Matematika A3a 2008/3. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Speciális esetek) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Speciális esetek) |
||
(egy szerkesztő 2 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
37. sor: | 37. sor: | ||
:<math>\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}=-P\frac{\partial \ln\mu}{\partial y}\,</math> | :<math>\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}=-P\frac{\partial \ln\mu}{\partial y}\,</math> | ||
és | és | ||
− | :<math>S( | + | :<math>S(y)=\frac{\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}}{P}=-\frac{\partial \ln\mu}{\partial y}\,</math> |
csak y-től függ és innen az integráló szorzó: | csak y-től függ és innen az integráló szorzó: | ||
:<math>\mu(y)=e^{-\int S(y)\;dy}</math> | :<math>\mu(y)=e^{-\int S(y)\;dy}</math> | ||
44. sor: | 44. sor: | ||
:<math>\frac{\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}}{Q}</math> ill. <math>\frac{\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}}{P}</math> | :<math>\frac{\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}}{Q}</math> ill. <math>\frac{\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}}{P}</math> | ||
törteket és ellenőrizzük, hogy rendre csak x-től vagy csak y-tól függenek. Ha valamelyik, akkor azt a megoldást választjuk. | törteket és ellenőrizzük, hogy rendre csak x-től vagy csak y-tól függenek. Ha valamelyik, akkor azt a megoldást választjuk. | ||
+ | |||
+ | '''Példa.''' | ||
+ | |||
+ | Oldjuk meg az | ||
+ | :<math>-x^2\cos^4y\,\mathrm{d}x+\sin y\,\mathrm{d}y=0</math> | ||
+ | egyenletet! | ||
+ | |||
+ | ''1. Mo.'' | ||
+ | Nem egzakt: | ||
+ | :<math>\frac{\partial P}{\partial y}=4x^2\cos^{3}y(\sin y)</math> | ||
+ | :<math>\frac{\partial Q}{\partial x}=0</math> | ||
+ | Egzakttá tehető, ugyanis: | ||
+ | :<math>-\frac{\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}}{P}=\frac{4x^2\cos^{3}y(\sin y)}{x^2\cos^4y}=\frac{4\sin y}{\cos y}</math> | ||
+ | :<math>\mu=e^{\int\frac{4\sin y}{\cos y}}=e^{-4 \mathrm{ln}|cos y |}=\frac{1}{\cos^4y}</math> | ||
+ | Emiatt | ||
+ | :<math>-x^2\,\mathrm{d}x+\frac{\sin y}{\cos^4 y}\,\mathrm{d}y=0</math> | ||
+ | Megoldása: | ||
+ | :<math>-\frac{x^3}{3}+\frac{1}{3\cos^3 y}\,=C</math> | ||
+ | ''2. Mo.'' | ||
+ | Szeparábilis is. | ||
III. Előfordulhat, hogy szeparábilis alakban kell keresnünk a parc. diff. egyenlet megoldását, azaz μ(x,y)=φ(x)ψ(y) alakban. Ekkor -- mint az könnyen ellenőrizhető -- az egyenlet | III. Előfordulhat, hogy szeparábilis alakban kell keresnünk a parc. diff. egyenlet megoldását, azaz μ(x,y)=φ(x)ψ(y) alakban. Ekkor -- mint az könnyen ellenőrizhető -- az egyenlet | ||
121. sor: | 141. sor: | ||
:<math>\frac{1}{|\sin u|}=K_1|x|</math> | :<math>\frac{1}{|\sin u|}=K_1|x|</math> | ||
:<math>\,1=Kx\sin \frac{y}{x}</math> (K≠0) | :<math>\,1=Kx\sin \frac{y}{x}</math> (K≠0) | ||
+ | |||
+ | ==Függvényegyütthatós elsőrendű lineáris d.e.== | ||
+ | :<math> | ||
+ | y'+\frac{2y}{x}=\sin(x^3+1)</math> | ||
+ | |||
+ | '''Mo.''' Homogén megoldása. y=0 konstans megoldás. | ||
+ | :<math>y'=-\frac{2y}{x}</math> | ||
+ | :<math>\frac{dy}{y}=-2\frac{dx}{x}</math> | ||
+ | :<math>\ln|y|=\ln|x|^{-2}+C</math> | ||
+ | Bolzano tétele miatt tetszőleges K valós számmal: | ||
+ | :<math>y=K\frac{1}{x^2}</math> | ||
+ | ami a homogén általános megoldása. | ||
+ | |||
+ | Inhomogén part. keresése | ||
+ | :<math>y(x)=K(x)\frac{1}{x^2}</math> | ||
+ | :<math> | ||
+ | K'(x)\frac{1}{x^2}+K(x)\frac{-2}{x^3}+K(x)\frac{2}{x^3}=\sin(x^3+1)</math> | ||
+ | :<math> | ||
+ | K'(x)=x^2\sin(x^3+1)</math> | ||
+ | :<math> | ||
+ | K'(x)=\frac{1}{3}3x^2\sin(x^3+1)</math> | ||
+ | :<math> | ||
+ | K(x)=-\frac{1}{3}\cos(x^3+1)</math> | ||
+ | :<math>y=K\frac{1}{x^2}-\frac{1}{3}\cos(x^3+1)\frac{1}{x^2}</math> | ||
+ | |||
<center> | <center> |
A lap jelenlegi, 2017. január 16., 19:20-kori változata
Tartalomjegyzék |
Integráló tényező
Általában egy P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 alakú differenciálegyenlet esetén nem teljesül a rot(P,Q)=0 feltétel. Esetenként azonban található olyan μ kétváltozós pozitív értékű függvény, amellyel:
már egzakt egyenlet. Vizsáljuk meg miből nyerhetjük az ilyen μ un. integráló szorzót! A rot(μP,μQ)=0 feltétel a következő:
Mivel
és ugyanígy
ezért
Ezt a parciális differenciálegyenletet kell megoldanunk ahhoz, hogy legyen integráló tényezőnk.
