Informatika2-2016/Gyakorlat13Megold

Bevezető

Ismerkedésképp néhány egyszerű feladat.

1. Hozzunk létre egy 10 hosszú, csupa 0 vektort! Módosítsuk a 4. elemét 1-re! (zeros)

import numpy as np
L = np.zeros(10)
L[3] = 1

1. Hozzunk létre egy 3x3-as mátrixot, 0-tól 8-ig növekvő számokkal! (reshape)

M = np.arange(9).reshape(3,3)

1. Hozzunk létre egy 30 hosszú listát véletlen számokkal 0 és 1 között! Számoljuk ki az elemek átlagát és a szórását! (rand, mean, std)

R = np.random.rand(30)
print R.mean()
print R.std()

1. 1. Hozzunk lérte egy 30 hosszú listát véletlen számokkal -3 és 2 között!

R = np.random.rand(30)
R = R * 5
R = R - 3

1. Hozzunk létre egy véletlen, 5 dimenziós egységvektort! Először egy véletlen vektor, majd gondoskodjunk róla, hogy egység hosszú legyen!

E = np.random.rand(5)
E = E / np.sqrt((E.dot(E)))

Monte-Carlo

Generáljunk 500,000 véletlen pontot a $[0,2]\times[0,4]$ téglalapba. Szánoljuk meg, hogy hány olyan (x,y) pont van, ahol x² < y. Ez alapján becsüljük meg az $\int_0^2x^2$ értékét! Segítség az előadás végén.

import numpy as np
x = np.random.rand(500000) * 2
y = np.random.rand(500000) * 4
L = np.where(x ** 2 > y)[0]
print len(L) / float(len(x)) * 2 * 4

• Most ugyanezt csináljuk meg, csak a véletlent zárjuk ki belőle! Osszuk fel a [0,2] és a [0,4] intervallumokat egyenletesen a linspace függvénnyel. A meshgrid és a ravel segítségével létrehozzuk a $[0,2]\times[0,4]$ rácspontjait. Most ezekre a pontokra csináljuk meg a Monte-Carlot!

import numpy as np
x = np.linspace(0, 2, 500)
y = np.linspace(0, 4, 500)
L = np.meshgrid(x, y)
L[0] = np.ravel(L[0])
L[1] = np.ravel(L[1])
K = np.where(L[0] ** 2 > L[1])[0]
print len(K) / float(len(L[0])) * 2 * 4

Numerikus integrál

Számoljuk ki az $e^{-x^2}$ függvény integrálját a [ − 2,5]intervallumon téglalap módszerrel!

I = np.arange(-2, 5, 0.01)
I = np.exp(-1 * (I ** 2))
print np.sum(I * 0.01)

Gradiens módszer

Egy kétváltozós függvény minimumát a következőképp közelítjük. Elindulunk egy (x₀,y₀) pontból, majd $\nabla f(x,y)\cdot \epsilon$-t kivonunk belőle. Ezt csináljuk addig, amíg a lépés abszolútértéke 0.0001 alatt nem lesz. Írjuk meg numpy segítségével az f(x,y) = x² + y² függvény minimumkeresését! ε = 0.01,(x₀,y₀) = ( − 1, − 1)!

• Tároljuk el a lépéseket egy tömbben és plotoljuk ki a pontokat a matplotlib segítségével!

def grad(x, y):
    return np.array([2 * x, 2 * y])
L = []
x0 = -1
y0 = -1
eps = 0.01
while np.sqrt(grad(x0, y0).dot(grad(x0, y0))) * eps > 0.001:
    [x0, y0] = np.array([x0, y0]) - grad(x0, y0) * eps
    L.append([x0, y0])
print L[-1]