A3 2009 gyak 1
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Rotációmentes vektormező, potenciál) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (\) |
||
(egy szerkesztő 5 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
33. sor: | 33. sor: | ||
:<math>\int\limits_{r_1}^{r_2}\mathrm{grad}\, \Phi\,\mathrm{d}r=\Phi(r_2)-\Phi(r_1)\,</math> | :<math>\int\limits_{r_1}^{r_2}\mathrm{grad}\, \Phi\,\mathrm{d}r=\Phi(r_2)-\Phi(r_1)\,</math> | ||
+ | '''Stokes-tétel''' Ha ''v'' egy folytonosan differenciálható vektormező és ''F'' olyan felület, mely peremével együtt a ''v'' értelmezési tartományában van, akkor | ||
+ | :<math>\int\limits_{\partial F} v\,\mathrm{d}r=\int\limits_{F}\,\mathrm{rot}\,v\,\mathrm{d}F</math> | ||
+ | (megj.: ha ''G'' egy ''egyszeresen összefüggő'' tartománybeli zárt görbe, akkor mindig létezik olyan ''F'' felület ezen belül, melynek pereme ''G''.) | ||
+ | |||
'''2.''' Integráljuk a | '''2.''' Integráljuk a | ||
:<math>v(x,y,z)=(2xy-z,x^2+z,y-x)\,</math> | :<math>v(x,y,z)=(2xy-z,x^2+z,y-x)\,</math> | ||
68. sor: | 72. sor: | ||
Ezzel a görbére a vonalintegrál: | Ezzel a görbére a vonalintegrál: | ||
:<math>\Phi(-3,0,2)-\Phi(3,0,2)=12</math> | :<math>\Phi(-3,0,2)-\Phi(3,0,2)=12</math> | ||
+ | |||
==Felületi integrál== | ==Felületi integrál== | ||
'''3.''' Határozzuk meg az | '''3.''' Határozzuk meg az | ||
− | :<math>r(u,v)=(\cos u\,\mathrm{ch}\,v,\cos u\mathrm{sh}\,v,3\sin u),\quad\quad (u,v)\in [0,4]\times [0,2]</math> | + | :<math>r(u,v)=(\cos u\,\mathrm{ch}\,v,\cos u\,\mathrm{sh}\,v,3\sin u),\quad\quad (u,v)\in [0,4]\times [0,2]</math> |
felület normálvektorát a (u,v)=(π,0)-hoz tartozó pontban! | felület normálvektorát a (u,v)=(π,0)-hoz tartozó pontban! | ||
77. sor: | 82. sor: | ||
:<math>x=\cos u\,\mathrm{ch}\,v</math> | :<math>x=\cos u\,\mathrm{ch}\,v</math> | ||
:<math>y=\cos u\mathrm{sh}\,v</math> | :<math>y=\cos u\mathrm{sh}\,v</math> | ||
− | :<math>z=3\sin u</math> | + | :<math>z=3\sin u\,</math> |
ezért | ezért | ||
:<math>x^2-y^2=\cos^2u(\mathrm{ch}^2\,v-\mathrm{sh}^2\,v)=\cos^2 u</math> | :<math>x^2-y^2=\cos^2u(\mathrm{ch}^2\,v-\mathrm{sh}^2\,v)=\cos^2 u</math> | ||
91. sor: | 96. sor: | ||
:<math>\frac{\partial r}{\partial v}=(\cos u\,\mathrm{sh}\,v,\cos u\,\mathrm{ch}\,v,0)\,</math> | :<math>\frac{\partial r}{\partial v}=(\cos u\,\mathrm{sh}\,v,\cos u\,\mathrm{ch}\,v,0)\,</math> | ||
Az adott pontban: | Az adott pontban: | ||
− | :<math>\frac{\partial r}{\partial v}=(0,0,-3)</math> | + | :<math>\frac{\partial r}{\partial v}=(0,0,-3),\quad \frac{\partial r}{\partial v}=(0,-1,0),\quad \frac{\partial r}{\partial v}\times\frac{\partial r}{\partial v}=(-3,0,0)</math> |
− | :<math>\frac{\partial r}{\partial | + | |
+ | '''4.''' Integráljuk a felső egységsugarú, origóközépponttú félgömbefelületre az | ||
+ | :<math>v(x,y,z)=(\frac{1}{x},\frac{x}{y^2},\frac{1}{z^3})</math> | ||
+ | vektormezőt! | ||
+ | |||
+ | ''Mo.'' Paraméterezzük gömbi koordinátákkal: ''r''(φ,θ)=(''x''(φ,θ),''y''(φ,θ),''z''(φ,θ)) | ||
+ | :<math>x=\cos\varphi\cos\vartheta</math> | ||
+ | :<math>y=\sin\varphi\cos\vartheta</math> | ||
+ | :<math>z=\sin\vartheta</math> | ||
+ | A koordinátavonal irányú vektorok: | ||
+ | :<math>\frac{\partial r}{\partial \varphi}=(-\sin\varphi\cos\vartheta,\cos\varphi\cos\vartheta,0)</math> | ||
+ | :<math>\frac{\partial r}{\partial \vartheta}=(-\cos\varphi\sin\vartheta,-\sin\varphi\sin\vartheta,\cos\vartheta)</math> | ||
+ | :<math>\frac{\partial r}{\partial \varphi}\times\frac{\partial r}{\partial \vartheta}=(\cos^2\vartheta\cos\varphi,\cos^2\vartheta\sin\varphi,\cos\vartheta\sin\vartheta)</math> | ||
