|
|
| (egy szerkesztő 4 közbeeső változata nincs mutatva) |
| 1. sor: |
1. sor: |
| | + | ==Differenciálhatóság== |
| | + | A többváltozós differenciálhatóságot az egyváltozós alábbi átfogalmazásából általánosítjuk: |
| | | | |
| − | ==Folytonosság és totális differenciálhatóság==
| + | :<math>\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)-f(u)-m(x-u)}{|x-u|}=0</math> |
| − | Tekintsük az
| + | :<math>\lim\limits_{x\to u+}\frac{f(x)-f(u)-m(x-u)}{x-u}=0\quad\wedge\quad\lim\limits_{x\to u-}\frac{f(x)-f(u)-m(x-u)}{-(x-u)}=0</math> |
| − | :<math>g(x,y)=\left\{\begin{matrix}\begin{pmatrix}\frac{xy}{x^2+y^2}\\ x+y\end{pmatrix}& \mbox{, ha }&(x,y)\ne (0,0)\\ | + | :<math>\lim\limits_{x\to u+}\left(\frac{f(x)-f(u)}{x-u}-m\right)=0,\quad\wedge\quad\lim\limits_{x\to u-}-\left(\frac{f(x)-f(u)}{x-u}-m\right)=0</math> |
| − | \begin{pmatrix}0\\ 0\end{pmatrix}&\mbox{, ha }&(x,y)=(0,0)\end{matrix}\right.</math>
| + | :<math>\lim\limits_{x\to u+}\frac{f(x)-f(u)}{x-u}=m,\quad\wedge\quad\lim\limits_{x\to u-}-\frac{f(x)-f(u)}{x-u}=-m</math> |
| − | Ekkor
| + | :<math>\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)-f(u)}{x-u}=m</math> |
| − | :<math>J^g(0,0)=\begin{pmatrix}0 & 0\\
| + | |
| − | 1 & 1\end{pmatrix}</math>
| + | |
| − | Viszont g nem totálisan diffható, mert a (t,t) mentén a (0,0)-ba tartva:
| + | |
| − | :<math>\lim\limits_{t\to 0}\frac{g(t,t)-g(0,0)-J^g(0,0)\cdot(t,t)}{\sqrt{2}|t|}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{(\frac{1}{2},2t)-(0,t)}{\sqrt{2}|t|}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{(\frac{1}{2},t)}{\sqrt{2}|t|}=\lim\limits_{t\to 0}(\frac{1}{\sqrt{2}2|t|},\frac{t}{\sqrt{2}|t|})</math> | + | |
| − | ami nem létezik.
| + | |
| | | | |
| − | '''Megjegyzés.''' Itt persze g nem folytonos, és itt is igaz az, hogy ha totálisan differenciálható egy függvény, akkor folytonos is:
| |
| | | | |
| − | '''Tétel.''' Ha ''f'' differenciálható ''u''-ban, akkor ott folytonos is, ugyanis minden ''x''-re: | + | '''Definíció.''' Legyen ''f'': '''R'''<sup>n</sup> <math>\supset\!\longrightarrow</math> '''R'''<sup>m</sup> és ''u'' ∈ int Dom(f). Azt mondjuk, hogy ''f'' '''differenciálható''' az ''u'' pontban, ha létezik olyan ''A'': '''R'''<sup>n</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup> lineáris leképezés, hogy |
| − | :<math>f(x)=f(u)+(\mathrm{d}f(u))(x-u)+\varepsilon(x)||x-u||</math> | + | :<math>\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)-f(u)-\mathcal{A}(x-u)}{||x-u||_{\mathbf{R}^n}}=0_{\mathbf{R}^m}</math> |
| − | amely tagjai mind folytonosak ''u''-ban.
