Szerkesztő:Mozo/A3 gyakorló feladatok 5.
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Sorok) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Vonalintegrál) |
||
(egy szerkesztő 20 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
8. sor: | 8. sor: | ||
u'x+u=\frac{1}{u}+2u</math> | u'x+u=\frac{1}{u}+2u</math> | ||
:<math> | :<math> | ||
− | u'x=\frac{1+ | + | u'x=\frac{1+u^2}{u}</math> |
:<math> | :<math> | ||
− | \int\frac{u}{1+ | + | \int\frac{u}{1+u^2}\,\mathrm{d}u=\int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x</math> |
:<math> | :<math> | ||
− | \frac{1}{2}\int\frac{2u}{1+ | + | \frac{1}{2}\int\frac{2u}{1+u^2}\,\mathrm{d}u=\int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x</math> |
:<math> | :<math> | ||
− | \frac{1}{2}\ln|1+ | + | \frac{1}{2}\ln|1+u^2|=\ln|x|+C</math>; <math>(C\in\mathbf{R})</math> |
:<math> | :<math> | ||
− | \ln |1+ | + | \ln |1+u^2|=\ln c_1^2x^2\,</math>; <math>(c_1=\ln C\,)</math> |
:<math> | :<math> | ||
− | 1+ | + | 1+u^2=cx^2\,</math>; <math>\qquad(c>0)\,</math> |
Implicit mo.: | Implicit mo.: | ||
− | :<math>1+ | + | :<math>1+\frac{y^2}{x^2}=cx^2\,</math> |
Explicit mo.: | Explicit mo.: | ||
:<math> | :<math> | ||
− | y=x\cdot\left(\pm\sqrt | + | y=x\cdot\left(\pm\sqrt{c}\sqrt{x^2-\frac{1}{c}}\right)</math> |
:Itt <math>|x|>\frac{1}{\sqrt{c}}</math> | :Itt <math>|x|>\frac{1}{\sqrt{c}}</math> | ||
'''2.''' <math>x^2y'=xy+y^2\,</math> | '''2.''' <math>x^2y'=xy+y^2\,</math> | ||
55. sor: | 55. sor: | ||
Explicit mo.: | Explicit mo.: | ||
:<math>y=\frac{cx^2}{1+cx}\,</math>; <math>(c\in\mathbf{R})</math> | :<math>y=\frac{cx^2}{1+cx}\,</math>; <math>(c\in\mathbf{R})</math> | ||
+ | |||
===Kezdetiérték feladat=== | ===Kezdetiérték feladat=== | ||
'''1.''' <math>y'=e^{x-y}\,</math>; (''y(-1)=0'') | '''1.''' <math>y'=e^{x-y}\,</math>; (''y(-1)=0'') | ||
80. sor: | 81. sor: | ||
:<math>y=\pm\sqrt[6]{6e^{x^2}+6C}\,</math>; (<math>C\in\mathbf{R}</math>) | :<math>y=\pm\sqrt[6]{6e^{x^2}+6C}\,</math>; (<math>C\in\mathbf{R}</math>) | ||
Behelyettesítve az implicit ált. mo-ba: | Behelyettesítve az implicit ált. mo-ba: | ||
− | :<math> | + | :<math>\frac{1}{6}=1+C\,</math> |
− | :<math>C= | + | :<math>C=\frac{1}{6}-1=-\frac{5}{6}\,</math> |
A kezdeti feltételt kielégítő mo.: | A kezdeti feltételt kielégítő mo.: | ||
− | :<math>y=-\sqrt[6]{6e^{x^2}- | + | :<math>y=-\sqrt[6]{6e^{x^2}-5}\,</math> |
+ | |||
===Egzaktra visszavezethető=== | ===Egzaktra visszavezethető=== | ||
:<math>P(x,y)+Q(x,y)y'=0,\qquad ?=y\in\mathrm{C}^1(I,J)\qquad P,Q\in\mathrm{C}^1(I\times J,\mathbf{R})</math> | :<math>P(x,y)+Q(x,y)y'=0,\qquad ?=y\in\mathrm{C}^1(I,J)\qquad P,Q\in\mathrm{C}^1(I\times J,\mathbf{R})</math> | ||
436. sor: | 438. sor: | ||
'''2.''' Oldja meg a | '''2.''' Oldja meg a | ||
:<math> | :<math> | ||
− | + | e^{iz}=2i-2\,</math> | |
egyenletet! | egyenletet! | ||
+ | |||
+ | ''MO.'' | ||
+ | :<math>e^{iz}=2\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}\,</math> | ||
+ | :<math>e^{iz}=e^{\ln 2\sqrt{2}}e^{-i\frac{\pi}{4}}\,</math> | ||
+ | :<math>e^{iz}=e^{\ln (2\sqrt{2})-i\frac{\pi}{4}}\,</math> | ||
+ | mivel exp 2πi szerint periodikus, ezért: | ||
+ | :<math>iz=\ln (2\sqrt{2})-i\frac{\pi}{4}+2\pi i k\,</math> | ||
+ | :<math>z=-i\ln (2\sqrt{2})-\frac{\pi}{4}+2\pi k\,</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
444. sor: | 457. sor: | ||
</math> | </math> | ||
szám értékét! | szám értékét! | ||
+ | |||
+ | ''MO.'' | ||
+ | |||
