Matematika A3a 2009/10. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Feladatok) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Laplace-transzformáció) |
||
(egy szerkesztő 7 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
10. sor: | 10. sor: | ||
## egyenletredszert Laplace-szal | ## egyenletredszert Laplace-szal | ||
==Feladatok== | ==Feladatok== | ||
+ | ===Egzaktra visszavezethető=== | ||
'''1.''' Oldjuk meg az | '''1.''' Oldjuk meg az | ||
:<math>(x^2+y^2+x)+y'xy=0\,</math> | :<math>(x^2+y^2+x)+y'xy=0\,</math> | ||
38. sor: | 39. sor: | ||
és | és | ||
:<math>y(x)=\frac{\sqrt{13-3x^4-4x^3}}{\sqrt{6}x}\,</math> | :<math>y(x)=\frac{\sqrt{13-3x^4-4x^3}}{\sqrt{6}x}\,</math> | ||
+ | ===Elsőrendű függvényegyütthatós inhomogén differenciálegyenletet=== | ||
'''2.''' Oldjuk meg az alábbi elsőrendű függvényegyütthatós inhomogén differenciálegyenletet! | '''2.''' Oldjuk meg az alábbi elsőrendű függvényegyütthatós inhomogén differenciálegyenletet! | ||
:<math>\mathrm{sh}(x)y'+\mathrm{ch}(x)y=1\,</math> | :<math>\mathrm{sh}(x)y'+\mathrm{ch}(x)y=1\,</math> | ||
59. sor: | 61. sor: | ||
Valóban, | Valóban, | ||
:<math>\mathrm{sh}(x)\frac{\mathrm{sh}(x)-(c+x)\mathrm{ch}(x)}{\mathrm{sh}^2(x)}+\frac{c+x}{\mathrm{sh}(x)}\mathrm{ch}(x)=1\,</math> | :<math>\mathrm{sh}(x)\frac{\mathrm{sh}(x)-(c+x)\mathrm{ch}(x)}{\mathrm{sh}^2(x)}+\frac{c+x}{\mathrm{sh}(x)}\mathrm{ch}(x)=1\,</math> | ||
− | '''3.''' | + | ===Állandó együtthatójú másodrendű lineáris próbafüggvénymódszerrel=== |
+ | Az állandó együtthatójú másodrendű lineáris differenciálegyenlet megoldása kvadratúra nélkül megkapható, ha az | ||
+ | :<math>y''+ay'+by=f(x)\,</math> | ||
+ | alakban az f(x) perturbáló függvény (szabad tag) a következő függvény: | ||
+ | :<math>f(x)=e^{\alpha x}(P_1(x)\sin(\beta x)+P_2(x)\cos(\beta x))\,</math> | ||
+ | Ekkor ugyanis a partikuláris megoldás kereshető az | ||
+ | :<math>y(x)=x^ke^{\alpha x}(Q_1(x)\sin(\beta x)+Q_2(x)\cos(\beta x))\,</math> | ||
+ | alakban, ahol k megmutatja, hogy az α<math>\pm</math>β szám hányszoros gyöke a | ||
+ | :<math>\lambda^2+a\lambda+b\,</math> | ||
+ | karakterisztikus polinomnak és a Q-k olyan fokszámú meghatározandó polinomok, mint a P-közül a nagyobbik fokszámú. | ||
+ | |||
+ | '''3.''' | ||
+ | :a) <math>y''-2y'+y=1+x \,</math> | ||
+ | :b) <math>y''+2y'+y=e^{-x}\,</math> | ||
+ | :c) <math>y''+4y=\cos 2x \,</math> | ||
+ | ===Laplace-transzformáció=== | ||
+ | Legfontosabb képletek: | ||
+ | :<math>f(t)=e^{at}\,\quad\to\quad F(s)=\frac{1}{s-a} | ||
+ | </math>, <math>f(t)=t^n\,\quad\to\quad F(s)=\frac{n!}{s^{n+1}} | ||
+ | </math>, <math>f(t)=e^{at}g(t)\,\quad\to\quad F(s)=G(s-a) | ||
+ | </math> | ||
+ | :<math>\mathcal{L}\{f'(t)\}=sF(s)-f(0) | ||
+ | </math>, <math>\mathcal{L}\{f''(t)\}=s^2F(s)-sf(0)-f'(0) | ||
+ | </math> | ||
+ | '''4.''' | ||
+ | :a) <math>y'+2y=e^{-x},\quad y(0)=1</math> | ||
+ | :b) | ||
+ | ::<math>\dot{x}=3x+y,\quad x(0)=1</math> | ||
+ | ::<math>\dot{y}=3y+x,,\quad y(0)=-1</math> |
A lap jelenlegi, 2009. december 3., 22:48-kori változata
Tartalomjegyzék |
Típusok és módszerek
- Elsőrendű közönséges nemlineáris --> szeparábilis (ill. homogén fokszámú) vagy egzaktá tehető
- Elsőrendű lineáris --> hom. ált. + inh. part.
- Elsőrendű lineáris homogén --> szeparábilis
- Elsőrendű lineáris inhomogén --> állandók variálása
- Másodrendű hiányos --> 3 eset (g(x) hiányzik, y hiányzik, y' hiányzik)
- Másodrendű állandóegyütthatójú lineáris
- --> próbafüggvény
- --> Laplace
- egyenletredszert Laplace-szal
Feladatok
Egzaktra visszavezethető
1. Oldjuk meg az
egyenletet az y(1) = 1 kezdeti feltétel mellett!
Mo. Nem egzakt, nem homogén fokszámú.
Keressünk integráló szorzót!
- csak x-től függő.
Ekkor
Valóban, ha
akkor
Keressünk potenciálfüggvényt! Az alábbi parciális differenciálegyenletet kell megoldanunk.
Mindkét egyenletet integráljuk aszerint a változó szerint, ami szerint a deriválás történik:
Összehasonlítva:
Valóban, ennek e megfelel. Az első integrál:
Speciálisan ebből kifejezhető az (1,1)-en áthaladó megoldás:
és
Elsőrendű függvényegyütthatós inhomogén differenciálegyenletet
2. Oldjuk meg az alábbi elsőrendű függvényegyütthatós inhomogén differenciálegyenletet!
Mo. I. A homogén egyenletet szeparálással:
II. Partikuláris megoldást keresünk az inhomogén egyenlet részére. A megoldást
alakban keressük.
az egyenlet ekkor ilyen alakú:
Tehát az inhomogén egyenlet általános megoldása:
Valóban,
Állandó együtthatójú másodrendű lineáris próbafüggvénymódszerrel
Az állandó együtthatójú másodrendű lineáris differenciálegyenlet megoldása kvadratúra nélkül megkapható, ha az
alakban az f(x) perturbáló függvény (szabad tag) a következő függvény:
Ekkor ugyanis a partikuláris megoldás kereshető az
alakban, ahol k megmutatja, hogy az αβ szám hányszoros gyöke a
karakterisztikus polinomnak és a Q-k olyan fokszámú meghatározandó polinomok, mint a P-közül a nagyobbik fokszámú.
3.
- a)
- b)
- c)
Laplace-transzformáció
Legfontosabb képletek:
- , ,
- ,
4.
- a)
- b)