{\mathbf{k}\times \mathbf{r}}{|\mathbf{k}\times\mathbf{r}|^2}

a vektormező és a felület az [xy] sík egy olyan tetszőleges T mérhető tartománya, mely a belsejében tartalmazza az origót és a pereme a G zárt görbe. Igazoljuk ekkor, hogy G-re az integrál 2π.

Először kiszámítjuk a vektromező rotációját. Ehhez felhasználjuk a rotációra vonatkozókövetkező azonosságot:

\mathbf{rot}\,(\Phi\mathbf{u})=\mathbf{rot}(\mathbf{u})\cdot \Phi+\mathrm{grad}\Phi\times\mathbf{u}
\mathbf{rot}\,\mathbf{v}=\mathbf{rot}(\mathbf{k}\times \mathbf{r})\cdot |\mathbf{k}\times\mathbf{r}|^{-2}+(\mathbf{k}\times \mathbf{r})\times\mathrm{grad}(|\mathbf{k}\times\mathbf{r}|^{-2})

A rotáció a deriválttenzor vektorinvariánsának kétszerese, mivel lineáris leképezés deriváltja saját maga, ezért a képletbeli rotáció 2k. A képletbeli gradiens alatti skalármező a tengelytől mért távolságtől függ, ezért:

\mathbf{rot}\,\mathbf{v}=2\mathbf{k}|\mathbf{k}\times\mathbf{r}|^{-2}+(\mathbf{k}\times \mathbf{r})\times(-2)|\mathbf{k}\times\mathbf{r}|^{-3}\cdot \frac{(\mathbf{k}\times \mathbf{r})\times\mathbf{k}}{|\mathbf{k}\times\mathbf{r}|}=\mathbf{0}

Most felbontjuk a T tartományt egy D lyukas tartományra és egy körlapra. A K körlap sugara legyen olyan R, mely esetén a körlap a T belsejében van benne. Ekkor

\int\limits_{\partial D}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{\partial T}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}+\int\limits_{-\partial K}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}

Tehát

\int\limits_{\partial T}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{\partial D}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}+\int\limits_{\partial K}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{D}\mathbf{rot}(\mathbf{v})\,\mathrm{d}\mathbf{f}+\int\limits_{\partial K}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{\partial K}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}

Innen a vonalintegrál invariáns értelmezése folytán:

\int\limits_{\partial K}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{\partial K}\frac{1}{R}|\mathrm{d}\mathbf{r}|=\frac{1}{R}2\pi R=2\pi

(Itt lényegében a végtelen hosszú egyenes vezető körüli görbén a mágneses indukció körintegrálját határoztuk meg.)

CROSS és alkalmazása és a Green-tétel

Definíció. A kettő vagy háromdimenziós térben CROSS a következő lineáris ill. bilineáris leképezés:

Ha \mathbf{v}=(v_1,v_2)\in \mathbf{R}^2, akkor \mathsf{cross}(\mathbf{v})=(-v_2,v_1).

Ha \mathbf{v}, \mathbf{w}\in \mathbf{R}^3, akkor \mathsf{cross}(\mathbf{v},\mathbf{w})=\mathbf{v}\times\mathbf{w}.

Leképezések invariánsai

Az S lineáris leképezés szimmetrikus, ha minden ortonormált bázisban a mátrixa szimmetrikus mátrix. Igaz az, hogy S pontosan akkor szimmetrikus, ha minden u, v vektorra

u\cdot(Sv)=v\cdot(Su),

ahol \cdot a skaláris szorzás.

Az A lineáris leképezésantiszimmetrikus, ha minden ortonormált bázisban a mátrixa antiszimmetrikus mátrix. Igaz az, hogy A pontosan akkor antiszimmetrikus, ha minden u, v vektorra

u\cdot(Av)=-v\cdot(Au),

ahol \cdot a skaláris szorzás.

Bármely T lineáris leképezés egyértélműen előáll S + A alakban, ahol S szimmetrikus, A pedig antiszimmetrikus, éspedig:

\mathbf{T}=\frac{1}{2}(\mathbf{T}+\mathbf{T}^{\mathrm{T}})+\frac{1}{2}(\mathbf{T}-\mathbf{T}^{\mathrm{T}})

Két fontos tétel:

Tétel -- Ha AR3 (illetve R2 ) antiszimmetrikus, akkor létezik olyan a vektor (vagy a skalár), hogy minden v vektorra:

\mathbf{Av}=\mathbf{a}\times\mathbf{v}=\mathsf{cross}(\mathbf{a},\mathbf{v})\quad\quad(\mathrm{vagy}\;\mathbf{Av}=a\cdot\mathsf{cross}(\mathbf{v}))

a-t (ill. a-t) az A vektorinvariánsának nevezzük (bár a síkon ez skalár). A tételt elég a sztenderd bázisban igazolni, ott az a×( . ) opertátorral, azonos így A ez az operátor.

