Lapforrás

Nincs jogosultságod a következő művelet elvégzéséhez: lap szerkesztése, a következő ok miatt:

Ezt a tevékenységet csak a(z) [[MathWiki:Felhasználók|szerkesztők]] {{PLURAL:1|csoportba|csoportok valamelyikébe}} tartozó felhasználó végezheti el.

Megtekintheted és másolhatod a lap forrását:

A [[matematika|matematikában]], közelebbről a [[matematikai analízis]]ben '''Hesse-féle mátrix'''nak egy többváltozós [[valós szám|valós]] [[függvény (matematika)|függvény]] másodrendű [[parciális derivált]]jaiból alkotott négyzetes [[mátrix]]át nevezzük. [[Hesse-mátrix#Külső hivatkozások|<nowiki>[Lang]</nowiki>]] <center> <math>\begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_n} \\ \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_n} \\ \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \end{bmatrix}</math> ''n'' változós függvény Hesse-mátrixa </center> Legyen :<math>f(x_1, x_2, \dots, x_n),\,\!</math> ''n''-változós valós függvény. Ha mindegyik másodrendű parciális deriváltja létezik az ''f'' értelmezés tartományának egy ''x'' belső pontjában, akkor a ''Hesse-mátrix'' mátrixelemei a :<math>[\mathbf{H}^f(x)]_{ij} = \partial^2_{ij} f(x)\,\!</math> számok, ahol ''x'' = (''x''₁, ''x''₂, ..., ''x''_n), ''i'', ''j'' tetszőleges számok 1-től ''n''-ig, &part;_ij pedig a másodrendű parciális deriválás jele. A Hesse-féle mátrix [[determináns]]a a ''Hesse-determináns''. A Hesse-determináns elnevezést először [[James Joseph Sylvester]] használta, [[Ludwig Otto Hesse]] tiszteletére, aki először vezette be és „függvénydeterminánsnak” nevezte. [[Hesse-mátrix#Külső hivatkozások|<nowiki>[Mill]</nowiki>]] ==Hesse-mátrix szimmetrikussága== A Hesse-mátrix főátlóján kívüli elemei a vegyes másodrendű parciális deriváltak. [[Young tétele]] értelmében ha az ''f'' függvény az ''u'' pont egy környezetében mindenütt kétszer parciálisan differenciálható és az ''u'' pontban a második deriváltak folytonosak, akkor a parciális deriválás nem függ a deriválás sorrendjétől, azaz a vegyes deriváltak egyenlők. Ez pontosan azt jelenti, hogy a Hesse-mátrix szimmetrikus. Például kétváltozós ''f'' függvénynél (''u''-ban ''f'' kétszer folytonosan differenciálható) :<math>[\mathbf{H}^f(u)]_{21}=\frac {\partial^2 f(u)}{\partial y\partial x} = \frac {\partial^2 f(u)}{\partial x\partial y} =[\mathbf{H}^f(u)]_{12}</math> ==A Hesse-mátrix mint a deriválttenzor mátrixa== Ha az ''f'' függvény az ''U'' halmazon értelmezett ''n''-változós valós függvény és az ''U'' halmazon létezik az ''f'' [[gradiens]]e, és a grad(''f'') : ''U'' <math>\to </math> '''R'''^''n'' leképezés [[teljes differenciál|totálisan differenciálható]] az ''u''&isin; ''U'' pontban, akkor a gradiensfüggvény differenciáljának mátrixa a sztenderd bázisra vonatkozólag éppen a Hesse-mátrix: :<math>[\mathrm{d\,(grad\,}f)(u)]=\mathbf{H}^f(u)\,</math> A d (grad ''f'')(''u'') tenzor tekinthető úgy, mint az ''f'' másodrendű differenciálja az ''u''-ban és teljesül rá, hogy minden ''x'' &isin; ''U''-ra : :<math>f(x)=f(u)+\mathrm{grad}\,f(u)\cdot(x-u)+\frac{1}{2}(x-u)\mathrm{H}^f(u)(x-u)+\varepsilon(x)||x-u||^2</math> ahol &epsilon; folytonos ''u''-ban és ott eltűnik. ==Stacionárius pont és szélsőérték létezése== Ha a többváltozós valós ''f'' kétszer folytonosan differenciálható, akkor az értelmezési tartományának ''u'' pontját''' stacionárius pont'''nak nevezzük, ha :<math>\mathrm{grad}\,f(u)=0</math> ha a Hesse-determináns ''u''-ban nulla, akkor ez degenerált kritikus pont. A Hesse-mátrix segítségével megfogalmazható a többváltozós valós értékű függvények '''másodikderivált-próbája'''. Tegyük fel, hogy az ''u'' pontban az ''f''-nek stacionárius pontja és legyen :<math>Q^f_u(\mathbf{v})=\mathbf{v}\mathrm{H}^f(u)\mathbf{v}\,</math> a H^''f''(''u'')-hoz asszociált kvadratikus leképezés. Ha a Q^''f''_''u''('''v''') kifejezés pozitív minden nemnulla '''v''' vektorra, azaz ha Q^''f''_''u'' pozitív definit, akkor ''f''-nek ''u''-ban ''lokális minimuma'' van. Ez a tulajdonság Sylvester tétele alapján az jelenti, hogy H^''f''(''u'') mátrixának bal felső kvadratikus aldeterminánsai csupa pozitív értékeket felvevő sorozatot alkot: :<math>\partial_{11}f(u)>0,\quad \det\limits_{\scriptstyle{1=i,j\leq 2}}[\partial_{ij}f(u)]>0,\quad \dots \quad \det\,\mathrm{H}^f(u)>0</math> Ha a Q^''f''_''u''('''v''') kifejezés negatív minden nemnulla '''v''' vektorra, azaz ha Q^''f''_''u'' negatív definit, akkor ''f''-nek ''u''-ban ''lokális maximuma'' van. Ekkor az aldeterminánsok előjelváltóak: :<math>\partial_{11}f(u)<0,\quad \det\limits_{\scriptstyle{1=i,j\leq 2}}[\partial_{ij}f(u)]>0,\quad \det\limits_{\scriptstyle{1=i,j\leq 3}}[\partial_{ij}f(u)]<0,\quad \dots \quad \det\,\mathrm{H}^f(u)<(>)0</math> Indefinit esetben vagyis amikor Q felvesz pozitív és negatív értékeket is, a próba állítása szerint biztosan nincs szélsőérték. Szemidefinit esetben, amikor van olyan nemnulla '''v''', amire Q^''f''_''u''('''v''')=0, a próba nem jár sikerrel. :Lásd: [[Hesse-mátrix#Külső hivatkozások|<nowiki>[Kris]</nowiki>]] ===Kétváltozós függvény szélsőértékei=== Speciálisan kétváltozós függvények esetén a próba konkrétan a következők ellenőrzését jelenti: # ha det H^''f''(''u'') > 0 és &part;₁₁''f''(u) > 0, akkor ''u''-ban '''lokális minimum''' van, # ha det H^''f''(''u'') > 0 és &part;₁₁''f''(u) > 0 (<0), akkor ''u''-ban '''lokális maximum''' van, # ha det H^''f''(''u'') < 0, akkor ''u'' '''nincs lokális szélsőérték''' (valamilyen típusú nyeregpontról beszélünk) # ha det H^''f''(''u'') = 0, akkor a próba nem járt sikerrel.<ref>Balázs Márton – Kolumbán József,[http://bookline.hu/control/producthome?id=1388135&type=10 ''Matematikai analízis''] 205. o., Ed. Dacia, Cluj-Napoca 1979. </ref> ''Megjegyzés.'' Ha a Hesse-mátrix elemei :<math>\mathrm{H}^{f}(u)=\begin{pmatrix} A & B \\ B & C \end{pmatrix}</math> akkor a Hesse-determinánsa D = AC - B² és így olyan eset nincs, hogy &part;₁₁''f''(u) = 0 lenne, miközben D > 0. ===Példák=== ====Definit eset==== Legyen :<math>f(x,y)=x^2+xy+y^2\,</math> Ekkor grad ''f'' = ( 2''x'' + ''y'' , 2''y'' + ''x'' ), vagyis az elsőderivált próba szerint a : 2''x'' + ''y'' = 0 : 2''y'' + ''x'' = 0 egyenletrendszer megoldásai közül kerülhetnek ki a szélsőértékek. A megoldás: (''x'',''y'') = (0,0). A második parciális deriváltakat kiszámítva, a Hesse-mátrix minden pontban :<math>\mathrm{H}^{f}(x,y)=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}</math> azaz det H^''f'' = 4 - 1 = 3 > 0 és &part;₁₁''f'' = 2 > 0 miatt (0,0) szélsőértékhely és minimumpont. :<gnuplot> set pm3d set size 0.8,0.8 set xrange [-1:1] set yrange [-1:1] set zrange [-2:2] set view 50,30,1,1 unset