Matematika A2a 2008/9. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) a (→Függvénytérbeli projekció) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Paraméteres integrál integrálhatóságának kritériuma) |
||
(egy szerkesztő 16 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
1. sor: | 1. sor: | ||
:''Ez az szócikk a [[Matematika A2a 2008]] alszócikke.'' | :''Ez az szócikk a [[Matematika A2a 2008]] alszócikke.'' | ||
+ | <!-- | ||
==Függvénytérbeli projekció== | ==Függvénytérbeli projekció== | ||
Tekintsük | Tekintsük | ||
20. sor: | 21. sor: | ||
:<math>||\sin(x)||=[\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\sin x]_0^\pi=\frac{\pi}{2}</math> | :<math>||\sin(x)||=[\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\sin x]_0^\pi=\frac{\pi}{2}</math> | ||
:<math>\lambda=\frac{\pi}{\pi^2/4}=\frac{4}{\pi}</math> | :<math>\lambda=\frac{\pi}{\pi^2/4}=\frac{4}{\pi}</math> | ||
− | + | --> | |
==Példa téglán történő inegrálásra== | ==Példa téglán történő inegrálásra== | ||
Ha f(x,y) = x és a [0,2]×[0,2]-n integráljuk, akkor először az y szerinti integrált elvégezve (eközben x állandónak minősül), majd a határozott integrált kiszámolva az x szerintit integrálva: | Ha f(x,y) = x és a [0,2]×[0,2]-n integráljuk, akkor először az y szerinti integrált elvégezve (eközben x állandónak minősül), majd a határozott integrált kiszámolva az x szerintit integrálva: | ||
30. sor: | 31. sor: | ||
: <math>\int\limits_{y=0}^2\int\limits_{x=0}^2x\;\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int\limits_{y=0}^2\left(\int\limits_{x=0}^2x\;\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}y=</math> | : <math>\int\limits_{y=0}^2\int\limits_{x=0}^2x\;\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int\limits_{y=0}^2\left(\int\limits_{x=0}^2x\;\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}y=</math> | ||
:<math>=\int\limits_{y=0}^2\left[\frac{x^2}{2}\right]_{x=0}^{2} \;\mathrm{d}y=\int\limits_{y=0}^22\;\mathrm{d}y=[2y]_{y=0}^{2}=4</math> | :<math>=\int\limits_{y=0}^2\left[\frac{x^2}{2}\right]_{x=0}^{2} \;\mathrm{d}y=\int\limits_{y=0}^22\;\mathrm{d}y=[2y]_{y=0}^{2}=4</math> | ||
+ | ==Tartományi szélsőérték, téglán integrálás== | ||
+ | '''1.''' | ||
+ | :<math>f(x,y)=xy\,</math> | ||
+ | :''T'' = [0,1]×[0,1] | ||
+ | '''2.''' | ||
+ | :<math>f(x,y)=x\sin(x^2)y\,</math> | ||
+ | :''T'' = [0,1]×[0,1] | ||
+ | ''Mo.'' | ||
+ | :<math>f'_x(x,y)=y(\sin(x^2)+2x^2\cos(x^2))=0</math> | ||
+ | :<math>f'_y(x,y)=x\sin(x^2)=0</math> | ||
+ | '''3.''' | ||
+ | :<math>f(x,y)=x^7+sin(y)\cos^3(y)\,</math> | ||
+ | :''T'' = [0,1]×[0,1] | ||
+ | |||
+ | '''4.''' | ||
+ | :T = [1,e] × [1,2] | ||
+ | :<math>f(x,y)=\frac{\mathrm{ln}^9\,x}{xy}</math> | ||
+ | |||
+ | '''5.''' | ||
+ | :T = [-1,1] × [0,π/4] | ||
+ | :<math>f(x,y)=\sin(x^3)\frac{1}{\cos^2 y}</math> | ||
+ | |||