| + | Ekkor ''A'' egyértelmű és az ''f'' leképezés ''u''-bent beli '''differenciál'''jának nevezzük és d''f''(''u'')-val vagy D''f''(u)-val jelöljük. Ezt a fogalmat néha ''teljes differenciál''nak, ''totális differenciál''nak vagy ''Fréchet-derivált''nak is mondjuk. |
| | | | |
| − | ==Iránymenti deriválhatóság és differenciálhatóság==
| + | '''Megjegyzés.''' A fenti határérték 0 volta egyenértékű a következő kijelentéssel. Létezik ''A''': ''R'''<sup>n</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup> lineáris leképezés és ε: Dom(''f'') <math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup> függvény, melyre: |
| − | '''Példa.''' | + | : ε folytonos u-ban és ε(u)=0, továbbá |
| − | :<math>f(x,y)=\left\{\begin{matrix}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}& \mbox{, ha }&(x,y)\ne (0,0)\\ | + | minden ''x'' ∈ Dom(''f'')-re: |
| − | 0&\mbox{, ha }&(x,y)=(0,0)\end{matrix}\right.</math> | + | : <math>f(x)=f(u)+\mathcal{A}(x-u)+\varepsilon(x)||x-u||</math> |
| | + | '''Megjegyzés.''' Azt, hogy ''A'' egyértelmű, a következőkkel bizonyíthatjuk. Legyen ''A'' és ''B'' is a mondott tulajdonságú, azaz létezzenek ε és η az ''u''-ban eltűnő és ott folytonos Dom(''f'')-en értelmezett függvények, melyekre teljesül, hogy minden ''x'' ∈ Dom(''f'')-re |
| | + | :<math>f(x)=f(u)+\mathcal{A}(x-u)+\varepsilon(x)||x-u||</math> |
| | + | :<math>f(x)=f(u)+\mathcal{B}(x-u)+\eta(x)||x-u||</math> |
| | + | ezeket kivonva egymásból és használva '''minden''' ''x''-re: |
| | + | :<math>(\mathcal{A}-\mathcal{B})(x-u)+(\varepsilon(x)-\eta(x))||x-u||=0</math> |
| | + | így minden x = u + ty értékre is az azonosan nullát kapjuk, ha t pozitív szám, y pedig rögzített nemnulla vektor, azaz minden t-re |
| | + | :<math>(\mathcal{A}-\mathcal{B})ty+(\varepsilon(u+ty)-\eta(u+ty))||ty||=0</math> |
| | + | az azonosan 0 függény határértéke t<math>\to</math> 0 esetén szintén nulla: |
| | + | :<math> 0=\lim\limits_{t\to 0}\frac{(\mathcal{A}-\mathcal{B})(ty)+(\varepsilon(u+ty)-\eta(u+ty))||ty||}{t}=(\mathcal{A}-\mathcal{B})y</math> |
| | + | hiszen t-t kiemelhetünk és egyszerűsíthetünk és t<math>\to</math> 0 esetén |
| | + | ε és η nullává válik. |
| | + | Ez viszont pont azt jelenti, hogy a két lineéris operátor azonosan egyenlő. |
| | | | |
| − | Ekkor
| + | ==Jacobi-mátrix== |
| − | :<math>\mathrm{J}^f(0,0)=[0, 0]\,</math>
| + | A d''f''(''u'') lineáris leképezés (<math>e_1</math>,<math>e_2</math>,...,<math>e_n</math>) szetenderd bázisbeli mátrixa legyen: [d''f''(''u'')] = '''A'''. Vizsgáljuk mibe viszi a bázisokat d''f''(''u'') leképezés! |
| | | | |
| − | Ha tehát differenciálható, akkor az '''iránymenti derivált'''ak (Gateau-deriváltak) is léteznek (e egységvektor):
| + | Írjuk fel a definíciót, de az <math>e_1</math> egységvektor mentén tartsunk ''u''-hoz: ''x'' = ''u'' + ''t''<math>e_1</math>. Ekkor |
| | + | :<math>x-u=te_1\,</math> |
| | + | ami azért hasznos, mert a |
| | + | :<math>\mathcal{A}(x-u)=\mathcal{A}(te_1)\,</math> |
| | + | alakból kiemelhetó t: |
| | + | :<math>0=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(u+te_1)-f(u)-\mathcal{A}(te_1)}{t}=</math> |
| | + | :::<math>=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(u+te_1)-f(u)-t.\mathcal{A}(e_1)}{t}=</math> |
| | + | :::<math>=-\mathcal{A}(e_1)+\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(u+te_1)-f(u)}{t}</math> |
| | + | azaz |
| | + | :<math>\mathcal{A}(e_1)=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(u+te_1)-f(u)}{t}=\partial_1 f(u)</math> |
| | + | vagyis ''f'' koordinátafüggvényeinek az első változó szerinti parciális deriváltja az ''u'' pontban. A többi oszlopvektor ugyanígy: |
| | | | |
| − | :<math>\partial_ef(u)=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(u+te)-f(u)}{t}=\mathrm{J}^f(0,0)\cdot e=e\cdot\mathrm{grad}\,f(u)</math> | + | :<math>[\mathrm{d}f(u)]=\mathbf{J}^f(u)=\begin{bmatrix} |
| − | | + | \partial_1 f_1(u) & \partial_2 f_1(u) & \dots & \partial_n f_1(u)\\ |
| − | Ám, polárkoordinátákra áttérve:
| + | \partial_1 f_2(u) & \partial_2 f_2(u) & \dots & \partial_n f_2(u)\\ |
| − | :<math>f(x(r,\varphi),y(r,\varphi))=\frac{r^2\cos\varphi\sin\varphi}{r}=r\cos\varphi\sin\varphi=r\cdot \frac{1}{2}\sin 2\varphi</math>
| + | \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ |
| − | φ = π/4-et és π + π/4-et véve a vetületfüggvény a
| + | \partial_1 f_m(u) & \partial_2 f_m(u) & \dots & \partial_n f_m(u)\\ |
| − | :<math>t\mapsto\frac{1}{2}|t|</math>,
| + | |
| − | ami nem differenciálható a 0-ban.