Főtengelyétel -- Ha SRn×n szimmetrikus, akkor minden sajátértéke valós és létezik a sajátvektorokból álló B ortonormált bázis, amiben S főtengelyre transzformálható, azaz diagonális és az elemei az S sajátértékei:

[\mathbf{S}]_{\{\mathbf{v}_1,...,\mathbf{v}_n\}}=\begin{pmatrix}\lambda_1& 0& 0\\
0& \ddots& 0\\
0 & 0& \lambda_n\end{pmatrix}

Ez nehéz, de fontos tétel.

A deriválttenzor invariánsai

Tudjuk, hogy ha v differenciálható vektorfüggvény, akkor az r0 pontbeli differenciálján, vagy deriváltján, vagy deriválttenzorán azt az egyértelműen létező A lineáris leképezést értjük, melyre:

\lim\limits_{\mathbf{r}\to \mathbf{r}_0}\frac{\mathbf{v}(\mathbf{r})-\mathbf{v}(\mathbf{r}_0)-\mathbf{A}(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0|}=\mathbf{0}

Minthogy az A deriválttenzor lineáris leképezés, ezért érdemes külön elnevezni az invariánsait (h tetszőleges vektora a térnek):

\mathbf{A}\mathbf{h}=\mathbf{A}_s\mathbf{h}+\left.\frac{1}{2}\mathbf{rot}(\mathbf{v})\right|_{\mathbf{r_0}}\times\mathbf{h}

azaz A vektorinvariánsának duplája a rotáció.As a derivált leképezés szimmetrikus része. A divergencia a skalárinvariáns:

\mathrm{div}(\mathbf{v})=\mathrm{Tr}(\mathbf{A})

Világos, hogy ebből úgy lesznek a parciális deriváltakkal definiált alakok, ha az A sztenderd bázisbeli mátrixát, azaz a J Jacobi mátrixot írjuk fel. Ekkor mindkét említett differenciáloperátort a szokásos alakjában kapjuk:

\mathrm{J}=\begin{pmatrix}\frac{\partial v_1}{\partial x}& \frac{\partial v_1}{\partial y}& \frac{\partial v_1}{\partial z}\\
\frac{\partial v_2}{\partial x}& \frac{\partial v_2}{\partial y}& \frac{\partial v_2}{\partial z}\\
\frac{\partial v_3}{\partial x}& \frac{\partial v_3}{\partial y}& \frac{\partial v_3}{\partial z}\end{pmatrix}

Integrálok kiszámítási formulái

Felszín szerinti intergálok:

Síkban: \int\limits_{F} \varphi|df|=\int\limits_{t=t_1}^{t_2} \varphi(r(t))|\mathsf{cross}(\dot{r}(t))|dt

Térben: \int\limits_{F} \varphi|df|=\int\limits_{(u,v)\in T} \varphi(r(u,v))|\mathsf{cross}(r_u(u,v),r_v(u,v))|dudv

Felületmenti intergálok:

Síkban: \int\limits_{F} vdf=\int\limits_{t=t_1}^{t_2} v(r(t))\mathsf{cross}(\dot{r}(t))dt

Térben: \int\limits_{F} vdf=\int\limits_{(u,v)\in T} v(r(u,v))\mathsf{cross}(r_u(u,v),r_v(u,v))dudv

Síkban a felületi és felszín integrál kifejezhető az ívhossz és a vonalintegrállal, a következőképpen. Mivel |\mathsf{cross}(a)|=|a|, ezért

\int\limits_{F} \varphi|df|=\int\limits_{t=t_1}^{t_2} \varphi(r(t))|\mathsf{cross}(\dot{r}(t))|dt=\int\limits_{t=t_1}^{t_2} \varphi(r(t))|\dot{r}(t))|dt=\int \limits_{L}\varphi|dr|,

ahol L és F paraméterezése t\mapsto r(t) ugyanaz.