+ | '''6.''' | ||
+ | :T = [-1,1] × [0,1] | ||
+ | :<math>f(x,y)=\sin(x^3)\frac{\sin^{2009}(\mathrm{sh}(y))}{\mathrm{ln}\,y}</math> | ||
+ | |||
+ | '''7.''' | ||
+ | :T = [a,b] × [c,d] | ||
+ | :<math>f(x,y)=g(x)h(y)</math> | ||
+ | ''téglalapon'' szeparálható integrandus integrálja szorzattá esik szét: | ||
+ | |||
+ | :<math>\int\limits_{x=0}^b\int\limits_{y=c}^{d}g(x)h(y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\int\limits_{x=a}^b g(x)\left(\int\limits_{y=c}^{d} h(y)\,\mathrm{d}y\right)\,\mathrm{d}x=\left(\int\limits_{x=a}^b g(x)\,\mathrm{d}x\right)\cdot\left(\int\limits_{y=c}^{d} h(y)\,\mathrm{d}y\right)</math> | ||
+ | |||
+ | '''8.''' | ||
+ | :<math>T=\{(x,y)\mid 0\leq x\leq 1\;\wedge\;0\leq y\leq x^2\}</math> | ||
+ | :<math>f(x,y)=x^3\cos(xy)\,</math> | ||
+ | |||
+ | :<math>\int\limits_{x=0}^1\int\limits_{y=0}^{x^2}x^3\cos(xy)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\int\limits_{x=0}^1\left(\int\limits_{y=0}^{x^2}x^3\cos(xy)\,\mathrm{d}y\right)\,\mathrm{d}x=*</math> | ||
+ | :::<math>F(x)=\int\limits_{y=0}^{x^2}x^3\cos(xy)\,\mathrm{d}y=\left[x^3\frac{\sin(xy)}{x}\right]_{y=0}^{y=x^2}=</math> | ||
+ | :::<math>=x^2\sin(x^3)\,</math> | ||
+ | :<math>*=\int\limits_{x=0}^1 x^2\sin(x^3)\,\mathrm{d}x=\frac{1}{3}\int\limits_{x=0}^1 3x^2\sin(x^3)\,\mathrm{d}x=</math> | ||
+ | :<math>=\frac{1}{3}[-\cos(x^3)]_0^1=\frac{1}{3}-\frac{\cos(1)}{3}\,</math> | ||
+ | |||
==Többváltozós függvény Riemann-integrálja== | ==Többváltozós függvény Riemann-integrálja== | ||
40. sor: | 84. sor: | ||
Egy ''f'', az T-n értelmezett és '''R'''-be képező függvény egy η felosztáshoz tartozó '''Riemann-közelítő összegén''' a | Egy ''f'', az T-n értelmezett és '''R'''-be képező függvény egy η felosztáshoz tartozó '''Riemann-közelítő összegén''' a | ||
− | :<math>\sigma_f(\eta)=\sum\limits_{I\in\mathrm{Dom}(\eta)}f(\eta(I)\cdot|I| | + | :<math>\sigma_f(\eta)=\sum\limits_{I\in\mathrm{Dom}(\eta)}f(\eta(I))\cdot|I|</math> |
Ekkor már definiálhatjuk az Riemann-integrálhatóságot: | Ekkor már definiálhatjuk az Riemann-integrálhatóságot: | ||
85. sor: | 129. sor: | ||
# <math>f\in \mathrm{R}(T)\;\Leftarrow\;f\in \mathrm{C}(T)</math> | # <math>f\in \mathrm{R}(T)\;\Leftarrow\;f\in \mathrm{C}(T)</math> | ||
#: (Cauchy) világos: ha folytonos, akkor nincs szakadási pontja, és korlátos a Weierstrass-tétel miatt | #: (Cauchy) világos: ha folytonos, akkor nincs szakadási pontja, és korlátos a Weierstrass-tétel miatt | ||
− | # <math>f\ | + | |
− | === | + | ===Kétváltozós függvény integráljának kiszámítása=== |
+ | Ha ''f'':[a,b]×[c,d]<math> \to</math> '''R''' intergálható, akkor | ||
+ | # minden ''x''-re a <math>F(x)=\int\limits_{y=c}^d f(x,y)\,\mathrm{d}y,\,\quad x\in[a,b]</math> függvény is integrálható és | ||
+ | # <math>\int\limits_{x=a}^b \left(\;\int\limits_{y=c}^d f(x,y)\,\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}x=\int\limits_{[a,b]\times [c,d]} f</math> | ||