| + | |
| − | | + | |
| − | '''Megjegyzés.''' Persze abból, hogy az összes iránymenti derivált létezik, abból nem következik, hogy a függvény totálisan deriválható:
| + | |
| − | | + | |
| − | ==Egyváltozós illetve valós értékű függvény deriváltja==
| + | |
| − | | + | |
| − | Ha f:'''R'''<sup>n</sup> <math>\supset\!\to</math> '''R''', akkor a definíciót még így is ki szokás mondani:
| + | |
| − | | + | |
| − | f diffható ''r''<sub>0</sub>-ban, ha létezik ''m'' vektor, hogy
| + | |
| − | :<math>\lim\limits_{r\to r_0}\frac{f(r)-f(r_0)-m\cdot(r-r_0)}{|r-r_0|}=0</math>
| + | |
| − | | + | |
| − | Ekkor az m a '''gradiensvektor''', melynek sztenderd bázisbeli koordinátamátrixa a Jacobi mátrix:
| + | |
| − | :<math>\mathrm{grad}\,f(r_0)=[\partial_1f(r_0),...,\partial_nf(r_0)]</math>
| + | |
| − | | + | |
| − | Ha f:'''R''' <math>\supset\!\to</math> '''R'''<sup>n</sup>, akkor a definíciót még így is ki szokás mondani:
| + | |
| − | :<math>\exists\,f'(t_0)=\lim\limits_{t\to t_0}\frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0}\,</math>
| + | |
| − | és ekkor f'(<math>t_0</math>) a <math>t_0</math>-beli '''deriváltvektor''' (ha t az idő és r=f(t) a hely, akkor ez a sebeségvektor).
| + | |
| − | | + | |
| − | Ha f:'''R'''<sup>n</sup> <math>\supset\!\to</math> '''R'''<sup>n</sup>, akkor a differenciált '''deriválttenzor'''nak is nevezik.
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | '''Példa.'''
| + | |
| − | | + | |
| − | Mi az
| + | |
| − | :<math>f(r)=r^2\,</math>,
| + | |
| − | skalárfüggvény gradiense?
| + | |
| − | | + | |
| − | Válasszuk le a lineáris részét!
| + | |
| − | | + | |
| − | :<math>r^2-r_0^2=(r-r_0)(r+r_0)=(r-r_0)(2r_0+r-r_0)=2r_0\cdot(r-r_0)+(r-r_0)^2\,</math>
| + | |
| − | Itt az első tag a lineáris, a második a magasabbfokú. Tehát:
| + | |
| − | :<math>\mathrm{grad}\,r^2=2r\,</math>
| + | |
| − | | + | |
| − | ==Lineáris és affin függvény deriváltja==
| + | |
| − | '''Tétel.''' Az ''A'' : '''R'''<sup>n</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup> lineáris leképezés differenciálható és differenciálja minden pontban saját maga:
| + | |
| − | :<math>\mathrm{d}\mathcal{A}(u)=\mathcal{A}\,</math>
| + | |
| − | | + | |
| − | ''Ugyanis, '' legyen ''u'' ∈ '''R'''<sup>n</sup>. Ekkor
| + | |
| − | | + | |
| − | :<math>\lim\limits_{x\to u}\frac{\mathcal{A}(x)-\mathcal{A}(u)-\mathcal{A}(x-u)}{||x-u||}=\lim\limits_{x\to u}0=0</math>
| + | |
| − | | + | |
| − | '''Tétel.''' Az azonosan '''c''' konstans függény esetén az d''c''(''u'') <math>\equiv</math> 0 alkalmas differenciálnak, mert
| + | |
| − | :<math>\lim\limits_{x\to u}\frac{c-c-0\cdot(x-u)}{||x-u||}=\lim\limits_{x\to u}0=0</math>
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | '''Tétel.''' Ha ''f'' és ''g'' a ''H'' ⊆ '''R'''<sup>n</sup> halmazon értelmezett '''R'''<sup>m</sup>-be képező, az ''u'' ∈ ''H''-ban differenciálható függvények, akkor minden λ számra
| + | |
| − | :<math>\lambda.f\,</math> is differenciálható ''u''-ban és <math>\mathrm{d}(\lambda.f)(u)=\lambda.\mathrm{d}f(u)\,</math> és
| + | |
| − | :<math>f+g\,</math> is differenciálható ''u''-ban és <math>\mathrm{d}(f+g)(u)=\mathrm{d}f(u)+\mathrm{d}g(u)\,</math>
| + | |
| − | ''Ugyanis,'' a mondott differenciálokkal és a
| + | |
| − | :<math>\varepsilon_{\lambda.f}=\lambda.\varepsilon_{f}\,</math>
| + | |
| − | :<math>\varepsilon_{f+g}=\varepsilon_{f}+\varepsilon_{g}\,</math>
| + | |
| − | választással, ezek az ''u''-ban folytonosak lesznek és a lineáris résszekel együtt ezek előállítják a skalárszoros és összegfüggvények megváltozásait.
