Matematika A3a 2009/10. gyakorlat

Típusok és módszerek

1. Elsőrendű közönséges nemlineáris --> szeparábilis (ill. homogén fokszámú) vagy egzaktá tehető
2. Elsőrendű lineáris --> hom. ált. + inh. part.
   1. Elsőrendű lineáris homogén --> szeparábilis
   2. Elsőrendű lineáris inhomogén --> állandók variálása
3. Másodrendű hiányos --> 3 eset (g(x) hiányzik, y hiányzik, y' hiányzik)
4. Másodrendű állandóegyütthatójú lineáris
   1. --> próbafüggvény
   2. --> Laplace
   3. egyenletredszert Laplace-szal

Feladatok

Egzaktra visszavezethető

1. Oldjuk meg az

$(x^2+y^2+x)+y'xy=0\,$

egyenletet az y(1) = 1 kezdeti feltétel mellett!

Mo. Nem egzakt, nem homogén fokszámú.

$\partial_yP=2y\not\equiv y=\partial_xQ\,$

Keressünk integráló szorzót!

$R=\frac{\partial_y P-\partial_xQ}{Q}=\frac{y}{xy}=\frac{1}{x}$ csak x-től függő.

Ekkor

$\mu(x)=e^{\int R(x)\,\mathrm{d}x}=e^{\mathrm{ln}\,x}=x$

Valóban, ha

$(x^3+xy^2+x^2)+y'x^2y=0\,$

akkor

$\partial_y(\mu P)=2xy\equiv 2xy=\partial_x(\mu Q)\,$

Keressünk potenciálfüggvényt! Az alábbi parciális differenciálegyenletet kell megoldanunk.

$\partial_xF=x^3+xy^2+x^2,\quad\partial_yF=x^2y\,$

Mindkét egyenletet integráljuk aszerint a változó szerint, ami szerint a deriválás történik:

$F(x,y)=\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{2}x^2y^2+\frac{1}{3}x^3+C_1(y)\,$

$F(x,y)=\frac{1}{2}x^2y^2+C_2(x)\,$

Összehasonlítva:

$F(x,y)=\frac{1}{2}x^2y^2+\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{3}x^3\,$

Valóban, ennek e megfelel. Az első integrál:

$\frac{1}{2}x^2y^2+\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{3}x^3=C\,$

Speciálisan ebből kifejezhető az (1,1)-en áthaladó megoldás:

$6x^2y^2+3x^4+4x^3=13\,$

és

$y(x)=\frac{\sqrt{13-3x^4-4x^3}}{\sqrt{6}x}\,$

Elsőrendű függvényegyütthatós inhomogén differenciálegyenletet

2. Oldjuk meg az alábbi elsőrendű függvényegyütthatós inhomogén differenciálegyenletet!

$\mathrm{sh}(x)y'+\mathrm{ch}(x)y=1\,$

Mo. I. A homogén egyenletet szeparálással:

$\mathrm{sh}(x)y'+\mathrm{ch}(x)y=0\,$

$\mathrm{sh}(x)y'=-\mathrm{ch}(x)y\,$

$\frac{1}{y}y'=-\frac{\mathrm{ch}(x)}{\mathrm{sh}(x)}\,$

$\mathrm{ln}|y|=- \int\frac{\mathrm{ch}(x)}{\mathrm{sh}(x)}\,\mathrm{d}x$

$\mathrm{ln}|y|= -\mathrm{ln}|\mathrm{sh}(x)|+C\,$

$y= \frac{c}{\mathrm{sh}(x)}$

II. Partikuláris megoldást keresünk az inhomogén egyenlet részére. A megoldást

$y= \frac{c(x)}{\mathrm{sh}(x)}$

alakban keressük.

$y'(x)=\frac{c'(x)\,\mathrm{sh}(x)-c(x)\,\mathrm{ch}(x)}{\mathrm{sh}^2(x)}\,$

az egyenlet ekkor ilyen alakú:

$c'(x)\,\mathrm{sh}(x)-c(x)\,\mathrm{ch}(x)+\mathrm{ch}(x)c(x)=\mathrm{sh}(x)\,$

$c'(x)=1\,$

$c(x)=x\,$

Tehát az inhomogén egyenlet általános megoldása:

$y(x)= \frac{c+x}{\mathrm{sh}(x)},\quad\quad c\in\mathbf{R}$

Valóban,

$\mathrm{sh}(x)\frac{\mathrm{sh}(x)-(c+x)\mathrm{ch}(x)}{\mathrm{sh}^2(x)}+\frac{c+x}{\mathrm{sh}(x)}\mathrm{ch}(x)=1\,$

Állandó együtthatójú másodrendű lineáris próbafüggvénymódszerrel

Az állandó együtthatójú másodrendű lineáris differenciálegyenlet megoldása kvadratúra nélkül megkapható, ha az

$y''+ay'+by=f(x)\,$

alakban az f(x) perturbáló függvény (szabad tag) a következő függvény:

$f(x)=e^{\alpha x}(P_1(x)\sin(\beta x)+P_2(x)\cos(\beta x))\,$

Ekkor ugyanis a partikuláris megoldás kereshető az

$y(x)=x^ke^{\alpha x}(Q_1(x)\sin(\beta x)+Q_2(x)\cos(\beta x))\,$

alakban, ahol k megmutatja, hogy az α$\pm$β szám hányszoros gyöke a

$\lambda^2+a\lambda+b\,$

karakterisztikus polinomnak és a Q-k olyan fokszámú meghatározandó polinomok, mint a P-közül a nagyobbik fokszámú.

3.

a) $y''-2y'+y=1+x \,$

b) $y''+2y'+y=e^{-x}\,$

c) $y''+4y=\cos 2x \,$

Laplace-transzformáció

Legfontosabb képletek:

$f(t)=e^{at}\,\quad\to\quad F(s)=\frac{1}{s-a}$, $f(t)=t^n\,\quad\to\quad F(s)=\frac{n!}{s^{n+1}}$, $f(t)=e^{at}g(t)\,\quad\to\quad F(s)=G(s-a)$

$\mathcal{L}\{f'(t)\}=sF(s)-f(0)$, $\mathcal{L}\{f''(t)\}=s^2F(s)-sf(0)-f'(0)$

4.

a) $y'+2y=e^{-x},\quad y(0)=1$

b)

$\dot{x}=3x+y,\quad x(0)=1$

$\dot{y}=3y+x,,\quad y(0)=-1$