+ | :<math>(1+i)^i=e^{i\ln (1+i)}=e^{i(\ln(\sqrt{2})+i\frac{\pi}{4}+2\pi ik)}=e^{i\ln(\sqrt{2})-\frac{\pi}{4}-2\pi k}=e^{i\ln(\sqrt{2})}e^{-\frac{\pi}{4}-2\pi k}=(\cos\ln\sqrt{2}+i\sin\ln\sqrt{2})e^{-\frac{\pi}{4}-2\pi k}</math> | ||
===Sorok=== | ===Sorok=== | ||
453. sor: | 470. sor: | ||
Laurent-sor: | Laurent-sor: | ||
:<math>f(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^\infty c_{n}(z-z_0)^n</math> | :<math>f(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^\infty c_{n}(z-z_0)^n</math> | ||
− | :<math>\mathrm{Dom}\, f=\mathrm{int}(\mathrm{B}_{R_1}(z_0)\cap\mathrm{B}_{R_2}(z_0))</math> valamely ''R<sub>1</sub>'', ''R<sub>2</sub>''-vel. | + | :<math>\mathrm{Dom}\, f=\mathrm{int}(\mathrm{B}_{R_1}(z_0)\cap(\mathbf{C}\setminus\mathrm{B}_{R_2}(z_0)))</math> valamely ''R<sub>1</sub>'', ''R<sub>2</sub>''-vel. |
+ | |||
+ | Az f függvénynek a <math>\zeta</math> pont izolált szingularitása, ha f reguláris a <math>\zeta</math> egy kipontozott környezetében, de nem reguláris <math>\zeta</math>-ban. Izolált szingularitás körül a függvény Laurent-sor mindig lézezik ezért a sor alakja szerint osztályozzuk a szingularitásokat. | ||
+ | |||
+ | Megszüntethető, ha L.-sorban nincsenek reciprokos tagok. Ilyenkor a függvény regulárissá tehető, melynek Taylor-sora pont a Laurent-sora. | ||
+ | |||
+ | Pólusszingularitása van f-nek a <math>\zeta</math> pontban, ha a <math>\zeta</math> körüli Laurent-sor főrészében <math>1/(z-\zeta)</math>-nak véges sok nemnulla hatványa szerepel. Ezek körzül a <math>1/(z-\zeta)</math> legnagyobb kitevőjű hatványának kitevője a pólusszingularitás foka. | ||
+ | |||
+ | Lényeges szingularitása van f-nek <math>\zeta</math>-ban, ha a <math>\zeta</math> körüli Laurent-sorban <math>1/(z-\zeta)</math>-nak végtelen sok nemnulla hatványa szerepel. | ||
463. sor: | 488. sor: | ||
:<math>\cos z=1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\frac{z^5}{5!}\pm\dots</math> | :<math>\cos z=1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\frac{z^5}{5!}\pm\dots</math> | ||
:<math>\mathrm{sh}\, z=z+\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}+\frac{z^7}{7!}+\dots</math> | :<math>\mathrm{sh}\, z=z+\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}+\frac{z^7}{7!}+\dots</math> | ||
− | :<math>\mathrm{ch}\, z=1+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}+\frac{z^5}{5!} | + | :<math>\mathrm{ch}\, z=1+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}+\frac{z^5}{5!}+\dots</math> |
471. sor: | 496. sor: | ||
függvénynek megszüntethető szakadása van a 0-ban! Adja meg a reguláris kiterjesztés 100. deriváltját a 0-ban! | függvénynek megszüntethető szakadása van a 0-ban! Adja meg a reguláris kiterjesztés 100. deriváltját a 0-ban! | ||
+ | ''MO.'' | ||
+ | :<math>f(z)=\frac{\sin(z) -z}{z^3}=\frac{-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}-\frac{z^7}{7!}\pm\dots}{z^3}=-\frac{1}{3!}+\frac{z^2}{5!}-\frac{z^4}{7!}\pm\dots</math> | ||
+ | Mivel a sorfejtés egyértelmű, ezért a <math>z^{100}</math> tag együtthatója egyértelmű, azaz egyfelől a Taylor-sorból felírva, másfelől a most megadott sorfejtésből: | ||
+ | :<math>\frac{f^{(100)}(0)}{100!}=-\frac{1}{103!}</math> | ||
+ | :<math>f^{(100)}(0)=-\frac{100!}{103!}=-\frac{1}{101\cdot 102\cdot 103}</math> | ||
'''2.''' Fejtse Laurent-sorba az | '''2.''' Fejtse Laurent-sorba az | ||
:<math>f(z)=\frac{z}{z+i}</math> | :<math>f(z)=\frac{z}{z+i}</math> | ||
− | függvényt | + | függvényt úgy, hogy a sorfejtés a 1/2 pontban előállítsa a függvényt! |
+ | |||
+ | '''a)''' a 0 körül, | ||
+ | |||
+ | '''b)''' az 1 körül | ||
+ | |||
+ | '''c)''' Milyen szingularitása van a -i-ben? Mennyi a reziduuma ebben? | ||
+ | |||
+ | ''MO.'' a) Ha ránézünk a becses kezeinkkel rajzolt ábrára (ugye mindenki csinált ábrát!), akkor láthatjuk, hogy a reguláris, belső körbe esik mindkét pont körül az 1/2. | ||
+ | |||
+ | :<math>f(z)=\frac{z}{z+i}=\frac{z}{i}\frac{1}{\frac{z}{i}+1}=\frac{z}{i}\frac{1}{1-\frac{-z}{i}}</math> | ||
+ | tehát <math>q=\frac{-z}{i}</math>, ami |z|<1 esetén lesz konvergens sor alakú: | ||
+ | :<math>f(z)=\frac{z}{i}\frac{1}{1-\frac{-z}{i}}=\frac{z}{i}\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac{-z}{i}\right)^n=\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac{-z}{i}\right)^{n+1}=\sum\limits_{n=0}^\infty i^{n+1}z^{n+1}</math> | ||
+ | |||
+ | b) | ||
+ | :<math>f(z)=\frac{(z-1)+1}{(z-1)+1+i}=\frac{z-1}{(z-1)+1+i}+\frac{1}{(z-1)+1+i}=(z-1)\frac{1}{(z-1)+1+i}+\frac{1}{(z-1)+1+i}</math> | ||
+ | :<math>\frac{1}{(z-1)+1+i}=\frac{1}{1+i}\frac{1}{\frac{z-1}{1+i}+1}=\frac{1}{1+i}\frac{1}{1-\frac{-(z-1)}{1+i}}</math> | ||
+ | tehát <math>q=\frac{-z+1}{1+i}</math>, ami <math>|z-1|<\sqrt{2}</math> esetén lesz konvergens sor alakú: | ||
+ | :<math>\frac{1}{1+i}\frac{1}{1-\frac{-(z-1)}{1+i}}=\frac{1}{1+i}\frac{1}{1-\frac{-(z-1)}{1+i}}=\frac{1}{1+i}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{-(z-1)}{1+i}\right)^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{-1}{1+i}\right)^{n+1}(z-1)^n</math> | ||
+ | |||
+ | :<math>f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{-1}{1+i}\right)^{n+1}(z-1)^{n+1}+\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{-1}{1+i}\right)^{n+1}(z-1)^n</math> | ||
+ | |||
+ | c) | ||
+ | :<math>f(z)=\frac{z}{z+i}=\frac{z+i-i}{z+i}=1-\frac{i}{z+i}</math> | ||
+ | maga a -i körüli Laurent-sor, itt a reciprokos tag együtthatója: -i, azaz ennyi a reziduum. Pólusszingularitása van itt és ennek foka 1, mert a Laurent-sor főrészében csak a reciprok szerepel. | ||
'''3.''' Fejtse Laurent-sorba az | '''3.''' Fejtse Laurent-sorba az | ||
:<math>f(z)=\frac{1}{z^2(z+i)}</math> | :<math>f(z)=\frac{1}{z^2(z+i)}</math> | ||
− | függvényt a 0 körül úgy, hogy a | + | függvényt a 0 körül úgy, hogy a sorfejtés a 2i pontban előállítsa a függvényt! Milyen szingularitása van a 0-ban? És a -i-ben? |
+ | |||
+ | ''Mo.'' | ||
+ | |||
+ | Az ábrából látható, hogy a szingularitáson túli gyűrűben van 2i, ezért 1/z szerint kell sorfejteni. | ||
+ | :<math>f(z)=\frac{1}{z^2(z+i)}=\frac{1}{z^3}\frac{1}{1+\frac{i}{z})}=\frac{1}{z^3}\frac{1}{1-\frac{-i}{z})}</math> | ||
+ | tehát <math>q=\frac{-i}{z}</math>, ami |z|>1 esetén lesz konvergens sor alakú, azaz 2i ide tartozik | ||
+ | :<math>f(z)=\frac{1}{z^3}\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac{-i}{z}\right)^n=\sum\limits_{n=0}^\infty(-i)^{n}\left(\frac{1}{z}\right)^{n+3}</math> | ||
+ | |||
+ | 0 az f nevezőjének kétszeres gyöke, a számlálónak nem gyöke, a -i a nevezőnek egyszeres, a számlálónak nullaszoros gyöke. Tehát 0-ban másodfokú pólusa van, -i-ben elsőfokú. | ||
'''4.''' Fejtse Laurent-sorba az | '''4.''' Fejtse Laurent-sorba az | ||
:<math>f(z)=\mathrm{sh}(\frac{1}{z^2})</math> | :<math>f(z)=\mathrm{sh}(\frac{1}{z^2})</math> | ||
− | függvényt a 0 körül! Milyen szingularitása van a | + | függvényt a 0 körül! Milyen szingularitása van a 0-ban? |
+ | |||
+ | |||
+ | ''MO.'' | ||
+ | :<math>f(z)=\mathrm{sh}(\frac{1}{z^2})=\frac{1}{z^2}+\frac{1}{3!z^6}+\frac{1}{5!z^{10}}+\frac{1}{7!z^{14}}+\dots</math> | ||
+ | végtelen sok tag van a főrészben, ezért a szingularitás lényeges. | ||
===Integrálás paraméterezéssel és Newton--Leibniz-formulával=== | ===Integrálás paraméterezéssel és Newton--Leibniz-formulával=== | ||
