Szerkesztő:Mozo/egyéb
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Young-tétel) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Young-tétel) |
||
(egy szerkesztő 4 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
17. sor: | 17. sor: | ||
==Young-tétel== | ==Young-tétel== | ||
− | '''Tétel''' (''Young'') ''U'' = B<sub>δ</sub>(''a'') ⊆ '''R'''<sup>2</sup>, ''f'': ''U'' <math>\to</math> '''R''', | + | '''Tétel''' (''Gyenge Young-tétel'') ''U'' = B<sub>δ</sub>(''a'') ⊆ '''R'''<sup>2</sup>, ''f'': ''U'' <math>\to</math> '''R''', |
− | :''f'' ∈ C<sup>& | + | :''f'' ∈ C<sup>∞</sup>(''U'') és ''f''<sup>(n)</sup> egyenletesen korlátos |
− | + | ||
akkor | akkor | ||
:∂<sub>21</sub>f = ∂<sub>12</sub>f | :∂<sub>21</sub>f = ∂<sub>12</sub>f | ||
38. sor: | 37. sor: | ||
:<math>\partial_{12}f(u,v)=A_{12}+A_{21}\,</math> | :<math>\partial_{12}f(u,v)=A_{12}+A_{21}\,</math> | ||
így ezek is egyenlők. | így ezek is egyenlők. | ||
+ | |||
+ | '''Gondolatkísérlet''' | ||
+ | :<math>f(u+h,v+k)=f(u,v) + A_1h + A_2k + \varepsilon^{(1)}(h,k)h+\varepsilon^{(2)}(h,k)k</math> | ||
+ | |||
+ | ha az ε-ok diff.-hatóak, akkor: | ||
+ | |||
+ | :<math>\frac{\partial f}{\partial x}(u,v)=\left.\frac{\partial f}{\partial h}\right|_{(0,0)}=\left.A_1 + \varepsilon^{(1)}_h(h,k)h+\varepsilon^{(1)} (h,k)+\varepsilon^{(2)}_h(h,k)k\right|_{(0,0)}=A_1</math> | ||
+ | ugyanígy | ||
+ | :<math>\frac{\partial f}{\partial y}(u,v)=\left.\frac{\partial f}{\partial h}\right|_{(0,0)}=A_2</math> | ||
+ | |||
+ | De ennél többet is mondhatunk. Ha az ε-okon kívül a parciális differenciálok és az epszilon másoderndű tagjának függvényegyütthatója is differenciálható, akkor: | ||
+ | |||
+ | :<math>f(u+h,v+k)=f(u,v) + A_1h + A_2k +\,</math> | ||
+ | :<math>+(A_{11}h + A_{21}k + \eta^{(11)}(h,k)h+\eta^{(21)}(h,k)k)h+ \,</math> | ||
+ | :<math>+(A_{21}h + A_{22}k + \eta^{(21)}(h,k)h+\eta^{(22)}(h,k)k)k= \,</math> | ||
+ | :<math>=f(u,v) + A_1h + A_2k +\,</math> | ||
+ | :<math>+A_{11}h^2 + A_{21}kh + \eta^{(11)}(h,k)h^2+\eta^{(21)}(h,k)kh+ \,</math> | ||
+ | :<math>+A_{21}hk + A_{22}k^2 + \eta^{(21)}(h,k)hk+\eta^{(22)}(h,k)k^2= \,</math> | ||
+ | ha most mindegyik η deriválható, akkor: | ||
+ | :<math>\frac{\partial f(u+h,v+k)}{\partial h}=A_1 + 2A_{11}h + A_{21}k + \frac{\partial \eta^{(11)}(h,k)}{\partial h}h^2+ \eta^{(11)}(h,k)2h+\frac{\partial\eta^{(21)}(h,k)}{\partial h}k+\eta^{(21)}(h,k)k+ \,</math> | ||
+ | :<math>+A_{21}hk + A_{22}k^2 + \eta^{(21)}(h,k)hk+\eta^{(22)}(h,k)k^2= \,</math> |
A lap jelenlegi, 2008. március 28., 18:19-kori változata
Tükrözés síkra
Példa. Tekintsük az S = {(x,y,z) ∈ R3 | x-y+z=0 } síkot. Adjuk meg az S síkra történő tükrözés mátrixát, a sajátvektorait és a sajátaltereket, illetve a sajátkoordinátarendszert!
A síkra tükrözés hozzárendelési utasítása:
ahol n a sík normálvektora, itt (1,-1,1). A bázisok képei:
A mátrix:
ez -1 determinánsú szimmetrikus mátrix, ortonormált vektorokból álló sajátrendszerrel,
Young-tétel
Tétel (Gyenge Young-tétel) U = Bδ(a) ⊆ R2, f: U R,
- f ∈ C∞(U) és f(n) egyenletesen korlátos
akkor
- ∂21f = ∂12f
Bizonyítás. a=(u,v), (x,y)=(u+h,v+k) ∈ Bδ(a), A1 = ∂1f(a), A2 = ∂2f(a), Aij = ∂ijf(a).
ahol
harmadrendűen kicsiny, de differenciálható tagok. Ekkor
ez a (h,k)=(0,0)-ban:
mert a harmadrendűen kicsiny tagok a (h,k)=(0,0)-ban eltűnnek. Ugyanígy:
így ezek is egyenlők.
Gondolatkísérlet
ha az ε-ok diff.-hatóak, akkor:
ugyanígy
De ennél többet is mondhatunk. Ha az ε-okon kívül a parciális differenciálok és az epszilon másoderndű tagjának függvényegyütthatója is differenciálható, akkor:
ha most mindegyik η deriválható, akkor: