Matematika közlek a3 2010 2. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Majoráns-, hányados-, gyök- és Leibniz-kritérium) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Függvénysorozatok) |
||
(egy szerkesztő 3 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
2. sor: | 2. sor: | ||
''Majoráns-kritérium'' -- Legyen <math>(a_n)</math> és <math>(b_n)</math> olyan, hogy egy indextől kezdődően <math>|a_n|\leq |b_n|</math> és ∑<math>(b_n)</math> konvergens. Ekkor ∑<math>(a_n)</math> is konvergens (és ∑<math>(b_n)</math> a majoráns sora). | ''Majoráns-kritérium'' -- Legyen <math>(a_n)</math> és <math>(b_n)</math> olyan, hogy egy indextől kezdődően <math>|a_n|\leq |b_n|</math> és ∑<math>(b_n)</math> konvergens. Ekkor ∑<math>(a_n)</math> is konvergens (és ∑<math>(b_n)</math> a majoráns sora). | ||
− | ''Hányados-kritérium'' -- Legyen (a_n) olyan, hogy létezik a <math>\lim\limits_{n\to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.</math> | + | ''Hányados-kritérium'' -- Legyen <math>(a_n)</math> olyan, hogy létezik a <math>\lim\limits_{n\to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.</math> |
# ha <math>\lim\limits_{n\to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|< 1</math>, akkor ∑<math>(a_n)</math> konvergens és | # ha <math>\lim\limits_{n\to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|< 1</math>, akkor ∑<math>(a_n)</math> konvergens és | ||
+ | # ha <math>\lim\limits_{n\to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|> 1</math>, akkor ∑<math>(a_n)</math> divergens. | ||
+ | |||
+ | ''Gyök-kritérium'' -- Legyen <math>(a_n)</math> olyan, hogy létezik a <math>\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}.</math> | ||
+ | # ha <math>\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}< 1</math>, akkor ∑<math>(a_n)</math> konvergens és | ||
+ | # ha <math>\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}> 1</math>, akkor ∑<math>(a_n)</math> divergens. | ||
+ | |||
+ | ''Leibniz-kritérium'' -- Ha <math>|a_n|</math> monoton csökkenő módon tart a 0-hoz, akkor <math>\sum((-1)^n a_n)</math> konvergens. | ||
+ | |||
'''1.''' | '''1.''' | ||
22. sor: | 30. sor: | ||
Az azonos A ⊆ '''C''' halmazon értelmezett komplex vagy valós függvények <math>f_n:A\to \mathbf{C}</math> sorozatának konvergenciatartományán azzon K halmazt értjük, melyhez pontosan akkor tartozik az x pont, ha az <math>(f_n(x))</math> sorozat konvergens. | Az azonos A ⊆ '''C''' halmazon értelmezett komplex vagy valós függvények <math>f_n:A\to \mathbf{C}</math> sorozatának konvergenciatartományán azzon K halmazt értjük, melyhez pontosan akkor tartozik az x pont, ha az <math>(f_n(x))</math> sorozat konvergens. | ||
− | ''' | + | '''2.''' Függvénysorozatok pontonkénti konvergenciája |
# <math>f_n(z)=\frac{zn^2+6n}{3n^2+zn}</math> | # <math>f_n(z)=\frac{zn^2+6n}{3n^2+zn}</math> | ||
# <math>f_n(z)=\frac{z^{n+4}}{3}</math> | # <math>f_n(z)=\frac{z^{n+4}}{3}</math> | ||
− | # <math>f_n(x)=\frac{x^n}{1+x^{2n}}</math> | + | # <math>f_n(x)=\frac{x^n}{n(1+x^{2n})}</math> |
# <math>f_n(x)=n\sin\frac{x}{n}</math> | # <math>f_n(x)=n\sin\frac{x}{n}</math> | ||
+ | |||
+ | ''Mo.'' 1. Ha z=-3n, akkor a -z/4. tagja a sorozatnak nincs értelmezve a z pontban. Ezért a közös értelmezési tartomány: '''C''' \ {-3n | n}. Ebben az esetben a nevező n-ben legmagasabb fokú tagjával leosztva: | ||
+ | :<math>f_n(z)=\frac{z+6\frac{1}{n}}{3+z\frac{1}{n}}\to \frac{z}{3}</math> | ||
+ | 2. | ||
+ | :<math>f_n(z)=\frac{z^nz^4}{3}=z^n\cdot\frac{z^4}{3}</math> | ||
+ | de rögzített ''z''-re ez egy mértani sorozat, azaz a konvergens |z|<1-re és akkor amikor z=1. | ||
+ | |||
+ | 3. [-1,1) | ||
+ | |||
+ | 4. | ||
+ | :<math>f_n(x)=x\frac{\sin\frac{x}{n}}{\frac{x}{n}}\to 1\cdot x</math> | ||
+ | |||
+ | ==Hatványsorok== | ||
+ | |||
+ | :<math>\sum\limits_{n=0}^\infty c_n(x-a)^n</math> | ||
+ | |||
+ | Hatványsor konvergenciahalmaza valós sor esetén intervallum, komplex esetén körlap. | ||
+ | |||
+ | '''3.''' Határozzuk meg a sorok konvergenciakörét és a határpontokban a sor konvergenciáját. | ||
+ | |||
+ | # <math>\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(x-1)^n}{n^3\,2^n }</math> | ||
+ | # <math>\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n! x^n}{n^4 }</math> | ||
+ | # <math>\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^nx^n</math> | ||
+ | # <math>\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{(x-2)^n}{3}</math> |
A lap jelenlegi, 2010. szeptember 15., 10:09-kori változata
Majoráns-, hányados-, gyök- és Leibniz-kritérium
Majoráns-kritérium -- Legyen (an) és (bn) olyan, hogy egy indextől kezdődően és ∑(bn) konvergens. Ekkor ∑(an) is konvergens (és ∑(bn) a majoráns sora).
Hányados-kritérium -- Legyen (an) olyan, hogy létezik a
- ha , akkor ∑(an) konvergens és
- ha , akkor ∑(an) divergens.
Gyök-kritérium -- Legyen (an) olyan, hogy létezik a
- ha , akkor ∑(an) konvergens és
- ha , akkor ∑(an) divergens.
Leibniz-kritérium -- Ha | an | monoton csökkenő módon tart a 0-hoz, akkor konvergens.
1.
Mo.
Függvénysorozatok
Az azonos A ⊆ C halmazon értelmezett komplex vagy valós függvények sorozatának konvergenciatartományán azzon K halmazt értjük, melyhez pontosan akkor tartozik az x pont, ha az (fn(x)) sorozat konvergens.
2. Függvénysorozatok pontonkénti konvergenciája
Mo. 1. Ha z=-3n, akkor a -z/4. tagja a sorozatnak nincs értelmezve a z pontban. Ezért a közös értelmezési tartomány: C \ {-3n | n}. Ebben az esetben a nevező n-ben legmagasabb fokú tagjával leosztva:
2.
de rögzített z-re ez egy mértani sorozat, azaz a konvergens |z|<1-re és akkor amikor z=1.
3. [-1,1)
4.
Hatványsorok
Hatványsor konvergenciahalmaza valós sor esetén intervallum, komplex esetén körlap.
3. Határozzuk meg a sorok konvergenciakörét és a határpontokban a sor konvergenciáját.