| + | |
| − | | + | |
| − | '''Következmény.''' Tehát minden ''u'' ∈ '''R'''<sup>n</sup>-re az '''affin''' c+''A'' diffható és
| + | |
| − | :<math>\mathrm{d}(c+\mathcal{A})(u)=\mathcal{A}</math>
| + | |
| − | | + | |
| − | ===Példa===
| + | |
| − | | + | |
| − | Az ''A'': '''x''' <math>\mapsto</math> 2<math>x_1</math> + 3<math>x_2</math> - 4<math>x_3</math> lineáris leképezés differenciálja az '''u''' pontban az '''u'''-tól független
| + | |
| − | :<math>(\mathrm{d}\mathcal{A}(\mathbf{u}))(x_1,x_2,x_3)=2x_1+3x_2-4x_3\,</math>
| + | |
| − | és Jacobi-mátrixa a konstans
| + | |
| − | :<math>\mathbf{J}^\mathcal{A}(\mathbf{u})=\begin{bmatrix}2 & 3 & -4\end{bmatrix}</math>
| + | |
| − | mátrix.
| + | |
| − | | + | |
| − | Világos, hogy a
| + | |
| − | :<math>\mathrm{pr}_i:(x_1,x_2,...,x_i,...,x_n)\mapsto x_i</math>
| + | |
| − | koordináta vagy projekciófüggvény lineáris, differenciálja minden '''u''' pontban saját maga és ennek mátrixa:
| + | |
| − | :<math>[\mathrm{grad}\,\mathrm{pr_i}]=\mathbf{J}^{\mathrm{pr}_i}(\mathbf{u})=\begin{bmatrix}0 & 0 & ... & 1 & ...& 0\end{bmatrix}</math>
| + | |
| − | ahol az 1 az i-edik helyen áll. Másként
| + | |
| − | :<math>\partial_kx_i=\delta_{ki}</math>
| + | |
| − | ahol
| + | |
| − | :<math>\delta_{ij}=\left\{\begin{matrix}1, \mbox{ ha }i=j\\0, \mbox{ ha }i\ne j \end{matrix}\right.</math>
| + | |
| − | azaz a Kronecker-féle δ szimbólum.
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | ==Szélsőérték szükséges feltétele==
| + | |
| − | | + | |
| − | Egyelőre állapodjunk meg abban, hogy gradiensnek nevezzük a következő többváltozós vektorértékű függvényt: ha ''f'': '''R'''<sup>n</sup> <math>\supset\!\to</math> '''R''' parciálisan differenciálható, akkor
| + | |
| − | :<math>\mathrm{grad}\,f(x)=(\partial_1f(x),...,\partial_nf(x))</math>
| + | |
| − | mely lényegében az ''f'' elsőrendű parciális deriváltjaiból képezett vektor.
| + | |
| − | | + | |
| − | Később a gradienst egy kissé másképp fogjuk értelmezni és amit most definiáltunk, az a gradiens sztenderd bázisbeli mátrixa lesz (adott pontra vonatkozóan).
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | '''Tétel''' - ''Fermat-tétel'' - Legyen ''f'': '''R'''<sup>n</sup> <math>\supset\!\to</math> '''R''', ''u'' ∈ int Dom(''f''), ''f'' parciálisan differenciálható ''u''-ban.
| + | |
| − | :Ha ''u''-ban ''f''-nek (lokális) szélsőértéke van, akkor
| + | |
| − | ::<math>\mathrm{grad}\,f(u)=0_{\mathbf{R}^n}\,</math>
| + | |
| − | ''U.is:'' minden ''i''-re az ''i''-edik parciális függvénynek szélsőértéke van ''u''<sub>i</sub>-ben, így az egyváltozós Fermat-tétel miatt ezeknek a deriváltja ''u''<sub>i</sub>-ben 0, így a gradiens értéke 0.