+ | |||
+ | Ugyanis, ha ekkor ''f'' korlátos, és L.-0-mértékű a szakadásainak halmaza. Emiatt az f(x,.) függvények is ilyenek, melyek integrálja folytonos a [c,d] intervallumon, amiből korlátos is, tehát integrálható. | ||
+ | |||
+ | Másrészt, | ||
+ | |||
+ | |||
+ | === Paraméteres integrál integrálhatóságának kritériuma=== | ||
Legyen f:[a,b]×[c,d]<math> \to</math> '''R''' folytonos. Ekkor az | Legyen f:[a,b]×[c,d]<math> \to</math> '''R''' folytonos. Ekkor az | ||
105. sor: | 159. sor: | ||
:<math>\int\limits_{[a,b]\times[c,d]}f=\int\limits_{x=a}^b\left(\int\limits_{y=c}^d f(x,y)\;\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}x=</math> | :<math>\int\limits_{[a,b]\times[c,d]}f=\int\limits_{x=a}^b\left(\int\limits_{y=c}^d f(x,y)\;\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}x=</math> | ||
::<math>=\int\limits_{x=a}^b\int\limits_{y=c}^d f(x,y)\;\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x=\int\limits_{y=c}^d\left(\int\limits_{x=a}^b f(x,y)\;\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}y</math> | ::<math>=\int\limits_{x=a}^b\int\limits_{y=c}^d f(x,y)\;\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x=\int\limits_{y=c}^d\left(\int\limits_{x=a}^b f(x,y)\;\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}y</math> | ||
− | |||
− | |||
− | ''' | + | '''Tétel.''' Ha f:[a,b]×[c,d]<math> \to</math> '''R''' integrálható, minden ''y'' ∈ [c,d]-re <math>x\mapsto f(x,y)</math> is integrálható és <math>F:y\mapsto \int\limits_{x=a}^b f(x,y)</math> is integrálható, akkor <math>\int f=\int\limits_{c}^d F</math>. |
− | : | + | |
− | + | Bizonyítás. Legyen ε>0. Legyen ''A'' olyan, hogy | |
+ | :<math>\int\limits_{c}^d F=A</math> | ||
+ | Ekkor ε/2-höz létezik olyan δ>0, hogy [c,d]-nek minden δ-nál finomabb <math>\eta_J</math> Riemann-felosztására: | ||
+ | :<math>\left|\sum\limits_{J}F(\eta_J)|J|-A\right|<\dfrac{\varepsilon}{2}</math> | ||
+ | De ekkor létezik a ε/2(d-c)-hez és minden J-re olyan δ'>0, hogy [a,b]-nek minden δ'-nál finomabb <math>\xi_I</math> Riemann-felosztására: | ||
+ | :<math>\left|\sum\limits_{I}f(\xi_I,\eta:_J)|I|-F(\eta_J)\right|<\dfrac{\varepsilon}{2(d-c)}</math> | ||
+ | Viszont ekkor | ||
+ | :<math>\left|\sum\limits_{I}\sum\limits_{J}f(\xi_I,\eta_J)|J||I|-\sum\limits_{J}F(\eta_J)|J|+\sum\limits_{J}F(\eta_J)|J|-A\right|=\left|\sum\limits_{J}(\sum\limits_{I}f(\xi_I,\eta_J)|I|-F(\eta_J))|J|+\sum\limits_{J}F(\eta_J)|J|-A\right|</math> | ||
+ | |||
+ | ==Feladatok== | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
<center> | <center> | ||
{| class="wikitable" style="text-align:center" | {| class="wikitable" style="text-align:center" |
A lap jelenlegi, 2017. március 13., 01:17-kori változata
- Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.