+ | |||
+ | :<math>\int\limits_{G}f=\int\limits_{t=t_1}^{t_2}f(z(t))\dot{z}(t)dt</math> | ||
+ | ahol G paraméterezése <math>t\mapsto z(t)</math>, <math>t_1\leq t\leq t_2</math> folytonosan differenciálható, f folytonos a G-t tartalmazó egy nyílt halmazon. | ||
+ | |||
+ | :<math>\int\limits_{G,z_1}^{z_2}f=F(z_2)-F(z_1)</math> | ||
+ | ahol F komplex deriválható és F'=f, valamint f Riemann integrálható a G mentén, G kezdőpontja <math>z_1</math>, végpontja <math>z_2</math> | ||
'''1.''' Adja meg az | '''1.''' Adja meg az | ||
534. sor: | 608. sor: | ||
'''Reziduumtétel''' Ha a D korlátos és zárt, egyszeresen összefüggő tartomány G=∂D határa egy zárt görbével paraméterezhető és a görbe a tartománnyal kompatibilisan irányított, továbbá a D⊆U⊆'''C''' nyílt halmazon reguláris az f függvény kivéve a <math>z_1,\dots,z_n\in\mathrm{int}\,D</math> pontokban, akkor | '''Reziduumtétel''' Ha a D korlátos és zárt, egyszeresen összefüggő tartomány G=∂D határa egy zárt görbével paraméterezhető és a görbe a tartománnyal kompatibilisan irányított, továbbá a D⊆U⊆'''C''' nyílt halmazon reguláris az f függvény kivéve a <math>z_1,\dots,z_n\in\mathrm{int}\,D</math> pontokban, akkor | ||
:<math>\oint\limits_{G} f=\sum\limits_{k=1}^n\mathrm{Res}^f(z_k)</math> | :<math>\oint\limits_{G} f=\sum\limits_{k=1}^n\mathrm{Res}^f(z_k)</math> | ||
− | ahol <math>\mathrm{Res}^f(\zeta)</math> az f függvény <math>\zeta</math> körüli azon Laurent-sorának <math>c_{-1}</math> együtthatója, | + | ahol <math>\mathrm{Res}^f(\zeta)</math> az f függvény <math>\zeta</math> körüli azon Laurent-sorának <math>c_{-1}</math> együtthatója, mely a függvényt a <math>\zeta</math> egy kipontozot környzetében állítja elő. |
'''1.'''* <math>\oint\limits_{|z|=1} \frac{z^2+5z+1}{\mathrm{sh}(z)}\,\mathrm{d}z=?</math> | '''1.'''* <math>\oint\limits_{|z|=1} \frac{z^2+5z+1}{\mathrm{sh}(z)}\,\mathrm{d}z=?</math> | ||
543. sor: | 617. sor: | ||
'''3.''' <math>\oint\limits_{|z|=1} \frac{e^{z^2+2}}{(2z+4)\sin(\frac{\pi z}{4})}\,\mathrm{d}z=?</math> | '''3.''' <math>\oint\limits_{|z|=1} \frac{e^{z^2+2}}{(2z+4)\sin(\frac{\pi z}{4})}\,\mathrm{d}z=?</math> | ||
+ | ==Vektoranalízis== | ||
+ | |||
+ | ===Differenciáloperátorok=== | ||
+ | |||
+ | '''1.''' Hol létezik és mennyi az alábbi függvények gradiense? | ||
+ | |||
+ | :'''a)''' <math> \mathbf{v}(\mathbf{r})=|\mathbf{r}|^4\,</math> | ||
+ | :'''b)''' <math> \mathbf{v}(\mathbf{r})=\frac{1}{|\mathbf{r}|^2}\,</math> | ||
+ | :'''c)''' <math> \mathbf{v}(\mathbf{r})=\sin(|\mathbf{r}|^3)\,</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''2.''' Hol létezik és ott mi az alábbi térbeli vektormező rotációja és divergenciája? | ||
+ | |||
+ | :'''a)''' <math> \mathbf{v}(\mathbf{r})=\mathbf{r}|\mathbf{r}|^6\,</math> | ||
+ | :'''b)''' <math> \mathbf{v}(\mathbf{r})=\mathbf{k}\times\mathbf{r}\,</math> ('''k''' a z irányú egységvektor) | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===Potenciálkeresés=== | ||
+ | |||
+ | '''1.''' Ha van, mi az alábbi térbeli vektormező potenciálja? | ||
+ | |||
+ | :<math> v(x,y,z)=(2xy^3,3x^2y^2,z^2)\,</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''2.''' Ha van, mi az alábbi síkbeli vektormező potenciálja? | ||
+ | :<math> v(x,y)=(x^3+y^3,3xy^2)\,</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''3.''' Ha van, mi az alábbi függvény potenciálja? | ||
+ | :'''a)''' <math> \mathbf{v}(\mathbf{r})=\mathbf{r}|\mathbf{r}|^6\,</math> | ||
+ | :'''b)''' <math> \mathbf{v}(\mathbf{r})=\frac{2\mathbf{r}}{1+|\mathbf{r}|^2}\,</math> | ||
+ | |||
+ | ===Vonalintegrál=== | ||
