Szerkesztő:Mozo/A2 szigorlat 4

A MathWikiből

Cauchy-féle gyökkritérium

Tétel. Legyen (an) valós számsorozat, ∑(an) pedig a belőle képezett sor. Ekkor

  • ha \mbox{ }_{\mathrm{limsup}\sqrt[n]{|a_n|}<1}, akkor ∑(an) abszolút konvergens
  • ha \mbox{ }_{\mathrm{limsup}\sqrt[n]{|a_n|}>1}, akkor ∑(an) divergens

Bizonyítás

1. Legyen

c_n=\sqrt[n]{|a_n|}\,

Ekkor s = limsup(cn) a lismesz szuperrior fogalmának deifíciója szerint az |an| sorozat elemeinek n-edik gyökeinek (cn) sorozatának legnagyobb sűrűsödési pontja. Sűrűsödési pont, azaz s minden környezetében van a (cn) sorozatnak végtelen sok eleme, és a legnagyobb, mert nincs nála nagyobb sűrűsödési helye (cn)-nek.

s < 1 miatt vehetünk egy q számot úgy, hogy

s < q < 1

Ekkor s "limsupsága" miatt egy adott M természetes számot követő minden n-re:

c_n < q\,

hiszen ha lenne végtelen sok elem, melyre ez nem telhesülne, akkor lenne s nél nagyobb sűrűsödési pont is. Tehát

\sqrt[n]{|a_n|} < q\,

azaz

|a_n| < q^n\,

De a (qn) mértani sorozatból képezett sor konvergens (hisz |q|<1), így a majoráns kritérium miatt a

\sum|a_n|\,

sor is konvergens (merthogy a szóbanforgó mértani sor majorálja). Eszerint ∑(an) abszolút konvergens.

2. A másik esetben, minthogy s = limsup(cn), van olyan részsorozata (cn)-nek melynek minden eleme 1-nél nagyobb egyenlő:

c_{n_k} \geq 1\,

ekkor viszont

\sqrt[n_k]{|a_{n_k}|} \geq 1\,

és

|a_{n_k}| \geq 1\,

de a szükséges kritérium miatt ha (an) (és vele együtt az összes részsorozata) nem a 0-hoz tart, akkor ∑(an) nem konvergens, márpedig a fenti olyan részsorozata (an)-nek, mely nem tarthat a 0-hoz, így ∑(an) nem konvergens.

Megjegyzések. A bizonyításból kiderül, hogy a tétel állításának második pontjánál többet is állíthatunk. Ha ugyanis van olyan részsorozata (cn)-nek melynek minden eleme 1-nél nagyobb egyenlő, már akkor is állíthatjuk, hogy ∑(an) nem konvergens. Ám az nem igaz, hogy ha limsup(cn) \mbox{ }_{\geq} 1, akkor ∑(an) nem konvergens, ellenpélda az

\textstyle\sum(\frac{1}{n^2})

sor. Ez konverges, holott az n-edik gyökök sorozatának limesz szuperiorja 1.

Az előbb említett általános divergencia kritériumon túl azonban csak azt mondhatjuk, hogy ha limsup(cn) = 1, akkor további vizsgálatokat kell végeznünk, hogy döntésre juthassunk a konvergencia/divergencia kérdésében.

Személyes eszközök