xtics unset ytics unset ztics unset key unset colorbox splot x*x+x*y+y*y </gnuplot> ====Indefinit eset==== Legyen :<math>f(x,y)=x^2+xy-y^2\,</math> Ekkor grad ''f'' = ( 2''x'' + ''y'' , -2''y'' + ''x'' ), melynek zérushelye a (0,0) pont. A Hesse-mátrix minden pontban :<math>\mathrm{H}^{f}(x,y)=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}</math> innen det H^''f'' = -4 - 1 = -5 < 0, így a próba megint sikeres, éspedig állíthatjuk, hogy (0,0) biztosan nem szélsőértékhely. Ebben a pontban a függvények úgy nevezett nemdegenerált nyeregpontja van. Egy stacionárius pont nem degenerált, ha abban a pontban a Hesse-féle detremináns nem nulla értékű. :<gnuplot> set pm3d set size 0.8,0.8 set xrange [-1:1] set yrange [-1:1] set zrange [-2:2] set view 50,30,1,1 unset xtics unset ytics unset ztics unset key unset colorbox splot x*x+x*y-y*y </gnuplot> ====Szemidefinit eset==== Legyen :<math>f(x,y)=x^2+2xy+y^2\,</math> Ekkor grad ''f'' = ( 2''x'' + 2''y'' , 2''y'' + 2''x'' ), így a gradiens [[zérushely]]e minden olyan (''x'',''y'') pont, amire ''x'' = - ''y''. Ezekben a pontokban a Hesse-mátrix: :<math>\mathrm{H}^{f}(x,y)=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}</math> azaz det H^''f'' = 4 - 4 = 0, azaz a próba nem járt sikerrel. De tudjuk, hogy :<math>f(x,y)=x^2+2xy+y^2=(x+y)^2\,</math> ami pontosan akkor minimális, ha ''x'' + ''y'' = 0, és ezeken a helyeken valóban szélsőértéke van mert itt a függvény a lehető legkisebb, azaz 0 értéket veszi föl. :<gnuplot> set pm3d set size 0.8,0.8 set xrange [-1:1] set yrange [-1:1] set zrange [-2:2] set view 50,30,1,1 unset xtics unset ytics unset ztics unset key unset colorbox splot x*x+2*x*y+y*y </gnuplot> ==Implicit módon megadott görbe szinguláris pontjai== Azt mondjuk, hogy az :<math>F(x,y)=0\,</math> egyenlettek megadott görbének szinguláris pontja az (<math>x_0</math>,<math>y_0</math>) pont, ha ebben a pontban az ''F'' függvénynek nincs intervallumon értelmezett differenciálható [[implicitfüggvény-tétel|implicit függvénye]] egyik változóra vonatkozólag sem (azaz egyik változó sem fejezhető ki lokálisan a másikkal). Szinguláris pont szükséges feltétele az :<math>F(x_0,y_0)=0,\qquad \partial_1F(x_0,y_0)=0,\qquad \partial _2F(x_0,y_0)=0\qquad</math> egyenletek egyidejű fennállása. Ha ''F'' kétszer folytonosan differenciálható függvény és az origóra a fenti egyenlőségek teljesülnek, akkor az ''F'' függvény (0,0)-beli Hesse-determinánsa vizsgálatával a görbe néhány jellegzetes vonására következtethetünk. Lásd: [[Hesse-mátrix#Külső hivatkozások|<nowiki>[Berm]</nowiki>]] Az ''F''-et másodrenden közelítő kvadratikus leképezés számára a D = ''AC'' - ''B''² Hesse-determináns ellentettje egyfajta diszkriminánsként működik. Három eset lehet. D < 0 esetén a kvadratikus leképezéshez nincs olyan irány, amely mentén az mindenhol nulla lenne. D = 0 esetén egy ilyen irány van, D > 0 esetén két különböző ilyen irány van. # Ha det H^''F''(0,0) > 0, akkor (0,0) izolált pontja a görbének (pl.: (''x''^''2'' + ''y''^''2'')(1 – ''y'') = 0 az origóban). Ez azzal indokolható, hogy ekkor az ''F'' leképezésnek (0,0)-ban ''szigorú lokális szélsőértéke'' van, így annak egy környezetében az ''F'' függvény az (0,0)-t kivéve sehol sem nulla. Így az (0,0)-beli implicit függvény egyedül az egyelemű {''x''₀} halmazon értelmezett ''y'' (''x''₀) = ''y''₀ függvény. # Ha det H^''F''(0,0) < 0, akkor (0,0)-ban a görbe átmetsző (pl.: az ''x''^''3'' + ''y''^''3'' – 3''xy'' = 0 Descartes-féle levélnél). Hiszen ekkor a (0,0) pont nyeregpont, így a felület biztosan legalább két különböző irányban átmetszi az [xy] síkot. # Ha det H^''F''(0,0) = 0, akkor a görbe számos módon viselkedhet; az egyik például, hogy saját magával érintkezik első rendben, azaz két ágának ugyanaz az érintőegyenese (pl.: ''x''^''2'' – ''y''^''4'' = 0). De átmetsző is lehet, például az ''x''^''2''''y''^''2'' = 0 egyenletnél. ==Feltételes szélsőértékprobléma Hesse-mátrixa== Ha az :<math>f(x_1, x_2, \dots, x_n),</math> függvény :<math>g(x_1, x_2, \dots, x_n) = c,</math> korlátozásnak alávetett megszorításának szélsőértékeit keressük, akkor ezt az :<math>f+\lambda(g-c)\,</math> függvény szabad szélsőértékeinél kell keresnünk. Ha elégségességi vizsgálatokat is szándékozunk végezni, akkor felírhatjuk az ''f'' + &lambda;''g'' feladat Hesse-mátrixát, a &lambda; új változóval kiegészítve: :<math>H^{f+\lambda g}(x_1, x_2, \dots, x_n,\lambda) = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_n} &\frac{\partial g}{\partial x_1} \\ \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_n} & \frac{\partial g}{\partial x_2} \\ \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots &\vdots\\ \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2}& \frac{\partial g}{\partial x_n}\\ \\ \frac{\partial g}{\partial x_1} & \frac{\partial g}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial g}{\partial x_n} & 0 \end{bmatrix}</math> Világos, hogy ez a mátrix soha sem lesz definit, mert a (0,0,...,1) nemnulla vektoron a ''z'' <math>\mapsto</math> ''z'Hz'' leképezés a 0-t veszi föl. Ám ha már az ''n'' × ''n''-es bal felső blokk definit, akkor már kijelenthetjük, hogy szigorú, lokális szélsőértékről beszélhetünk (pozitív definit esetben minimumról, negatív esetben maximumról). Ez amiatt van, hogy a ''z'Hz'' kvadratikus leképezést a feltételi egyenletnek megfelelő alakban kell felírni, azaz ha (<math>z_1</math>, <math>z_2</math>,..., <math>z_n</math>) tetszőleges vektorok, akkor a :<math>z'H^fz\,</math> kvadratikus alakot a feltételi egyenlet differenciálásával addódó :<math>\frac{\partial g}{\partial x_1}z_1+\frac{\partial g}{\partial x_2}z_2+\dots+\frac{\partial g}{\partial x_n}z_n=0</math> egyenletben szereplő valamely alkalmas változót kell kifejezni a többi függvényében és az így adódó ''z'Hz'' kvadratikus leképezést kell tovább vizsgálni. ==Külső hivatkozások== *<nowiki>[PlanetMath]</nowiki> [http://planetmath.org/encyclopedia/HessianMatrix.html ''Hessian matrix'' a PlanetMath lapon] * <nowiki>[Lang]</nowiki> Serge Lang, ''Undergraduate calculus'' p 486, Springer 2^nd ed 1997 * <nowiki>[Mill]</nowiki> Jeff Miller & all [http://members.aol.com/jeff570/h.html Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics] * <nowiki>[Kris]</nowiki> Kristóf János, ''Az analízis elemei. II.'' ELTE jegyzet. 175. o. [http://www.cs.elte.hu/~krja/analyse/an2.pdf pdf] * <nowiki>[Berm]</nowiki> A. F. Bermant, [http://antikva.hu/onan/reszletek.jsp?katalogus_id=129601&katalogusid=129601&forum_id=vk ''Matematikai analízis II.''], Tankönyvkiadó, Bp. 1951., 93. o., [[Kategória: Többváltozós analízis]]

Vissza a(z) Hesse-mátrix laphoz.