+ | :<math>\int\limits_{G,\mathbf{r}_1}^{\mathbf{r}_2}\mathbf{v}\;\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{t_1}^{t_2}\mathbf{v}(\mathbf{r}(t))\cdot\dot\mathbf{r}(t)\,\mathrm{d}t</math> | ||
+ | ahol '''r'''<sub>1</sub> = '''r'''(''t''<sub>1</sub>), '''r'''<sub>2</sub> = '''r'''(''t''<sub>2</sub>). | ||
+ | :<math>\int\limits_{G}\mathbf{v}\;\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{G}v_t\,|\mathrm{d}\mathbf{r}|</math> | ||
+ | ahol ''v''<sub>t</sub> a vektormezőnek a görbe érintője irányú komponense, az integrál pedig a vektormező ívhossz szerinti integrálja. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''1. ''' Számítsuk ki az alábbi vektormezőnek az A=(1,-2,3), B=(2,1,4) végpontú egyenes szakaszra vonatkozó integrálját! | ||
+ | :<math>\mathbf{v}(x,y,z)=(y+z)\mathbf{i}+(x+z)\mathbf{j}+(x+y)\mathbf{k}\,</math> | ||
+ | |||
+ | '''2.''' Számítsuk ki a '''v''' = '''k''' × '''r''' függvénynek az R sugarú, [x,y] síkbeli origó középpontú körre vonatkozó integrálját! | ||
+ | |||
+ | '''3. ''' Számítsuk ki a '''v''' = '''k''' × '''r''' / |'''k''' × '''r'''|<sup>2</sup> függvénynek az R sugarú, [x,y] síkbeli origó középpontú körre vett integrálját! | ||
+ | |||
+ | ===Felületi integrál=== | ||
+ | |||
+ | :<math>\int\limits_{F}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{F}=\int\limits_{F_{u,v}}\mathbf{v}(\mathbf{r}(u,v))\left(\frac{\partial \mathbf{r}(u,v)}{\partial u}\times\frac{\partial \mathbf{r}(u,v)}{\partial v}\right)\;\mathrm{d}u\mathrm{d}v</math> | ||
+ | |||
+ | :<math>\int\limits_{F}\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{F}=\int\limits_{F}v_\mathbf{n}\,|\mathrm{d}\mathbf{F}|</math> | ||
+ | felszín integrállal a normális irányú komponensből. | ||
+ | |||
+ | '''1.''' Számítsuk ki a '''v''' vektormezőnek az '''r''' felületre vett integrálját: | ||
+ | :<math>\mathbf{v}(x,y,z)=x\mathbf{i}-y\mathbf{j}+z\mathbf{k}\,</math> | ||
+ | :<math>\mathbf{r}(u,v)=(u+2v)\mathbf{i}+v\mathbf{j}+(u-v)\mathbf{k},\;u\in[0,3], \;v\in[0,1]</math> | ||
+ | |||
+ | '''2. ''' Számítsuk ki az '''v''' = '''r'''-nek az R sugarú, M magasságú, z tengelyű hengerre vonatkozó felületi integrálját! | ||
+ | |||
+ | '''3.''' Számítsuk ki az R sugarú origó középpontú gömbnyolcad felszínére az '''v''' = '''r'''|'''r'''|<sup>3</sup> integrálját! |
A lap jelenlegi, 2016. június 8., 09:00-kori változata
Tartalomjegyzék |
Differenciálegyenletek
Fokszámban homogén egyenletek
1.
MO. u = y / x; y = ux; y' = u'x + u
- ;
- ;
- ;
Implicit mo.:
Explicit mo.:
- Itt
2.
MO. y≡0 konstans mo. y=ux helyettesítéssel:
ahonnan intervallumon értelmezett megoldás esetén:
- ;
Implicit mo.:
- ; és y=0
Explicit mo.:
- és y=0.
3.
MO. y≡0 konstans mo. y=ux helyettesítéssel:
- ;
- ;
- ;
Implicit mo.:
- ;
Explicit mo.:
- ;
Kezdetiérték feladat
1. ; (y(-1)=0)
MO.
Implicit ált. mo.:
- ; ()
Explicit általános mo.:
Behelyettesítve az implicit ált. mo-ba:
A kezdeti feltételt kielégítő mo.:
2. ; (y(0)=-1)
MO.
Implicit ált. mo.:
- ; ()
Explicit általános mo.:
- ; ()
Behelyettesítve az implicit ált. mo-ba:
A kezdeti feltételt kielégítő mo.:
Egzaktra visszavezethető
Majd
1.
MO.:
Tehát x5 alkalmas integráló szorzó.
Innen az
egy megoldását megkeresve:
ahonnan:
És az implicit általános megoldás:
- ; ()
(Az explicit pedig:
- )
2.
MO.:
integráló szorzó.
egy megoldását megkeresve:
ahonnan:
És az implicit általános megoldás:
- ; ()
Lineáris argumentumú egyenlet
1.
MO. u=4x-y; u'=4-y'
- ; konstans megoldások:
- ; (ha )
Implicit általános megoldás:
- és az szeparálással ki nem hozható két megoldás:
2.