| + | |
| − | | + | |
| − | ====Példa====
| + | |
| − | :<math>f(x,y)=x^2y^2\,</math>
| + | |
| − | Ennek gradiense:
| + | |
| − | :<math>\mathrm{grad}\,f(x,y)=(2xy^2,2yx^2)</math>
| + | |
| − | Az
| + | |
| − | :<math>\left.
| + | |
| − | \begin{matrix}
| + | |
| − | \mathrm{I.} & 2xy^2 & = & 0\\
| + | |
| − | \mathrm{II.} & 2yx^2 & = & 0\\
| + | |
| − | \end{matrix}
| + | |
| − | \right\}</math>
| + | |
| − | egyenletrendszer megoldásai: ''x'' = 0, ''y'' tetszőleges ill. ''y'' = 0 és ''x'' tetszőleges. A szélsőértékek helyei csak ezek közül kerülhetnek ki és ezek valóban szélsőértékek is, mert ezeken a függvény 0-t vesz fel, ami a lehetséges legkisebb értéke.
| + | |
| − | :<gnuplot>
| + | |
| − | set pm3d
| + | |
| − | set size 0.8,0.8
| + | |
| − | set xrange [-1:1]
| + | |
| − | set yrange [-1:1]
| + | |
| − | set zrange [-2:2]
| + | |
| − | set view 50,30,1,1
| + | |
| − | unset xtics
| + | |
| − | unset ytics
| + | |
| − | unset ztics
| + | |
| − | unset key
| + | |
| − | unset colorbox
| + | |
| − | splot 5*x*x*y*y
| + | |
| − | </gnuplot>
| + | |
| − | | + | |
| − | ==Magasabbrendű parciális deriváltak==
| + | |
| − | Ha ''f'' parciálisan deriválható, akkor ∂<sub>1</sub>''f'' és ∂<sub>2</sub>''f'' szintén kétváltozós függvények (a pontonként a deriváltak, mint függvényértékek értelmezésével) és érdeklődhetünk ezek parciális differenciálhatóságuk iránt. Például:
| + | |
| − | | + | |
| − | :<math>f(x,y)=x^2y^4+x^5-y^3\,</math>
| + | |
| − | | + | |
| − | :<math>\partial_xf(x,y)=xy^4+5x^4</math>
| + | |
| − | :<math>\partial_yf(x,y)=x^24y^3-3y^2</math>
| + | |
| − | | + | |
| − | :<math>\partial_x(\partial_xf)(x,y)=y^4+20x^3</math>
| + | |
| − | :<math>\partial_y(\partial_yf)(x,y)=12x^2y^2-6y^2</math>
| + | |
| − | :<math>\partial_y(\partial_xf)(x,y)=x4y^3</math>
| + | |
| − | :<math>\partial_x(\partial_yf)(x,y)=4xy^3</math>
| + | |
| − | | + | |
| − | És valóban:
| + | |
| − | | + | |
| − | '''Tétel.''' (Young-tétel) Ha a másodrendű parciláis deriváltak léteznek az ''u'' egy környezetében és folytonosak az ''u'' pontban, akkor az ''u''-beli vegyes másodrendű parciláis deriváltak egyenlőek:
| + | |
| − | :<math>\partial_x(\partial_y f)(u)=\partial_y(\partial_x f)(u)</math>
| + | |
| − | | + | |
| − | Azaz az alábbi, úgy nevezett Hesse-mátrix szimmetrikus:
| + | |
| − | :<math>H^f(u)=\begin{bmatrix}
| + | |
| − | \cfrac{\partial^2 f(u)}{\partial x^2} & \cfrac{\partial^2 f(u)}{\partial y\partial x}\\\\
| + | |
| − | \cfrac{\partial^2 f(u)}{\partial x\partial y} & \cfrac{\partial^2 f(u)}{\partial y^2}
| + | |
| | \end{bmatrix}</math> | | \end{bmatrix}</math> |
| | + | amelyet '''Jacobi-mátrix'''nak nevezünk. |
| | | | |
| − | '''Feladat.''' Az a kitétel, hogy az ''u''-ban a másodrenrű parciláis deriváltak folytonosak, nem hagyható el, ugyanis. Legyen | + | '''Következmény.''' Tehát. ha f totálisan differenciálható, akkor parciálisan is differenciálható és a differenciál sztenderd bázisbeli mátrixa a Jacobi-mátrix. |
| − | :<math>f(x,y)=\left\{\begin{matrix}
| + | |
| − | 0,& \mbox{ ha }(x,y)=(0,0)\\
| + | |
| − | \frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2},& \mbox{ ha }(x,y)\ne(0,0)
| + | |
| − | \end{matrix}\right.</math>
| + | |
| − | Ekkor a 0-ban nem egyenlő a két vegyes parciális derivált.
