Vita:Gauss-elimináció

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
25. sor: 25. sor:
  
 
A gnuplot kép nagyon szép lett! [[User:Mozo|Mozo]] 2008. február 8., 21:47 (CET)
 
A gnuplot kép nagyon szép lett! [[User:Mozo|Mozo]] 2008. február 8., 21:47 (CET)
 +
 +
==Paraméteres egyenletrendszer==
 +
:<math>2x+4y=-2\,</math>
 +
:<math>-y+z=1\,</math>
 +
:<math>x+y+az=b\,</math>
 +
 +
:<math>\begin{bmatrix}
 +
2 & 4 & 0 & -2\\
 +
0 & -1 & 1 & 1\\
 +
1 & 1 & a & b
 +
\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}
 +
1 & 2 & 0 & -1\\
 +
0 & -1 & 1 & 1\\
 +
0 & -1 & a & b+1
 +
\end{bmatrix} \sim\begin{bmatrix}
 +
1 & 2 & 0 & -1\\
 +
0 & -1 & 1 & 1\\
 +
0 & 0 & a-1 & b
 +
\end{bmatrix}</math>
 +
megoldható pontosan akkor, ha a-1=0 esetén, ha b=0 és a-1<math>\ne</math> 0 esetén b bármilyen. Az első esetben végtelen sok megoldás, a másodikban 1, tehát:
 +
:0 megoldás, ha (a,b) &isin; {1} &times; '''R'''\{0}
 +
:1 megoldás, ha (a,b) &isin; '''R'''\{1} &times; '''R'''
 +
:&infin; megoldás, ha (a,b)=(1,0)

A lap 2008. március 10., 10:12-kori változata

Ez így kezdetnek jó? Nyariz 2008. február 1., 23:51 (CET)

Nagyon jó! :) Mondjuk ezt a redukált lépcsős alak meg ilyenek, az lehet, hogy első olvasásra ijesztő. Akármilyen furcsának hangzik, a példánál kéne kezdeni és azt mondani, hogy minden olyan művelet elvégezhető, ami az egyenletrendszerek rendezésénél. Aztán utána össze lehet foglalni a fő lépéseket. (Sztem.) Mozo 2008. február 2., 07:15 (CET)

Megoldottam a példát ilyen táblázatos formában, szerintem ez így elég szemléletes. Ha az így jó akkor majd megírom a másikat is. Amúgy a leírás tényleg egy kicsit ijesztő, de ha valaki első olvasásra nem érti, úgyis megnézi a példát az alapján megérti, és utána a leírást is érteni fogja. De nincs akadálya annak, hogy előretegyük a példát, hacsak nem akarunk követni valamiféle "style guidelines"-t.:) Nyariz 2008. február 7., 12:08 (CET)

Szép lett, irigylésre méltó :), a táblázatszerekesztésed kapcsán csak nézek, mint tengerimalac az akváriumban :) !

Azért két dolgot kihangsúlyoznék:

  • van egy kevésbé szigorú és algoritmikus módja a Gaussolásnak, amikor igyekszünk mindig egész számokat készíteni a táblázatban, az egyenlő együtthatók megoldási módszeréhez hasonlóan. ez ugyanolyan alkalmas a rang és függetlenségvizsgálatokra. A másik, amit Te is csinálsz, az a szigorú algoritmus, amikor kivonod a 2. sorból az első sor a_21/a_11 szeresét. Ez például az úgy nevezett LU felbontásra is alkalmas, ami fontos numerikus módszer (bár nekünk nem kell)(LU decomposition)
  • továbbá élesen válasszuk szét a Gauss és a Gauss-Jordan módszert (ahogy Serény is megkülönbözteti), az utóbbiban a főátlót "leeggyezzük" és továbbcsináljuk a felső háromszög lenullázását.

Az egyenletrendszerek megoldásánál ezeken túl biztos szólni kéne a megoldásszám diszkussziójáról. Gondolj bele milyen elegáns lesz amikor a Serény megkérdezi ZH-ben, hogy "Van-e megoldása és ha igen hány darab az alábbi egyenletrendszernek?" Ekkor biztos nem kell majd végigcsinálni az algoritmust, csak a lépcsős alakig és abból következtetni a válaszra. Mozo 2008. február 7., 14:02 (CET)

Akkor megoldást írjam át a nem szigorúra? A megoldások számánál meg elég a tilos sorokról meg a szabad paraméterekről beszélni? A gauss-jordanről mit írjak? Annyit, hogy van az is de az nem ez? Nyariz 2008. február 7., 17:06 (CET)
Nyugi, majd kigondolom. Lehet, hogy egy külön szócikk kéne a lin. egyenletrendszerre? Nem tudom. A nem szigorú az, amikor megengedjük magunknak, hogy egy sort beszorozzunk 3-mal, a másikat meg 4-gyel. A szigorúnál osztani, szorozni nem lehet egy sort, mert akkor a determináns értéke megváltozhat -- persze nemnullából nem lesz nulla determinánsú, így rangon és a megoldhatóságon nem változtat -- csak emberszerűbb lesz. A lényeg, hogy amit írtál az tök jó és most ez a fontos! :) Mozo 2008. február 7., 19:25 (CET)
Szerintem mindenképp kéne egy külön lineáris egyenletrendszer szócikk hasonlóan az angol wikipediához, és onnan lehetne link a Gauss-eliminációra Cramer-szabályra stb. Nyariz 2008. február 7., 21:00 (CET)

Még egy apróság: a mátrixot jelölésére melyik jelölést használjuk? mert én itt a bmatrix-ot, mint az angol wikipedian, a mátrix rangja szócikknél pmatrix van de mondjuk könyvekben gyakran látok vmatrix-ot.


\begin{vmatrix}a & b \\ c& d\end{vmatrix} szokásos jelölése a \mathrm{det}\begin{pmatrix}a & b \\ c& d\end{pmatrix} determinánsnak, ezért nem javasolt használni mátrixként.

A másik kett közül tökmindegy melyiket használod. Én meg aztán pláne nem vagyok következetes, így nálam teljesen keveredik a két jelölés. Az a lényeg, hogy a determinánstól jól elüssön.

A gnuplot kép nagyon szép lett! Mozo 2008. február 8., 21:47 (CET)

Paraméteres egyenletrendszer

2x+4y=-2\,
-y+z=1\,
x+y+az=b\,
\begin{bmatrix}
2 & 4 & 0 & -2\\
0 & -1 & 1 & 1\\
1 & 1 & a & b
\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}
1 & 2 & 0 & -1\\
0 & -1 & 1 & 1\\
0 & -1 & a & b+1
\end{bmatrix} \sim\begin{bmatrix}
1 & 2 & 0 & -1\\
0 & -1 & 1 & 1\\
0 & 0 & a-1 & b
\end{bmatrix}

megoldható pontosan akkor, ha a-1=0 esetén, ha b=0 és a-1\ne 0 esetén b bármilyen. Az első esetben végtelen sok megoldás, a másodikban 1, tehát:

0 megoldás, ha (a,b) ∈ {1} × R\{0}
1 megoldás, ha (a,b) ∈ R\{1} × R
∞ megoldás, ha (a,b)=(1,0)
Személyes eszközök