MO. u=x+y; u'=1+y'
- ; konstans megoldások:
- ; (ha )
Implicit általános mo.:
- és a szeparálással ki nem hozható megoldások:
Függvényegyütthatós lineáris egyenlet
1.
MO. I.) Homogén. y≡0 mo.
II.) Az inhomogén partikuláris megoládást
alakban keressük.
Behelyettesítés után:
így az általános mo.:
2.
MO. I.) Homogén. y≡0 (x>0) mo.
II.) Az inhomogén partikuláris megoládást
alakban keressük. Behelyettesítés után:
így az általános mo.:
Laplace-transzformációval megoldható feladatok
1. x(0)=1; y(0)=-1 kezdeti feltétellel oldja meg az
egyenletrendszert!
MO.
Ebből kell kifejezni X-et és Y-t. Egyszerű a megoldás, ha észrevesszük, hogy ezeket összeadva:
ami minden s-re csak akkor teljesül, ha X=-Y. (De egyenletrendezéssel is megy, ha az egyik egyenletből az s-sel meg nem szorzott változót kifejezzük és a másodikbe helyettesítjük, pl. az elsőből az Y-t kifejezzük.) Innen pl. az első egyenletből:
Ezt visszatranszformálva:
És y=-x miatt:
2. y(0)=0; y'(0)=0 kezdeti feltétellel oldja meg az
egyenletet!
MO.
Innen visszatranszformálva:
Próbafüggvény módszerrel megoldható egyenletek
Homogén egyenlet megoldása:
- (karakterisztikus polinom)
- , akkor (belső rezonancia)
- , akkor
- , akkor
Inhomogén partikuláris alakja rezonanciák nélkül, spéci esetekben:
- , és
- , akkor
- , akkor
- , akkor
- , akkor
Általános (exp., trig., pol.) esetben pedig ha
- ,
akkor
ahol a karakterisztikus polinomnak m-szeres gyöke és deg{P}=deg{Q}=max{deg P, deg Q} polinomok (úgy értve, hogy deg 0=-∞). Tehát ha m>0, akkor külső rezonancia van.
1. Adja meg az
egyenlet általános megoldását!
MO. , mert gyökei
Ezt behelyettesítve az egyenletbe:
Tehát és , így az általános megoldás: ,
2. (Rezonanciás feladatok)
a.
Mo. vázlat. , azaz . Innen
- yH(x) = C1cos(3x) + C2sin(3x)
Mivel
ezért a + bi = 3i egyszeres megoldása a karakterisztikus egyenletnek, m=1 és az általános P(x), Q(x) polinomok konstansok: A,B, így az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldása az
alakban keresendő.
b.
Mo. vázlat. , azaz . Innen
Mivel
ezért a = 2 kétszeres megoldása a karakterisztikus egyenletnek, és ezért m=2 az általános P(x), Q(x) polinomok közül csak P(x) marad, mert b=0 lévén Q(x) kiesik, de P(x)=A állandó, így az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldása az
alakban keresendő.
c.
Mo. vázlat. , azaz . Innen
Mivel
ezért a = 1 egyszeres megoldása a karakterisztikus egyenletnek, és ezért m=1 az általános P(x), Q(x) polinomok közül csak P(x) marad, mert b=0 lévén Q(x) kiesik (sin(0)=0), de P(x)=Ax+B elsőfokú, mert p(x)=x (hiszen cos(0)=1 és ez megmaradt), így az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldása az
alakban keresendő.
Komplex függvénytan
Folytonosság, határérték
1. Határozzuk meg, hogy az alábbi függvény folytonos-e?
Mo. A pontokon kívül a függvény folytonos függvények felhasználásával van definiálva a folytonosságot megőrző módokon, ezért -n kívül folytonos. z = 2i-ben a függvény 0/0 alakú, ami határozatlan alak, de alakalmazható a L'Hospital szabály:
tehát a határérték létezik és a helyettesítési értékkel egyenlő, azaz 2i-ben a függvény folytonos.
z = − 2i-ben a függvény -4/0 alakú, ami a komplex függvénytanban határozott alak és ez a komplex végtelen: -4/0=∞. Tehát itt a függvény nem folytonos.
2. Hol létezik véges határértéke az alábbi függvényeknek?
- a)
- b)
Mo. a) Legyen z = x + iy. Mivel , ezért f csak a 0-ban nincs értelmezve. Itt valós és képzetes részre bontva:
A sejtés, hogy a valós komponensnek van, a képzetesnek nincs határtéráke. Ezért érdemes csak a képzetest megvizsgálni, mert pontosan akkor létezik a határérték, ha mindkét komponensnek létezik.
- irányból
- irányból
azaz a határérték nem létezhet a 0-ban. (Amúgy a valós rész határértéke létezik és 0, ugyanis rendőrelvvel:
- )
b)
Nincs értelmezve az x=0 pontokban, azaz az y tengely pontjaiban. Nemnulla y0 esetén a (0,y0) ponthoz az (x,y_0) mentén tartva y0 / x-nek végtelen a határértéke, tehát ott nem létezik. Ha y0 nulla, akkor az (x,0) mentén y/x=0, az (x,x) mentén y/x=1, azaz az origóban sincs határértéke. De mindehol máshol van, mert a határérték invariáns az alapműveletekre.