Speciális esetek
Megállapíthatjuk, hogy néha érdemes a μ-re felírt egyenletnek csak olyan megoldásait keresni, amelyek csak az egyik változótól függenek. Ez a következő esekben áll elő.
I. Keressük a megoldást a μ=μ(x) feltevéssel! Ekkor ln(μ)=ln(μ)(x) és ∂yln(μ)=0, azaz
és
csak x-től függ és innen az integráló szorzó:
Példa.
Az x>0, y tetszőleges kezdeti érték tarrtományban oldjuk meg az alábbi egyenletet!
- , (xyy' = − x2 − y2 − x)
Mo. P = x2 + y2 + x, Q = xy, , azaz nem egzakt, de
- ,
II. Keressük a megoldást a μ=μ(y) feltevéssel! Ekkor ln(μ)=ln(μ)(y) és ∂xln(μ)=0, azaz
és
csak y-től függ és innen az integráló szorzó:
Megj.: A gyakorlatban ilyenkor vesszük az
- ill.
törteket és ellenőrizzük, hogy rendre csak x-től vagy csak y-tól függenek. Ha valamelyik, akkor azt a megoldást választjuk.
Példa.
Oldjuk meg az
egyenletet!
1. Mo. Nem egzakt:
Egzakttá tehető, ugyanis:
Emiatt
Megoldása:
2. Mo. Szeparábilis is.
III. Előfordulhat, hogy szeparábilis alakban kell keresnünk a parc. diff. egyenlet megoldását, azaz μ(x,y)=φ(x)ψ(y) alakban. Ekkor -- mint az könnyen ellenőrizhető -- az egyenlet
alakú és az integráló szorzó
Példa. Oldjuk meg az
egyenletet!
Mo. Átrendezve:
∂yP=3y2, ∂xQ=-y2, azaz
azaz célravezet, ha μ-t μ(x) alakban keressük. Ekkor
Ekkor az egyenlet:
egzakt, mert
Integrálássa:
azaz
Elméleti példák
1. Az y'=-P/Q homogén fokszámú egyenlet, melyben P és Q azonos fokszámú homogén függvények szintén egzakttá tehető az 1/(Px+Qy) szorzóval, ha ez nem az y'=-y/x egyenlet (ennek meg ismerjük a megoldását).
2. Keressünk integráló tényezőt az
közönséges elsőrendű inhomogén lineáris differenciálegyenlethez!
Világos, hogy nem egzakt, mert a
alakban a keresztben vett deriváltak: 0 és f(x).
Q=1 és P(x,y)=-g(x)+f(x)y ezért a μ-t adó parc.diff. egyenlet:
Elegendő egy partikuláris megoldást találni, amit egyszerűen megkapunk, ha csak az olyan μ-ket keressük, amik csak az x-től függenek, ekkor ugyanis pl. g(x) nem is lesz az egyenletben. Ilyet találunk, mert:
Ez egy szeparábilis, aminek a megoldása:
egy partikuláris megoldás:
ahol F'=f.
HF: Keressük meg ezzel az integáló szorzóval az általános megoldást!
Mo.
Már egzakt, hiszen
Ekkor
azaz
Gyakorlás
Oldja meg az alábbi egyenletet az a) y(π)=0 ill. b) y(2/π)=1 kezdeti feltétel mellett!
Mo. Legyen u = y / x, innen y' = u'x + u
(itt megjegyzendő, hogy az u=kπ konstansok megoldások, azaz az eredetinek az y=kπx megoldásai)
- (K≠0)
Függvényegyütthatós elsőrendű lineáris d.e.
Mo. Homogén megoldása. y=0 konstans megoldás.
- ln | y | = ln | x | − 2 + C
Bolzano tétele miatt tetszőleges K valós számmal:
ami a homogén általános megoldása.
Inhomogén part. keresése
- K'(x) = x2sin(x3 + 1)
2. gyakorlat |
4. gyakorlat |