Tartalomjegyzék |
Példa téglán történő inegrálásra
Ha f(x,y) = x és a [0,2]×[0,2]-n integráljuk, akkor először az y szerinti integrált elvégezve (eközben x állandónak minősül), majd a határozott integrált kiszámolva az x szerintit integrálva:
Hangsúlyozzuk, hogy itt két esetben a Newton-Leibniz-formulát használtuk a határozott integrál kiszámítására:
ahol F az f primitív függvénye (vagy határozatlan integrálja). Az eslő esetben az y változó szerepeltetése az integrál kiszámítását követően indokolatlanná vált, de az x megmaradt, amit tovább kellet integrálni az x változóra vonatkozóan. Fordított esetben szintén 4-et kapunk:
Tartományi szélsőérték, téglán integrálás
1.
- T = [0,1]×[0,1]
2.
- T = [0,1]×[0,1]
Mo.
- f'x(x,y) = y(sin(x2) + 2x2cos(x2)) = 0
- f'y(x,y) = xsin(x2) = 0
3.
- T = [0,1]×[0,1]
4.
- T = [1,e] × [1,2]
5.
- T = [-1,1] × [0,π/4]
6.
- T = [-1,1] × [0,1]
7.
- T = [a,b] × [c,d]
- f(x,y) = g(x)h(y)
téglalapon szeparálható integrandus integrálja szorzattá esik szét:
8.
Többváltozós függvény Riemann-integrálja
A T= J1× J2 korlátos és zárt téglalap egy Riemann-felosztásán nem mást értünk mint egy olyan kiválasztófüggvényt, mely a T-t unióként előállító, egymásba nem nyúló tengelyekkel márhuzamos oldalú téglalapokból álló halmaz minden egyes eleméhez egy az adott elemben lévő elemet rendel, azaz egy olyan η függvényt, melyre:
- Dom(η) minden I eleme tengelyekkel párhuzamos oldalú zárt téglalap, melyek egymásba nem nyúlnak, uniójuk T
- minden I ∈ Dom(η) esetén .
A T összes Riemann-felosztásai halmazát RF(T) jelöli. Azon Riemann-felbontások halmazát, amelyekben az összes elem területe (oldalhosszainak szorzata) kisebb egy δ > 0 pozitív számnál, RFδ(T) jelöli, ezt a halmazt a T összes δ-nál finomabb Riemann-felosztásának nevezük.
Egy f, az T-n értelmezett és R-be képező függvény egy η felosztáshoz tartozó Riemann-közelítő összegén a
Ekkor már definiálhatjuk az Riemann-integrálhatóságot:
Definíció. Legyen f:T Regy zárt és korlátos téglán értelmezett függvény. Azt mondjuk, hogy f Riemann-integrálható és integrálja az A valós szám, ha
Belátható, hogy ha f integrálható, akkor A egyértelmű és ekkor ennek a számnak a jelölésére az
- , vagy az
szimbólum szolgál.
A T téglalapon Riemann-integrálható függvények halmazát R(T) jelöli.
Az integrál lényegében a függvény grafikonja alatti térfogat. Integrálható függvény esetén létezik ez a térfogat, azaz a Riemann-felosztást egyre finomabbra véve, a Riemann-közelítő összeg minden előre megadott legnagyobb ε eltérésnél közelebb kerül A-hoz.
Világos, hogy ha egy függvény integrálható, akkor minden résztégláján is integrálható (hisz ekkor azokat a felosztásokat kell venni, amik a részintervallumon belül is felosztások, és persze ezek szerint is képezve a határátmenetet, létező határértéket kapunk).
Egy kompakt K halmazon értelmezett f függvény integrálja nem más, mint tetszőleges a K-t tartalmazó T tégla esetén az
függvény integrálja T-n, ha ez létezik.