Deriválhatóság
1. Hol deriválható komplex módon és hol reguláris az alábbi függvény?
- a)
- b)**
Mo. a) Legyen z = x + iy.
Ezek a parciális deriváltak mindenhol folytonosak, azaz az (u,v) pár totálisan deriválható mindenhol. Innen a Cauchy--Riemann-egyenletek:
Mivel az első, azaz csak a 0-ban teljesül, a második pedig mindenhol, ezért a függvény pontosan a 0-ban deriválható. Ebből az is következik, hogy nincs olyan nyílt környezet, ahol minden pontban deriválható le.
b) u = x2 − y2, v = 2 | xy | . Vegyük észre, hogy amikor 2|xy|=2xy egy egész nyílt környezetben, akkor g(z)=z^2, azaz ezekben az esetekben reguláris a függvény. Ez az xy>0 esetében van. Tehát csak a tengelyeken kell megvizsgálni. |xy| az origón kívül a tengelyeken parciálisan nem deriválható. Az origóban viszont CR is fennáll és totálisan is deriválhatóak a komponensek
tehát ott deriválható.
A síknegyedeken belül tehát reguláris.
2. Hol deriválható komplex módon és hol reguláris az alábbi függvény?
- a)*
- b)
Mo. a) HF CR-egyenletekkel igazolni, hogy |z| sehol se deriválató. Azt tudjuk, hogy sin(z) mindenütt deriválható. sin(z) = 0 pontosan akkor, ha z = kπ (HF). Ezért esetén, ha f(z) deriválható lenne, akkor
is deriválható lenne, ami tehát lehetetlen. Már csak a z = kπ pontokban kell megvizsgálni, amit definíció szerint teszünk. A különbségi hányados függvény az deriválás helyén 0/0 alakú, ezért az első tényezőre alkalmazhatjuk a L'Hospital szabályt:
ami létezik, tehát minden kπ pontban deriválható a függvény, de máshol nem, így sehol sem reguláris.
b)
Ezek a parciális deriváltak mindenhol folytonosak, azaz az (u,v) pár totálisan deriválható mindenhol. Innen a Cauchy--Riemann-egyenletek:
Azaz a függvény az
parabola mentén komplex deriválható, de sehol se reguláris, mert nincs olyan nyílt környzete, melyben mindenütt deriválható lenne.
3. (Harmonikustárs-keresés)
- ,
akkor harmonikus az nyílton. Ha f=u+iv reguláris az U tartományon, akkor u és v harmonikus. Ha u harmonikus, az U tartományon, akkor létezik U-n v harmonikus, hogy f=u+iv reguláris. Ekkor v az u-nak egy harmonikus társa (és u az v-nek). Ha f=u+iv reguláris, akkor u,v-re teljesülnek a CR-egyenletek.
Ha létezik, akkor adjuk meg az
függvény harmonikus társát!
Mo.
tehát létezik harmonikus társa és ezt megtaláljuk az alábbiakból:
Tehát
(Hát persze, hiszen u = Re((1 + i / 2)z2))
Elemi függvények
1. Számítsa ki az
függvény valós és képzetes részét!
MO. z = x + iy
2. Oldja meg a
egyenletet!
MO.
mivel exp 2πi szerint periodikus, ezért:
3. Adja meg az
szám értékét!
MO.
Sorok
Taylor-sor:
- valamely R-rel.
Laurent-sor:
- valamely R1, R2-vel.
Az f függvénynek a ζ pont izolált szingularitása, ha f reguláris a ζ egy kipontozott környezetében, de nem reguláris ζ-ban. Izolált szingularitás körül a függvény Laurent-sor mindig lézezik ezért a sor alakja szerint osztályozzuk a szingularitásokat.
Megszüntethető, ha L.-sorban nincsenek reciprokos tagok. Ilyenkor a függvény regulárissá tehető, melynek Taylor-sora pont a Laurent-sora.
Pólusszingularitása van f-nek a ζ pontban, ha a ζ körüli Laurent-sor főrészében 1 / (z − ζ)-nak véges sok nemnulla hatványa szerepel. Ezek körzül a 1 / (z − ζ) legnagyobb kitevőjű hatványának kitevője a pólusszingularitás foka.
Lényeges szingularitása van f-nek ζ-ban, ha a ζ körüli Laurent-sorban 1 / (z − ζ)-nak végtelen sok nemnulla hatványa szerepel.
- , ha | q | < 1
1. Igazolja, hogy az
függvénynek megszüntethető szakadása van a 0-ban! Adja meg a reguláris kiterjesztés 100. deriváltját a 0-ban!
MO.
Mivel a sorfejtés egyértelmű, ezért a z100 tag együtthatója egyértelmű, azaz egyfelől a Taylor-sorból felírva, másfelől a most megadott sorfejtésből:
2. Fejtse Laurent-sorba az
függvényt úgy, hogy a sorfejtés a 1/2 pontban előállítsa a függvényt!
a) a 0 körül,
b) az 1 körül
c) Milyen szingularitása van a -i-ben? Mennyi a reziduuma ebben?
