Matematika A1a 2008/5. gyakorlat
Tartalomjegyzék |
Konvergencia
Definíció – Konvergens sorozat – Azt mondjuk, hogy az (an) számsorozat konvergens, ha létezik olyan A ∈ R szám, hogy minden ε pozitív szám esetén megadható olyan Nε természetes szám, hogy minden az N-nél nagyobb vagy egyenlő n természetes számra |an - A| < ε. Illetve szimbolikusan:
Példák. Az , , sorozatok konvergensek.
Feladat. Konvergens-e az általános tagú sorozat?
(Útmutatás: képezzük az |an - 5/2| különbséget és becsüljük felül egy 1/n szerű sorozattal, ebből az előző példa gondolatmenetével következtessünk vissza az ε-hoz szükséges N-re.)
Konvergens, ugyanis az A = 5/2 olyan szám, hogy a sorozatnak az A minden környezetén kívül csak véges sok tagja van. A konvergensséget (a definíció alapján) a következőképpen látjuk be. Rögzítsünk tetszőlegesen egy ε pozitív számot. Legyen egyelőre n tetszőleges természetes szám, és vizsgáljuk meg, hogy az |an - A| szám felülbecsülhető-e olyan sorozattal, melynek infimuma a 0. A becsléshez
Ahol az utolsó lépésben kapott eredményről kell igazolnunk, hogy egy N indextől kezdve ε-nál kisebb. Ehhez oldjuk meg a
egyenlőtlenséget! Reciprokot véve mindkét oldalon (és a reláció érvényességének fenntartására figyelve)
Azt kaptuk tehát, hogy minden n-re, mely nagyobb az
számnál, teljesül a kívánt ε-ra vonatkozó egyenlőtlenség. Azaz N-et választhatjuk akármilyen, az r valós számnál nagyobb természetes számra, mert akkor az n > N természetes számokra biztosan igaz lesz a kívánt egyenlőtlenség. r-nél nagyobb N természetes szám pedig van, mert minden valós számnál van nagyobb természetes szám. Tehát összefoglalva, tetszőleges ε pozitív számra, ha
- ,
ahol [.] jelöli az „egészrész”t, akkor
Azok a mértani sorozatok, melyek kvociensének abszolút értéke kisebb mint 1, a nullához konvergálnak. Pont emiatt ezeknél a sorozatoknál teljesen érdektelen, hogy mi az első tagjuk – rendszerint azt 1-nek választjuk.
Fekadat – Ha |q| < 1, akkor (qn) konvergens és lim(qn) = 0.
Az állítás legegyszerűbb (bár módszertanilag talán kifogásolható) bizonyítása, ha megkíséreljük a definíciót felírva megoldani a szokásos egyenlőtlenséget. Legyen ε pozitív szám és keresünk olyan N-et, hogy minden n > N-re
teljesüljön. Ehhez oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenséget n-re:
Feltehető, hogy q nem nulla, hiszen ekkor az azonosan nulla sorozattal van dolgunk. Vegyük a tizes alapú logaritmusát:
hiszen negatív számmal osztva az egyenlőtlenség megfordul. Ezért ha N-et az előző egyenlőtlenség jobb oldalánál nagyobbra választjuk, akkor a nála nagyobb n-ekre bizonyosan igaz lesz a kívánt állítás.
Nullsorozatok vagy zérussorozatok
A numerikus sorozatok témakörében rendkívül hasznosan alkalmazhatóak azok a sorozatok, melyek határértéke a 0 szám. Ezeket nullsorozatoknak, vagy zérussorozatoknak nevezzük. Világos, hogy az (1/n) sorozat például nullsorozat.
Feladat
- (an) pontosan akkor nullsorozat, ha (|an|) nullsorozat.
- (an) pontosan akkor konvergens, ha (|an|) konvergens.
Az alábbi állítás lényegében az úgy nevezett rendőrelv egy alakja, mellyel később foglalkozunk részletesebben.
Állítás – Majorálás nullsorozatokkal – Ha (δn) nullsorozat és az (an) sorozat olyan, hogy valamely M-re minden n > M esetén
- ,
akkor (an) is nullsorozat.
Feladat.
- nullsorozat
- nullsorozat
Az alábbi tétel az alkalmazások szempontjából különösen fontos.
Tétel – A „korlátos szor nullához tartó” alakú sorozatok elve – Ha (δn) nullsorozat és az (an) korlátos sorozat olyan, akkor
a nullához tart.
Feladat.
Konvergencia, határérték és műveletek
Konvergencia jellemzése nullsorozatokkal – Az (an) sorozat pontosan akkor tart az A valós számhoz, ha az (an - A) sorozat nullsorozat. Ezalapján a sorozatkonvergenciát vissza lehet vezetni a nullsotozatok vizsgálatára, amely megkönnyíti a sorozatok konvergenciája és a műveletek közötti kapcsolat feltárását.
Definíció – Sorozatműveletek mint pontonként definiált műveletek – Legyen (an) és (bn) valós számsorozat. Ekkor
-
- vagy
- jelöli az an+bn általános tagú sorozatot;
-
- vagy
- jelöli az anbn általános tagú sorozatot;
- ha (bn) tagjai között csak véges sok 0 található, akkor
- vagy
- jelöli az an/bn általános tagú sorozatot;
Megjegyzések. Világos, hogy sorozatok különbségét nem feltétlenül szükséges külön definiálnunk, hiszen (an) - (bn) sorozat tekinthető úgy, mint a (an) + (-1)(bn) sorozat (ahol (-1) az azonosan -1 sorozat).
Tétel – A konvergencia és a határérték is invariáns az alapműveletekre – Ha (an) és (bn) konvergens sorozatok, akkor
- (an+bn) is konvergens és
- (anbn) is konvergens és
- ha lim(bn) ≠0, akkor (an/bn) is konvergens és
Feladatok
1. Konvergens-e és ha igen, mi a határértéke az alábbi sorozatnak?
(Útmutatás: a számlálót és nevezőt osszuk le a nevező legmagasabb fokú tagjával.)
Hivatkozva a határérték és műveletek kapcsolatára vonatkozó tételre.
Megjegyezzük, hogy polinomok hányados esetén, ha a számláló és a nevező azonos fokszámú, akkor a hányados a számláló és a nevező főegyüthatójának hányadosához tart.
2. Konvergens-e és ha igen, mi a határértéke az alábbi sorozatnak?
(Útmutatás: tekintsük törtnek és gyöktelenítsük a számlálóját.)
Ezzel kapcsolatban rámutatnánk az
azonosság múlhatatlan fontosságára, melyet az számlálóban alkalmaztunk az
szereposztásban.
3. Konvergens-e és ha igen, mi a határértéke az alábbi sorozatnak?
(Útmutatás: a második tényezőt tekintsük törtnek és gyöktelenítsük a számlálóját.)
Ezzel kapcsolatban rámutatnánk az
azonosság múlhatatlan fontosságára, melyet az számlálóban alkalmaztunk az
szereposztásban.
Az Euler-féle példa
Az
általános tagú sorozat konvergens, mert igazolható módon monoton és korlátos.
Feladat. Konvergens-e az alábbi sorozat és ha igen, adjuk meg a határértékét!
(Útmutatás: osszuk le a számlálót is és a nevezőt is n-nel és alkalmazzuk mindkettőre az alkalmas nevezetes határértéket.)