A Riemann-inregrálhatóság szükséges és elégséges feltétele
Bár a Riemann-integrálhatóság általában könnyen kezelhető fogalom, a következő tétel bizonyításához azonban a klasszikus analízis szinte összes eszközét be kell vetni. Nem csoda, hogy csak 1905-ben fogalmazhatta meg Lebesgue, egy tágabb perspektívából szemlélve a Riemann-integrált.
Tétel. Legyen f: T R korlátos és zárt téglán értelmezett függvény. f pontosan akkor Riemann-integrálható, ha korlátos, és szakadási helyeinek halmaza Lebesgue-nullmértékű halmaz, azaz
Itt Lebesgue-nullmértékűnek nevezünk egy H ⊆ RN halmazt, ha minden ε > 0-hoz létezik olyan (In) téglasorozat, hogy ennek össztérfogata < ε és lefedi H-t.
Biztos nem nullmértékű például egy nemelfajuló intervallum, mert annak a mértéke az intervallum nemnulla hossza. De véges halmaz nullmértékű, mert lefedhető, egy határértékben eltűnő intervallumsorozat-rendszerrel. Belátható, hogy megszámlálható pont nullmértékű halmazt alkot. Konkrétan, könyen belátható, hogy az 1/n pontjai nullmértékű halmazt alkotnak.
Világos, hogy a Dirichlet-függvényes példa azért jó ellenpélda, mert ez a függvény [0,1]-en mindenhol szakad, azaz discon(Dir)=[0,1], melynek a mértéke 1.
Példa. Felvetődik a kérdés: van-e konitinuum sok helyen szakadó, Riemann-integrálható függvény. A válasz igenlő. (Lásd: az ördög lépcsője függvényt)
A Riemann-integrálhatóság néhány kritériuma
Részletezünk néhány hasznos esetet a fenti tételből.
-
- csak korlátos függvények R-intgrálhatóak
-
- (Cauchy) világos: ha folytonos, akkor nincs szakadási pontja, és korlátos a Weierstrass-tétel miatt
Kétváltozós függvény integráljának kiszámítása
Ha f:[a,b]×[c,d] R intergálható, akkor
- minden x-re a függvény is integrálható és
Ugyanis, ha ekkor f korlátos, és L.-0-mértékű a szakadásainak halmaza. Emiatt az f(x,.) függvények is ilyenek, melyek integrálja folytonos a [c,d] intervallumon, amiből korlátos is, tehát integrálható.
Másrészt,
Paraméteres integrál integrálhatóságának kritériuma
Legyen f:[a,b]×[c,d] R folytonos. Ekkor az
létezik mert az integrandusa folytonos. Mi több, maga is folytonos.
Ugyanis,
Legyen ε > 0 tetszőleges. Mivel f egyenletesen folytonos, ezért létezik δ>0, hogy ha |(x,y)-(x,y0)| < δ, akkor
Ekkor viszont
Tehát F(y) folytonos (egyenletesen) és így integrélható egyváltozós függvény, azaz létezik:
Ez alapot ad az integrál kiszámítására: az f(x,y) kétváltozós függvény intergálja tengelyekkel párhuzamos oldalú téglalap alakú tartományon nem függ az integrálás sorrendjétől. Ezesetben a "másik változót" mindig konstansnak vesszük:
Tétel. Ha f:[a,b]×[c,d] R integrálható, minden y ∈ [c,d]-re is integrálható és is integrálható, akkor .
Bizonyítás. Legyen ε>0. Legyen A olyan, hogy
Ekkor ε/2-höz létezik olyan δ>0, hogy [c,d]-nek minden δ-nál finomabb ηJ Riemann-felosztására:
De ekkor létezik a ε/2(d-c)-hez és minden J-re olyan δ'>0, hogy [a,b]-nek minden δ'-nál finomabb ξI Riemann-felosztására:
Viszont ekkor
Feladatok
8. gyakorlat | 10. gyakorlat |