Szerkesztő:Mozo/egyéb
A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Young-tétel) |
||
18. sor: | 18. sor: | ||
==Young-tétel== | ==Young-tétel== | ||
'''Tétel''' (''Young'') ''U'' = B<sub>δ</sub>(''a'') ⊆ '''R'''<sup>2</sup>, ''f'': ''U'' <math>\to</math> '''R''', | '''Tétel''' (''Young'') ''U'' = B<sub>δ</sub>(''a'') ⊆ '''R'''<sup>2</sup>, ''f'': ''U'' <math>\to</math> '''R''', | ||
− | :''f'' ∈ | + | :''f'' ∈ C<sup>ω</sup>(''U''), |
− | + | akkor | |
:∂<sub>21</sub>f = ∂<sub>12</sub>f | :∂<sub>21</sub>f = ∂<sub>12</sub>f | ||
− | ''Bizonyítás.'' (x,y)=(u+h,v+k) | + | ''Bizonyítás.'' a=(u,v), (x,y)=(u+h,v+k) ∈ B<sub>δ</sub>(a), A<sub>1</sub> = ∂<sub>1</sub>f(a), A<sub>2</sub> = ∂<sub>2</sub>f(a), A<sub>ij</sub> = ∂<sub>ij</sub>f(a). |
− | + | :<math>f(u+h,v+k)=f(u,v) + A_1h + A_2k + \,</math> | |
− | :<math>f(u+h,v+k)=f(u,v) + A_1h + A_2k +\ | + | :<math>+ A_{11}h^2 + A_{12}hk + A_{21}kh + A_{22}k^2 + \varepsilon_3(h,k)\,</math> |
+ | :<math>\partial_1f(x,y)=\frac{\partial f(h,k)}{\partial h}=A_1+2A_{11}h+A_{12}k+A_{21}k+\frac{\partial\varepsilon_3(h,k)}{\partial h}\,</math> | ||
+ | :<math>\partial_{21}f(x,y)=\frac{\partial^2 f(h,k)}{\partial k\partial h}=A_{12}+A_{21}+\frac{\partial^2\varepsilon_3(h,k)}{\partial k\partial h}\,</math> | ||
+ | ez a (h,k)=(0,0)-ban: | ||
+ | :<math>\partial_{21}f(u,v)=A_{12}+A_{21}\,</math> | ||
+ | mert a harmadrendűen kicsiny tagok a (h,k)=(0,0)-ban eltűnnek. Ugyanígy: | ||
+ | :<math>\partial_{12}f(u,v)=A_{12}+A_{21}\,</math> | ||
+ | így ezek is egyenlők. |
A lap 2008. március 24., 10:12-kori változata
Tükrözés síkra
Példa. Tekintsük az S = {(x,y,z) ∈ R3 | x-y+z=0 } síkot. Adjuk meg az S síkra történő tükrözés mátrixát, a sajátvektorait és a sajátaltereket, illetve a sajátkoordinátarendszert!
A síkra tükrözés hozzárendelési utasítása:
ahol n a sík normálvektora, itt (1,-1,1). A bázisok képei:
A mátrix:
ez -1 determinánsú szimmetrikus mátrix, ortonormált vektorokból álló sajátrendszerrel,
Young-tétel
Tétel (Young) U = Bδ(a) ⊆ R2, f: U R,
- f ∈ Cω(U),
akkor
- ∂21f = ∂12f
Bizonyítás. a=(u,v), (x,y)=(u+h,v+k) ∈ Bδ(a), A1 = ∂1f(a), A2 = ∂2f(a), Aij = ∂ijf(a).
ez a (h,k)=(0,0)-ban:
mert a harmadrendűen kicsiny tagok a (h,k)=(0,0)-ban eltűnnek. Ugyanígy:
így ezek is egyenlők.