Szerkesztő:Mozo/A3 gyakorló feladatok 2.

Lineáris helyettesítés

Mi az általános megoldása?

$y'=-2(2x+4y)^2\,$

Mo.

Legyen u=2x+4y, ekkor du=2dx+4dy, azaz

$u'=2+4y'\,$

Innen:

$u'-2=-8u^2\,$

$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=2-8u^2$

$\frac{\mathrm{d}u}{1-4u^2}=2\mathrm{d}x$

$\int\frac{\mathrm{d}u}{1-4u^2}=2x+C$

$\int\frac{1}{2}\frac{1}{1+2u}+\frac{1}{2}\frac{1}{1-2u}\mathrm{d}u=2x+C$

$\frac{1}{4}\mathrm{ln}|1+2u|-\frac{1}{4}\mathrm{ln}|1-2u|=2x+C$

Implicit általános megoldás:

$\mathrm{ln}\frac{|1+2u|}{|1-2u|}=8x+const.$

$\frac{4x+8y+1}{-4x-8y+1}=Ke^{8x},\quad\quad (K>0)$

Kezdeti érték probléma

Oldjuk meg az

$-x^2\cos^4y\,\mathrm{d}x+\sin y\,\mathrm{d}y=0$

egyenletet az

a) $y(0)=-\frac{\pi}{2}$

b) $y(0)=\frac{\pi}{4}$

c) $y(0)=\frac{\pi}{4}+2\pi$

kezdeti feltételekkel.

1. Mo.

Nem egzakt:

$\frac{\partial P}{\partial y}=4x^2\cos^{3}y(\sin y)$

$\frac{\partial Q}{\partial x}=0$

Egzakttá tehető, ugyanis:

$-\frac{\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}}{P}=\frac{4x^2\cos^{3}y(\sin y)}{x^2\cos^4y}=\frac{4\sin y}{\cos y}$

$\mu=e^{\int\frac{4\sin y}{\cos y}}=e^{-4 \mathrm{ln}|cos y |}=\frac{1}{\cos^4y}$

Emiatt

$-x^2\,\mathrm{d}x+\frac{\sin y}{\cos^4 y}\,\mathrm{d}y=0$

Megoldása:

$-\frac{x^3}{3}+\frac{1}{3\cos^3 y}\,=C$

2. Mo.

Persze szeparábilis is:

$y'=x^2\frac{\cos^4 y}{\sin y}$

a) Ez egy konstans megoldás (y(x)=π/2) és nincs másik a (0,π/2)-n áthaladó, mert az y szerinti parciális derivált korlátos.

b) Az általános megoldásból keressük a kezdeti feltételt kielégítő megoldást:

$\frac{\sin y}{\cos^4 y}y'=x^2$

$-\cos^{-4} y(-\sin y)\,y'=x^2$

$\frac{1}{3}\cos^{-3} y=\frac{1}{3}x^3+C$

Az implicit egyenlet:

cos ^{− 3}y = x³ + 3C

Ha x=0 és y=π/4, akkor

$3C=\frac{1}{(\frac{\sqrt{2}}{2})^3}$

és

$y(x)=\mathrm{arccos}\frac{1}{\sqrt[3]{x^3+\frac{24}{(\sqrt{2})^3}}}$

c) ugyanez + 2π

HF. Oldjuk meg az y' = sin(x) yln(y) egyenletet az

a) y(0)=1,

b) y(0)=e

kezdeti feltételek mellett!

Függvényegyütthatós lineáris, állandó variálása

$y'+\frac{1}{x}y=\sin(x^2)\,$

Kezdeti értékes állandó együtthatós lineáris

$y''-10y'+9y=5t,\quad\quad y(0)=-1,\;y'(0)=2)$

Homogén lineáris differenciál egyenlet rendszer

$\dot{x_1}=2x_1+3x_2$

$\dot{x_2}= x_1+4x_2$

Mo. Ha a feladat

$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}^{\cdot}=A\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}$

alakú különböző valós sajátértékekkel, és az A-nak λ₁, λ₂-hoz tartozó sajátvektoraiból álló mátrix:

$B=(s_1,s_2)\,$,

akkor a megoldás

$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=B\begin{pmatrix}e^{\lambda_1t}\\e^{\lambda_2 t}\end{pmatrix}$

Itt a sajátértékefeladat megoldása:

$(2-\lambda)\cdot (4-\lambda)-3=0\,$

azaz

$\lambda^2-6\lambda+8-3=0\,$

$\lambda_{1,2}=1;5\,$

6.

$y^{(6)}+4y^{(3)}+3y=x^2\,$

Mo.

Kar. egy:

$\lambda^6+4\lambda^3+3=0\,$

$(\lambda)^3_{1,2}=-1;-3$

-1, -3 háromszoros gyökök, tehát:

y_a = c₁e ^{− x} + c₂xe ^{− x} + c₃x²e ^{− x} + c₄e ^{− 3x} + c₅xe ^{− 3x} + c₆x²e ^{− 3x}

A próbafüggvény: y=Ax²+Bx+C, tehát:

4Ax² + 4Bx + 4C = x²

azaz A=1/4, B=C=0.

Inomogén lineáris differenciál egyenlet rendszer

$\dot{x_1}=x_1-x_2+3t$

$\dot{x_2}= 2x_1+4x_2-4t$

Mo.

Homogén:

$\begin{pmatrix}1 & -1\\ 2 & 4\end{pmatrix}$

Sajátértékek:

$(1-\lambda)(4-\lambda)+2=0\,$

$\lambda^2-5\lambda+6=0\,$

$\lambda_{1,2}=2;3\,$

Sajátvektorok:

$\begin{pmatrix}-1 & -1\\ 2 & 2\end{pmatrix}$

Innen:

$s_1=\begin{pmatrix}1 \\ -1\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}-2 & -1\\ 2 & 1\end{pmatrix}$

$s_2=\begin{pmatrix}1\\ -2\end{pmatrix}$

Innen:

$\Psi(t)=\begin{pmatrix}e^{2t} & e^{3t}\\ -e^{2t} & -2e^{3t}\end{pmatrix}$, és c=(c_1,c_2)-vel

$\Psi(t)c=\begin{pmatrix}c_1e^{2t} & c_1e^{3t}\\ -c_2e^{2t} & -2c_2e^{3t}\end{pmatrix}$

Inhomogén:

$\Psi c'(t)=\begin{pmatrix}3t \\ -4t\end{pmatrix}$