Felületi integrál esetén, ha F egy T tartomány peremdarabja, akkor

\int\limits_{F} vdf=\int\limits_{-F}\mathsf{cross}(v)dr

ugyanis felhasználva, hogy cross(dx,dy)=(-dy,dx) és cross(v1,v2)=(-v2,v1)

\int\limits_{F} vdf=\int\limits_{F}v_1(-dy)+v_2dx=\int\limits_{F}v_2dx-v_1dy=\int\limits_{F}-(-v_2dx+v_1dy)=-\int\limits_{F}-v_2dx+v_1dy=
=\int\limits_{-F}-v_2dx+v_1dy=\int\limits_{-F}\mathsf{cross}(v)dr

Itt -F, mint vonal a T tartomány peremének egy darabja, amint pozitívan van irányítva (ha tudjuk, hogy F kifelé irányított)

Green-tétel

Legyen a (P,Q) síkbeli vektormező egy U nyílt halmazon folytonosan differenciálható és legyen T az U egy kompakt mérhető része, ∂T a peremét alkotó görbe. Ekkor

\oint\limits_{\partial T} Pdx+Qdy=\int\limits_{T}\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}dxdy

Ezt a tételt egy spéci T háromszöglapra bizonyítjuk. Legyen

T:=\{(x,y)\mid 0\leq x\leq 1,\quad 0\leq y\leq 1-x\}

Az így definiált T az x tengelyre vonatkozóan normáltartomány. A bizonyításban szükség lesz arra, hogy T-t y tengelyre vonatkozó normáltartományként is megadjuk:

T:=\{(x,y)\mid 0\leq y\leq 1,\quad 0\leq x\leq 1-y\}

Határa:

\partial T=[(0,0),(1,0)]\cup[(1,0),(0,1)]\cup[(0,1),(0,0)]

A vonaldarabok paraméterezése legyen rendre: (t,0), ha t∈[0,1], (t,1-t), ha t∈[0,1] (ennek az irányításét majd meg kell fordítani) és (0,t), t∈[0,1] (ennek is meg kell fordítani). Ekkor

\oint\limits_{\partial T} Pdx+Qdy=\int\limits_{0}^1P(t,0)dt-\int\limits_{0}^1 P(t,1-t)-Q(t,1-t)dt-\int\limits_{0}^1 Q(0,t)dt=
=\int\limits_{0}^1P(t,0)- P(t,1-t)dt+\int\limits_{0}^1 Q(1-t,t)-Q(0,t)dt=\int\limits_{0}^1P(x,0)- P(x,1-x) dx+\int\limits_{0}^1 Q(1-y,y)-Q(0,y)dy=

Itt végeztünk egy paramétercserét.

=\int\limits_{0}^1 Q(1-y,y)-Q(0,y)dy-\int\limits_{0}^1 P(x,1-x)-P(x,0)dx=\int\limits_{y=0}^1\int\limits_{x=0}^{1-y} \frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}dxdy-\int\limits_{x=0}^1\int\limits_{y=0}^{1-x}\frac{\partial P(x,y)}{\partial y}dydx=

Ezután pedig felhasználjuk, hogy a két integrál ugyanarra a tartományra vett kettősintegrál:

\int\limits_{T}\frac{\partial Q}{\partial x}dxdy-\int\limits_{T}\frac{\partial P}{\partial y}dxdy=\int\limits_{T}\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}dxdy

A tétel érvényes minden n-szeresen összefüggő tartományra is (az n-1 db lyukat tartalmazó kilyukasztott körlappal homeomorf tartományokra), mert egyfelől változatlan marad, ha görbevonalú háromszögre térünk át (integráltranszformációval), másfelől minden n-szeresen összefüggő tartomány felbontható véges sok görbevonalú háromszögre, ahol az integrálok összegében a belső szakaszok eltűnnek és a tétel szintén érvényben marad.

A Green-tétel a (háromdimenziós) Stokes-tétel speciális esete, hiszen a (P,Q,0) vektormező rotációja pont (0,0,∂xQ-∂yP). A Green-tételből levezethető a kétdimenziós Gauss-tétel, a következőképpen. Legyen T a síkbeli peremes tartomány és ∂T a pereme mint pozitívan irányított zárt görbe (ill. véges sok görbe diszjunkt úniója, ha n-szeresen összefüggő, n>1). Ekkor a Q:=P, P:=-Q szereposztással felírva a Green-tételt:

\oint\limits_{\partial T} -Qdx+Pdy=\int\limits_{T}\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}dxdy

Itt a baloldali integrandus a (P,Q) vektormező cross-ja, ami viszont a ∂T-re, mint valódi felületre vett integrál ellenkezője:

\int\limits_{T}\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}dxdy=\oint\limits_{\partial T} -Qdx+Pdy=\oint\limits_{\partial T} \mathsf{cross}(P,Q) dr=\oint\limits_{-\partial T} (P,Q) df

ahol persze ∂xP+∂yQ=div(P,Q) és a -∂T valódi felület a tartományból kifelé van irányítva.

Személyes eszközök