| + | |
| − | | + | |
| − | Tekintsük a parciális deriváltakat:
| + | |
| − | :<math>\partial_x(\partial_yf)(0,0)=\lim\limits_{x\to 0}\frac{(\partial_yf)(x,0)-(\partial_yf)(0,0)}{x}</math>
| + | |
| − | :<math>\partial_y(\partial_xf)(0,0)=\lim\limits_{y\to 0}\frac{(\partial_xf)(0,y)-(\partial_xf)(0,0)}{y}</math>
| + | |
| − | :<math>\partial_x(\partial_xf)(0,0)=\lim\limits_{x\to 0}\frac{(\partial_xf)(x,0)-(\partial_xf)(0,0)}{x}</math>
| + | |
| − | :<math>\partial_y(\partial_yf)(0,0)=\lim\limits_{y\to 0}\frac{(\partial_yf)(0,y)-(\partial_yf)(0,0)}{y}</math>
| + | |
| − | Ehhez tehát elegendő kiszámítani a következő föggvényeket: y <math>\mapsto</math> (∂<sub>x</sub>f)(0,y), x <math>\mapsto</math> (∂<sub>y</sub>f)(x,0). Ehhez a parciális deriváltak:
| + | |
| − | :<math>\partial_xf(0,y)=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(t,y)-f(0,0)}{t}=\left\{\begin{matrix}
| + | |
| − | 0,& \mbox{ ha }y=0\\
| + | |
| − | -y,& \mbox{ ha }y\ne 0
| + | |
| − | \end{matrix}\right.</math>
| + | |
| − | :<math>\partial_yf(x,0)=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(x,t)-f(0,0)}{t}=\left\{\begin{matrix}
| + | |
| − | 0,& \mbox{ ha }x=0\\
| + | |
| − | x,& \mbox{ ha }x\ne 0
| + | |
| − | \end{matrix}\right.</math>
| + | |
| − | :<math>\partial_yf(0,y)=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(0,y+t)-f(0,0)}{t}=0</math>
| + | |
| − | :<math>\partial_xf(x,0)=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(x+t,0)-f(0,0)}{t}=0</math>
| + | |
| − | | + | |
| − | Megjegyezzük, hogy a g=(∂<sub>x</sub>f,∂<sub>y</sub>f) függvény (0,0)-beli parciális deriváltjai nem lehetnek folytonosak, mert ott a függvény nem totálisan diffható. Ugyanis a g Jacobi-mátrixa:
| + | |
| − | :<math>J^g(0,0)=H^f(0,0)=\begin{bmatrix}
| + | |
| − | 0 & -1\\
| + | |
| − | 1 & 0
| + | |
| − | \end{bmatrix}</math>
| + | |
| − | ami a 90˚-os forgatás. Ekkor a g-t a (t,0) vektorral közelítve a 0-ba:
| + | |
| − | :<math>\lim\limits_{t\to 0}\frac{g(t,0)-g(0,0)-J^g(0,0)\cdot (t,0)}{|t|}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{(0,-t)}{|t|}\ne (0,0)\,</math>
| + | |
| − | márpedig ha g minden parciális deriváltja folytonos lenne a (0,0)-ban, akkor g totálisan is deriválható lenne.
| + | |
| − | | + | |
| − | ==Többváltozós függvény szélsőértéke==
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | ===Másodikderivált próba===
| + | |
| − | Kétszer differenciálható függvényre vonatkozóan megfogalmazhatjuk a lokális maximum és minimum létezésének elégséges feltételét. Csak a kétváltozós függvényekkel foglalkozunk. Tegyük fel, hogy grad ''f''(u) = 0 és H<sup>f</sup>(u) az ''f'' Hesse-mátrixa
| + | |
| − | # ha det H<sup>f</sup>(u) > 0 és ∂<sub>11</sub>''f''(''u'') < 0, akkor ''f''-nek ''u''-ban '''maximuma''' van
| + | |
| − | # ha det H<sup>f</sup>(u) > 0 és ∂<sub>11</sub>''f''(''u'') > 0, akkor ''f''-nek ''u''-ban '''minimuma''' van
| + | |
| − | # ha det H<sup>f</sup>(u) < 0, akkor ''f''-nek biztosan nincs szélsőértéke, ún. '''nyeregpont'''ja van
| + | |
| − | # ha det H<sup>f</sup>(u) = 0, akkor a próba nem járt sikerrel, azaz további vizsgálatokat igényel annak eldöntése, hogy ''u'' szélsőérték hely-e.
