Matematika A2a 2008/5. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Függvénykompozíció differenciálja) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
(egy szerkesztő 52 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
1. sor: | 1. sor: | ||
− | + | ==Differenciálhatóság== | |
+ | A többváltozós differenciálhatóságot az egyváltozós alábbi átfogalmazásából általánosítjuk: | ||
− | = | + | :<math>\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)-f(u)-m(x-u)}{|x-u|}=0</math> |
− | == | + | :<math>\lim\limits_{x\to u+}\frac{f(x)-f(u)-m(x-u)}{x-u}=0\quad\wedge\quad\lim\limits_{x\to u-}\frac{f(x)-f(u)-m(x-u)}{-(x-u)}=0</math> |
− | + | :<math>\lim\limits_{x\to u+}\left(\frac{f(x)-f(u)}{x-u}-m\right)=0,\quad\wedge\quad\lim\limits_{x\to u-}-\left(\frac{f(x)-f(u)}{x-u}-m\right)=0</math> | |
+ | :<math>\lim\limits_{x\to u+}\frac{f(x)-f(u)}{x-u}=m,\quad\wedge\quad\lim\limits_{x\to u-}-\frac{f(x)-f(u)}{x-u}=-m</math> | ||
+ | :<math>\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)-f(u)}{x-u}=m</math> | ||
− | |||
− | :<math>\lim\limits_{x\to u}\frac{ | + | '''Definíció.''' Legyen ''f'': '''R'''<sup>n</sup> <math>\supset\!\longrightarrow</math> '''R'''<sup>m</sup> és ''u'' ∈ int Dom(f). Azt mondjuk, hogy ''f'' '''differenciálható''' az ''u'' pontban, ha létezik olyan ''A'': '''R'''<sup>n</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup> lineáris leképezés, hogy |
+ | :<math>\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)-f(u)-\mathcal{A}(x-u)}{||x-u||_{\mathbf{R}^n}}=0_{\mathbf{R}^m}</math> | ||
+ | Ekkor ''A'' egyértelmű és az ''f'' leképezés ''u''-bent beli '''differenciál'''jának nevezzük és d''f''(''u'')-val vagy D''f''(u)-val jelöljük. Ezt a fogalmat néha ''teljes differenciál''nak, ''totális differenciál''nak vagy ''Fréchet-derivált''nak is mondjuk. | ||
− | + | '''Megjegyzés.''' A fenti határérték 0 volta egyenértékű a következő kijelentéssel. Létezik ''A''': ''R'''<sup>n</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup> lineáris leképezés és ε: Dom(''f'') <math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup> függvény, melyre: | |
− | :<math>\ | + | : ε folytonos u-ban és ε(u)=0, továbbá |
− | így | + | minden ''x'' ∈ Dom(''f'')-re: |
+ | : <math>f(x)=f(u)+\mathcal{A}(x-u)+\varepsilon(x)||x-u||</math> | ||
+ | '''Megjegyzés.''' Azt, hogy ''A'' egyértelmű, a következőkkel bizonyíthatjuk. Legyen ''A'' és ''B'' is a mondott tulajdonságú, azaz létezzenek ε és η az ''u''-ban eltűnő és ott folytonos Dom(''f'')-en értelmezett függvények, melyekre teljesül, hogy minden ''x'' ∈ Dom(''f'')-re | ||
+ | :<math>f(x)=f(u)+\mathcal{A}(x-u)+\varepsilon(x)||x-u||</math> | ||
+ | :<math>f(x)=f(u)+\mathcal{B}(x-u)+\eta(x)||x-u||</math> | ||
+ | ezeket kivonva egymásból és használva '''minden''' ''x''-re: | ||
+ | :<math>(\mathcal{A}-\mathcal{B})(x-u)+(\varepsilon(x)-\eta(x))||x-u||=0</math> | ||
+ | így minden x = u + ty értékre is az azonosan nullát kapjuk, ha t pozitív szám, y pedig rögzített nemnulla vektor, azaz minden t-re | ||
+ | :<math>(\mathcal{A}-\mathcal{B})ty+(\varepsilon(u+ty)-\eta(u+ty))||ty||=0</math> | ||
+ | az azonosan 0 függény határértéke t<math>\to</math> 0 esetén szintén nulla: | ||
+ | :<math> 0=\lim\limits_{t\to 0}\frac{(\mathcal{A}-\mathcal{B})(ty)+(\varepsilon(u+ty)-\eta(u+ty))||ty||}{t}=(\mathcal{A}-\mathcal{B})y</math> | ||
+ | hiszen t-t kiemelhetünk és egyszerűsíthetünk és t<math>\to</math> 0 esetén | ||
+ | ε és η nullává válik. | ||
+ | Ez viszont pont azt jelenti, hogy a két lineéris operátor azonosan egyenlő. | ||
− | + | ==Jacobi-mátrix== | |
− | + | A d''f''(''u'') lineáris leképezés (<math>e_1</math>,<math>e_2</math>,...,<math>e_n</math>) szetenderd bázisbeli mátrixa legyen: [d''f''(''u'')] = '''A'''. Vizsgáljuk mibe viszi a bázisokat d''f''(''u'') leképezés! | |
− | ''' | + | Írjuk fel a definíciót, de az <math>e_1</math> egységvektor mentén tartsunk ''u''-hoz: ''x'' = ''u'' + ''t''<math>e_1</math>. Ekkor |
+ | :<math>x-u=te_1\,</math> | ||
+ | ami azért hasznos, mert a | ||
+ | :<math>\mathcal{A}(x-u)=\mathcal{A}(te_1)\,</math> | ||
+ | alakból kiemelhetó t: | ||