MO. a) Ha ránézünk a becses kezeinkkel rajzolt ábrára (ugye mindenki csinált ábrát!), akkor láthatjuk, hogy a reguláris, belső körbe esik mindkét pont körül az 1/2.
tehát , ami |z|<1 esetén lesz konvergens sor alakú:
b)
tehát , ami esetén lesz konvergens sor alakú:
c)
maga a -i körüli Laurent-sor, itt a reciprokos tag együtthatója: -i, azaz ennyi a reziduum. Pólusszingularitása van itt és ennek foka 1, mert a Laurent-sor főrészében csak a reciprok szerepel.
3. Fejtse Laurent-sorba az
függvényt a 0 körül úgy, hogy a sorfejtés a 2i pontban előállítsa a függvényt! Milyen szingularitása van a 0-ban? És a -i-ben?
Mo.
Az ábrából látható, hogy a szingularitáson túli gyűrűben van 2i, ezért 1/z szerint kell sorfejteni.
tehát , ami |z|>1 esetén lesz konvergens sor alakú, azaz 2i ide tartozik
0 az f nevezőjének kétszeres gyöke, a számlálónak nem gyöke, a -i a nevezőnek egyszeres, a számlálónak nullaszoros gyöke. Tehát 0-ban másodfokú pólusa van, -i-ben elsőfokú.
4. Fejtse Laurent-sorba az
függvényt a 0 körül! Milyen szingularitása van a 0-ban?
MO.
végtelen sok tag van a főrészben, ezért a szingularitás lényeges.
Integrálás paraméterezéssel és Newton--Leibniz-formulával
ahol G paraméterezése , folytonosan differenciálható, f folytonos a G-t tartalmazó egy nyílt halmazon.
ahol F komplex deriválható és F'=f, valamint f Riemann integrálható a G mentén, G kezdőpontja z1, végpontja z2
1. Adja meg az
függvény integráláját az
a) Origó középpontú, pozitívan irányított egységkör feltételt teljesítő felére!
b) [0,2+i] szakaszra!
2. Adja meg az
függvény integráláját az
a) Origó középpontú, pozitívan irányított kétségkör feltételt teljesítő negyedére! b) Origó középpontú, pozitívan irányított kétségkörre!
Integrálás Riemann-féle integráltétellel és Cauchy-féle integrálformulával
Cauchy-féle integráltétel Ha a D korlátos és zárt tartomány ∂D határa egy zárt görbével paraméterezhető és a görbe a tartománnyal kompatibilisan irányított, továbbá a D⊆U⊆C nyílt halmazon reguláris az f függvény, akkor
Riemann-féle integráltétel Ha a D korlátos és zárt tartomány ∂D határa egy zárt görbével paraméterezhető és a görbe a tartománnyal kompatibilisan irányított, továbbá a D⊆U⊆C nyílt halmazon reguláris az f függvény, kivéve a D egyetlen pontját és f korlátos, akkor
Cauchy-féle integrálformulák Ha a D korlátos és zárt, egyszeresen összefüggő tartomány G=∂D határa egy zárt görbével paraméterezhető és a görbe a tartománnyal kompatibilisan irányított, továbbá a D⊆U⊆C nyílt halmazon reguláris az f függvény és , akkor
1.*
2.
3.
4.
Integrálás reziduumtétellel
Reziduumtétel Ha a D korlátos és zárt, egyszeresen összefüggő tartomány G=∂D határa egy zárt görbével paraméterezhető és a görbe a tartománnyal kompatibilisan irányított, továbbá a D⊆U⊆C nyílt halmazon reguláris az f függvény kivéve a pontokban, akkor
ahol Resf(ζ) az f függvény ζ körüli azon Laurent-sorának c − 1 együtthatója, mely a függvényt a ζ egy kipontozot környzetében állítja elő.
1.*
2.
3.
Vektoranalízis
Differenciáloperátorok
1. Hol létezik és mennyi az alábbi függvények gradiense?
- a)
- b)
- c)
2. Hol létezik és ott mi az alábbi térbeli vektormező rotációja és divergenciája?
- a)
- b) (k a z irányú egységvektor)
Potenciálkeresés
1. Ha van, mi az alábbi térbeli vektormező potenciálja?
2. Ha van, mi az alábbi síkbeli vektormező potenciálja?
3. Ha van, mi az alábbi függvény potenciálja?
- a)
- b)
Vonalintegrál
ahol r1 = r(t1), r2 = r(t2).
ahol vt a vektormezőnek a görbe érintője irányú komponense, az integrál pedig a vektormező ívhossz szerinti integrálja.
1. Számítsuk ki az alábbi vektormezőnek az A=(1,-2,3), B=(2,1,4) végpontú egyenes szakaszra vonatkozó integrálját!
2. Számítsuk ki a v = k × r függvénynek az R sugarú, [x,y] síkbeli origó középpontú körre vonatkozó integrálját!
3. Számítsuk ki a v = k × r / |k × r|2 függvénynek az R sugarú, [x,y] síkbeli origó középpontú körre vett integrálját!
Felületi integrál
felszín integrállal a normális irányú komponensből.
1. Számítsuk ki a v vektormezőnek az r felületre vett integrálját:
2. Számítsuk ki az v = r-nek az R sugarú, M magasságú, z tengelyű hengerre vonatkozó felületi integrálját!
3. Számítsuk ki az R sugarú origó középpontú gömbnyolcad felszínére az v = r|r|3 integrálját!