| + | |
| − | | + | |
| − | ''Megjegyzések.'' Mivel kétváltozós esetben
| + | |
| − | :<math>\mathrm{det}\,\mathrm{H}^f(u)=\partial_{11}f(u)\cdot \partial_{22}f(u)-(\partial_{12}f(u))^2</math>
| + | |
| − | ezért olyan eset nem létezik, hogy det H<sup>f</sup>(u) > 0 és ∂<sub>11</sub>''f''(''u'') = 0.
| + | |
| − | | + | |
| − | Világos, hogy a másodikderivált tipikusan azoknál a függvényeknél jár sikerrel, melyeket egy másodfokú függvény közelít a legjobban (aszimptotikusan másodfokúak). Ha a függvény ennél magasabb fokú, akkor a második deriváltak eltűnnek és a Hesse-mártix elfajul (vagy legalább is tipikusan elfajul).
| + | |
| − |
| + | |
| − | Ha tehát
| + | |
| − | :<math>\mathrm{H}^{f}(u)=\begin{pmatrix}
| + | |
| − | A & B \\
| + | |
| − | B & C
| + | |
| − | \end{pmatrix}</math>, akkor <math>\mathrm{det\,H}^{f}(u)=AC - B^2 </math>,
| + | |
| − | és így a tipikus példák a következők.
| + | |
| − | | + | |
| − | ====Példák====
| + | |
| − | | + | |
| − | '''1.''' Ha B kicsi, azaz az AC-hez képest kis abszolútrétékű szám, akkor a szélsőérték irányába mozdul el a feladat.
| + | |
| − | :<math>f(x,y)=x^2+xy+y^2\,</math>
| + | |
| − | | + | |
| − | Ekkor grad ''f'' = ( 2x + y , 2y + x ) és
| + | |
| − | :<math>\mathrm{H}^{f}(x,y)=\begin{pmatrix}
| + | |
| − | 2 & 1 \\
| + | |
| − | 1 & 2
| + | |
| − | \end{pmatrix}</math>
| + | |
| − | azaz 4 - 1 = 3 > 0 és 2 > 0 miatt minimum.
| + | |
| − | :<gnuplot>
| + | |
| − | set pm3d
| + | |
| − | set size 0.8,0.8
| + | |
| − | set xrange [-1:1]
| + | |
| − | set yrange [-1:1]
| + | |
| − | set zrange [-2:2]
| + | |
| − | set view 50,30,1,1
| + | |
| − | unset xtics
| + | |
| − | unset ytics
| + | |
| − | unset ztics
| + | |
| − | unset key
| + | |
| − | unset colorbox
| + | |
| − | splot x*x+x*y+y*y
| + | |
| − | </gnuplot>
| + | |
| − | | + | |
| − | '''2.''' Ha |B| nagy (azaz AC-hez képest nagy), akkor a bizonyosan nemszélsőérték irányába.
| + | |
| − | :<math>f(x,y)=x^2-3xy+y^2\,</math>
| + | |
| − | | + | |
| − | Ekkor grad ''f'' = ( 2x + -3y , 2y + -3x ) és
| + | |
| − | :<math>\mathrm{H}^{f}(x,y)=\begin{pmatrix}
| + | |
| − | 2 & -3 \\
| + | |
| − | -3 & 2
| + | |
| − | \end{pmatrix}</math>
| + | |
| − | azaz 4 - 9 = -5 < 0 miatt nincs szélsőérték: nyeregpont.
| + | |
| − | :<gnuplot>
| + | |
| − | set pm3d
| + | |
| − | set size 0.8,0.8
| + | |
| − | set xrange [-1:1]
| + | |
| − | set yrange [-1:1]
| + | |
| − | set zrange [-2:2]
| + | |
| − | set view 50,30,1,1
| + | |
| − | unset xtics
| + | |
| − | unset ytics
| + | |
| − | unset ztics
| + | |
| − | unset key
| + | |
| − | unset colorbox
| + | |
| − | splot x*x -3*x*y+y*y
| + | |
| − | </gnuplot>
| + | |
| − | | + | |
| − | '''3.''' Negatív A és C-re és kis B-re:
| + | |
| − | :<math>f(x,y)=-x^2+xy-y^2\,</math>
| + | |
| − | | + | |
| − | Ekkor grad ''f'' = ( -2x + 3y , -2y + 3x ) és
| + | |
| − | :<math>\mathrm{H}^{f}(x,y)=\begin{pmatrix}
| + | |
| − | -2 & 1 \\
| + | |
| − | 1 & -2
| + | |
| − | \end{pmatrix}</math>
| + | |
| − | azaz 4 - 1 = 3 > 0 és -2 < 0 miatt maximum.