+ | :<math>0=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(u+te_1)-f(u)-\mathcal{A}(te_1)}{t}=</math> | ||
+ | :::<math>=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(u+te_1)-f(u)-t.\mathcal{A}(e_1)}{t}=</math> | ||
+ | :::<math>=-\mathcal{A}(e_1)+\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(u+te_1)-f(u)}{t}</math> | ||
+ | azaz | ||
+ | :<math>\mathcal{A}(e_1)=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(u+te_1)-f(u)}{t}=\partial_1 f(u)</math> | ||
+ | vagyis ''f'' koordinátafüggvényeinek az első változó szerinti parciális deriváltja az ''u'' pontban. A többi oszlopvektor ugyanígy: | ||
− | + | :<math>[\mathrm{d}f(u)]=\mathbf{J}^f(u)=\begin{bmatrix} | |
− | + | \partial_1 f_1(u) & \partial_2 f_1(u) & \dots & \partial_n f_1(u)\\ | |
− | + | \partial_1 f_2(u) & \partial_2 f_2(u) & \dots & \partial_n f_2(u)\\ | |
− | + | \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ | |
− | mátrix. | + | \partial_1 f_m(u) & \partial_2 f_m(u) & \dots & \partial_n f_m(u)\\ |
+ | \end{bmatrix}</math> | ||
+ | amelyet '''Jacobi-mátrix'''nak nevezünk. | ||
− | + | '''Következmény.''' Tehát. ha f totálisan differenciálható, akkor parciálisan is differenciálható és a differenciál sztenderd bázisbeli mátrixa a Jacobi-mátrix. | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | Azaz: | |
− | + | :'''teljes''' differenciálhatóság <math>\Longrightarrow</math> '''parciális''' differenciálhatóság | |
− | : | + | de ez fordítva már nem igaz: |
− | : | + | : '''parciális''' differenciálhatóság <math>\not\Rightarrow</math> '''teljes''' differenciálhatóság |
− | '' | + | Erre vonatkozik a két alábbi példa. |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | '' | + | |
− | : | + | |
− | : | + | |
− | + | ||
− | '' | + | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
73. sor: | 70. sor: | ||
|} | |} | ||
</center> | </center> | ||
+ | |||
+ | [[Kategória:Matematika A2]] |
A lap jelenlegi, 2013. október 21., 11:44-kori változata
Differenciálhatóság
A többváltozós differenciálhatóságot az egyváltozós alábbi átfogalmazásából általánosítjuk:
Definíció. Legyen f: Rn Rm és u ∈ int Dom(f). Azt mondjuk, hogy f differenciálható az u pontban, ha létezik olyan A: Rn Rm lineáris leképezés, hogy
Ekkor A egyértelmű és az f leképezés u-bent beli differenciáljának nevezzük és df(u)-val vagy Df(u)-val jelöljük. Ezt a fogalmat néha teljes differenciálnak, totális differenciálnak vagy Fréchet-deriváltnak is mondjuk.
Megjegyzés. A fenti határérték 0 volta egyenértékű a következő kijelentéssel. Létezik A: Rn Rm lineáris leképezés és ε: Dom(f) Rm függvény, melyre:
- ε folytonos u-ban és ε(u)=0, továbbá
minden x ∈ Dom(f)-re:
Megjegyzés. Azt, hogy A egyértelmű, a következőkkel bizonyíthatjuk. Legyen A és B is a mondott tulajdonságú, azaz létezzenek ε és η az u-ban eltűnő és ott folytonos Dom(f)-en értelmezett függvények, melyekre teljesül, hogy minden x ∈ Dom(f)-re
ezeket kivonva egymásból és használva minden x-re:
így minden x = u + ty értékre is az azonosan nullát kapjuk, ha t pozitív szám, y pedig rögzített nemnulla vektor, azaz minden t-re
az azonosan 0 függény határértéke t 0 esetén szintén nulla:
hiszen t-t kiemelhetünk és egyszerűsíthetünk és t 0 esetén ε és η nullává válik. Ez viszont pont azt jelenti, hogy a két lineéris operátor azonosan egyenlő.
Jacobi-mátrix
A df(u) lineáris leképezés (e1,e2,...,en) szetenderd bázisbeli mátrixa legyen: [df(u)] = A. Vizsgáljuk mibe viszi a bázisokat df(u) leképezés!
Írjuk fel a definíciót, de az e1 egységvektor mentén tartsunk u-hoz: x = u + te1. Ekkor
ami azért hasznos, mert a
alakból kiemelhetó t:
azaz
vagyis f koordinátafüggvényeinek az első változó szerinti parciális deriváltja az u pontban. A többi oszlopvektor ugyanígy:
amelyet Jacobi-mátrixnak nevezünk.
Következmény. Tehát. ha f totálisan differenciálható, akkor parciálisan is differenciálható és a differenciál sztenderd bázisbeli mátrixa a Jacobi-mátrix.
Azaz:
- teljes differenciálhatóság parciális differenciálhatóság
de ez fordítva már nem igaz:
- parciális differenciálhatóság teljes differenciálhatóság
Erre vonatkozik a két alábbi példa.
4. gyakorlat | 6. gyakorlat |