Matematika közlek a3 2010 2. gyakorlat

A MathWikiből

Majoráns-, hányados-, gyök- és Leibniz-kritérium

Majoráns-kritérium -- Legyen (an) és (bn) olyan, hogy egy indextől kezdődően |a_n|\leq |b_n| és ∑(bn) konvergens. Ekkor ∑(an) is konvergens (és ∑(bn) a majoráns sora).

Hányados-kritérium -- Legyen (an) olyan, hogy létezik a \lim\limits_{n\to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.

  1. ha \lim\limits_{n\to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|< 1, akkor ∑(an) konvergens és
  2. ha \lim\limits_{n\to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|> 1, akkor ∑(an) divergens.

Gyök-kritérium -- Legyen (an) olyan, hogy létezik a \lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}.

  1. ha \lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}< 1, akkor ∑(an) konvergens és
  2. ha \lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}> 1, akkor ∑(an) divergens.

Leibniz-kritérium -- Ha | an | monoton csökkenő módon tart a 0-hoz, akkor \sum((-1)^n a_n) konvergens.


1.

  1. \sum\limits_{n=1}^{\infty}\sin\frac{1}{n^3}
  2. \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{\ln n}}
  3. \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}
  4. \sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n^2}
  5. \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2n^3+3n^2+8}
  6. \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}n!}{n^n}
  7. \sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{\sqrt{n}}
  8. \sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n n^2 \sin \frac{1}{n^2}

Mo.

\frac{\frac{2^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{2^{n}n!}{n^n}}=2 \left(\frac{n}{n+1}\right)^n\to 2\frac{1}{e}<1

Függvénysorozatok

Az azonos A ⊆ C halmazon értelmezett komplex vagy valós függvények f_n:A\to \mathbf{C} sorozatának konvergenciatartományán azzon K halmazt értjük, melyhez pontosan akkor tartozik az x pont, ha az (fn(x)) sorozat konvergens.

2. Függvénysorozatok pontonkénti konvergenciája

  1. f_n(z)=\frac{zn^2+6n}{3n^2+zn}
  2. f_n(z)=\frac{z^{n+4}}{3}
  3. f_n(x)=\frac{x^n}{n(1+x^{2n})}
  4. f_n(x)=n\sin\frac{x}{n}

Mo. 1. Ha z=-3n, akkor a -z/4. tagja a sorozatnak nincs értelmezve a z pontban. Ezért a közös értelmezési tartomány: C \ {-3n | n}. Ebben az esetben a nevező n-ben legmagasabb fokú tagjával leosztva:

f_n(z)=\frac{z+6\frac{1}{n}}{3+z\frac{1}{n}}\to \frac{z}{3}

2.

f_n(z)=\frac{z^nz^4}{3}=z^n\cdot\frac{z^4}{3}

de rögzített z-re ez egy mértani sorozat, azaz a konvergens |z|<1-re és akkor amikor z=1.

3. [-1,1)

4.

f_n(x)=x\frac{\sin\frac{x}{n}}{\frac{x}{n}}\to 1\cdot x

Hatványsorok

\sum\limits_{n=0}^\infty c_n(x-a)^n

Hatványsor konvergenciahalmaza valós sor esetén intervallum, komplex esetén körlap.

3. Határozzuk meg a sorok konvergenciakörét és a határpontokban a sor konvergenciáját.

  1. \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(x-1)^n}{n^3\,2^n }
  2. \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n! x^n}{n^4 }
  3. \sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^nx^n
  4. \sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{(x-2)^n}{3}
Személyes eszközök