| + | |
| − | :<gnuplot>
| + | |
| − | set pm3d
| + | |
| − | set size 0.8,0.8
| + | |
| − | set xrange [-1:1]
| + | |
| − | set yrange [-1:1]
| + | |
| − | set zrange [-2:2]
| + | |
| − | set view 50,30,1,1
| + | |
| − | unset xtics
| + | |
| − | unset ytics
| + | |
| − | unset ztics
| + | |
| − | unset key
| + | |
| − | unset colorbox
| + | |
| − | splot -x*x +x*y-y*y
| + | |
| − | </gnuplot>
| + | |
| − | | + | |
| − | '''4.''' Ha A és C előjele ellenkező, akkor rögtön következik, hogy nincs sz.é.
| + | |
| − | :<math>f(x,y)=x^2+xy-y^2\,</math>
| + | |
| | | | |
| − | Ekkor grad ''f'' = ( 2x + y , -2y + x ) és
| + | Azaz: |
| − | :<math>\mathrm{H}^{f}(x,y)=\begin{pmatrix}
| + | :'''teljes''' differenciálhatóság <math>\Longrightarrow</math> '''parciális''' differenciálhatóság |
| − | 2 & 1 \\
| + | de ez fordítva már nem igaz: |
| − | 1 & -2
| + | : '''parciális''' differenciálhatóság <math>\not\Rightarrow</math> '''teljes''' differenciálhatóság |
| − | \end{pmatrix}</math>
| + | Erre vonatkozik a két alábbi példa. |
| − | azaz -4 - 1 = -5 < 0 azaz nyeregpont.
| + | |
| − | :<gnuplot> | + | |
| − | set pm3d
| + | |
| − | set size 0.8,0.8
| + | |
| − | set xrange [-1:1]
| + | |
| − | set yrange [-1:1]
| + | |
| − | set zrange [-2:2]
| + | |
| − | set view 50,30,1,1
| + | |
| − | unset xtics
| + | |
| − | unset ytics
| + | |
| − | unset ztics
| + | |
| − | unset key
| + | |
| − | unset colorbox
| + | |
| − | splot x*x +x*y-y*y
| + | |
| − | </gnuplot> | + | |
| | | | |
| − | '''5.''' Atipikus eset, ha AC = B<sup>2</sup>. Ekkor nem jár sikerrel a próba:
| |
| − | :<math>f(x,y)=x^2+2xy+y^2\,</math>
| |
| | | | |
| − | Ekkor grad ''f'' = ( 2x + 2y , 2y + 2x ) és
| |
| − | :<math>\mathrm{H}^{f}(x,y)=\begin{pmatrix}
| |
| − | 2 & 2 \\
| |
| − | 2 & 2
| |
| − | \end{pmatrix}</math>
| |
| − | azaz 4 - 4 = 0, azaz határozatlan eset.
| |
| − | De tudjuk, hogy
| |
| − | :<math>f(x,y)=(x+y)^2\,</math>
| |
| − | ami pontosan akkor minimális, ha x = -y, azaz ezeken a helyeken van szélsőérték.
| |
| − | :<gnuplot>
| |
| − | set pm3d
| |
| − | set size 0.8,0.8
| |
| − | set xrange [-1:1]
| |
| − | set yrange [-1:1]
| |
| − | set zrange [-2:2]
| |
| − | set view 50,30,1,1
| |
| − | unset xtics
| |
| − | unset ytics
| |
| − | unset ztics
| |
| − | unset key
| |
| − | unset colorbox
| |
| − | splot (x+y)*(x+y)
| |
| − | </gnuplot>
| |
| | | | |
| | | | |
A többváltozós differenciálhatóságot az egyváltozós alábbi átfogalmazásából általánosítjuk:
így minden x = u + ty értékre is az azonosan nullát kapjuk, ha t pozitív szám, y pedig rögzített nemnulla vektor, azaz minden t-re
Rm és u ∈ int Dom(f). Azt mondjuk, hogy f differenciálható az u pontban, ha létezik olyan A: Rn 
Rm lineáris leképezés, hogy
![[\mathrm{d}f(u)]=\mathbf{J}^f(u)=\begin{bmatrix}
\partial_1 f_1(u) & \partial_2 f_1(u) & \dots & \partial_n f_1(u)\\
\partial_1 f_2(u) & \partial_2 f_2(u) & \dots & \partial_n f_2(u)\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\partial_1 f_m(u) & \partial_2 f_m(u) & \dots & \partial_n f_m(u)\\
\end{bmatrix}](/upload/math/b/c/8/bc8c1cf3c3d6f5032a7858552cc82a3a.png)
parciális differenciálhatóság
teljes differenciálhatóság
