Szerkesztő:Mozo/Egyéb2

$f(x)=\begin{cases}0, & x<0\\x^2, & x\geq 0\end{cases}$

Hol folytonos, deriválható és hol folytonos a derivált?

MO.

b) Nullán kívül deriválható és a deriváltja:

$f'(x)=\begin{cases}0, & x<0\\2x, & x> 0\end{cases}$

Nullában a két egyoldali deriváltat nézzük meg:

$f'_{-}(0)=\lim\limits_{x\to 0-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0-}\frac{0-0}{x-0}=0$

$f'_{+}(0)=\lim\limits_{x\to 0+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0+}\frac{x^2-0}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0+}\frac{x^2}{x}=\lim\limits_{x\to 0+} x=0$

azaz létezik a derivált és ez a nullában nulla, mert a baloldali és jobboldali derivált létezik és egyenlő: f'(0) = 0

a) Mivel f mindenhol deriválható, ezért f mindenhol folytonos.

c) A deriváltfüggvény tehát

$f'(x)=\begin{cases}0, & x<0\\2x, & x\geq 0\end{cases}$

Ez a nullán kívül mindenütt folytonos. A nullában meg kell nézni az egyoldali határértékeket!

$\lim\limits_{x\to 0-}f'(x)=\lim\limits_{x\to 0-}0=0$

$\lim\limits_{x\to 0+}f'(x)=\lim\limits_{x\to 0+}2x=0$

Tehát létezik f'-nak határértéke és ez 0. Ez azonban egyenlő a helyettesítési értékével:

$\lim\limits_{x\to 0}f'(x)=0=f'(0)$

ezért a deriváltfüggvény folytonos a nullában is.