+ | Az integrál: | ||
+ | :<math>\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\int\limits_{\vartheta=0}^{\pi/2}\frac{\cos^2\vartheta\cos\varphi}{\cos\varphi\cos\vartheta}+\frac{\cos^2\vartheta\sin\varphi\cos\varphi\cos\vartheta}{\sin^2\varphi\cos^2\vartheta}+\frac{\cos\vartheta\sin\vartheta}{\sin^3\vartheta}\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\vartheta=</math> | ||
+ | <math>=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\int\limits_{\vartheta=0}^{\pi/2}\cos^2\vartheta+\frac{\cos\varphi\cos \vartheta}{\sin\varphi}+\frac{\cos\vartheta}{\sin^2\vartheta}\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\vartheta=</math> | ||
+ | |||
+ | ==Gauss-tétel== | ||
+ | Ha '''v''' folytonosan differenciálható vektormező és ''V'' az értelmezési tartományába eső kompakt térrész, melynek határa a ∂''V'' felület, akkor | ||
+ | :<math>\int\limits_{\partial V} v\;\mathrm{d}F=\int\limits_{V}\,\mathrm{div}\,v\,\mathrm{d}V</math> | ||
+ | |||
+ | '''5.''' Számítsuk ki az | ||
+ | :<math>x^2+y^2=z</math> | ||
+ | felület z=1 és z=4 síkok közé eső darabjára a | ||
+ | :<math>v(x,y,z)=(3x-zx^2+\sin y,\mathrm{sh}\,z^2+5xy+2006y,xz^2-5xz+4x)\,</math> | ||
+ | vektormező felületmenti integrálját! | ||
+ | |||
+ | ''Mo.'' Vegyük észre, hogy a fedő és alaplapokon a vektormezőnek csak felületirányú komponense van, ezért ezeken a vektormező integrálja 0. A vektormező divergenciájának integrálja a térrészre tehát egyenlő lesz a palást felületi integráljával. | ||
+ | :<math>\mathrm{div}\,v(x,y,z)=(3-2zx)+(5x+2006)+(2xz-5x)=2009\,</math> | ||
+ | Beparaméterezve a forgástestet (áttérve hengerkoordinátákra) | ||
+ | :<math>r(\rho,\varphi,z)=\begin{bmatrix}\rho\cos\varphi\\\rho\sin\varphi\\z\end{bmatrix}</math> | ||
+ | és a tartomány: | ||
+ | :<math>T_{\rho,\varphi,z}=\{(\rho,\varphi,z)\mid 0\leq\varphi\leq 2\pi,\;1\leq z\leq 4\;0\leq\rho\leq \sqrt{z}\}</math> | ||
+ | hiszen | ||
+ | :<math>\rho=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{z}</math> | ||
+ | tudjuk, hogy a hengerkoordinátáknál: | ||
+ | :<math>\mathrm{det}\,\mathrm{J}(\varphi,\rho,z)=\rho</math> | ||
+ | ezért | ||
+ | <math>\int\limits_{T_{x,y,z}}\mathrm{div}\,v(x,y,z)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z=\int\limits_{T_{\rho,\varphi,z}}\rho\,\mathrm{div}\,v(x(\rho,\varphi,z),y(\rho,\varphi,z),z)\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}z=</math> | ||
+ | <math>=\int\limits_{z=1}^{4}\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\int\limits_{\rho=0}^{\sqrt{z}}2009\rho\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}z</math> |
A lap jelenlegi, 2009. október 28., 16:02-kori változata
Tartalomjegyzék |
Vonalintegrál
1. Integrálja a
vektormezőt az
görbe mentén!
Mo.
-
- itt
- és
ezért
Rotációmentes vektormező, potenciál
Tétel Ha v(r) egy egyszeresen összefüggő tartományon értelmezett differenciálható függvény, amire rot v ≡ 0, akkor minden zárt görbére a vonalintegrálja 0.
Tétel (Konzervatív vektormezők jellemzése) v(r) egy egyszeresen összefüggő tartományon értelmezett folytonosa differenciálható függvény. Ekkor a következő három kijelentés ekvivalens egymással:
- rot v ≡ 0 (örvénymentes)
- minden zárt görbére a vonalintegrálja 0 (konzervatív)
- létezik Φ(r) folytonosan differenciálható skalárfüggvény, hogy grad Φ ≡ v (potenciálos)
Tétel (Első gradiens tétel) Ha a v(r) egy egyszeresen összefüggő tartományon értelmezett folytonosan differenciálható függvény potenciálos és Φ a potenciálja, akkor
Stokes-tétel Ha v egy folytonosan differenciálható vektormező és F olyan felület, mely peremével együtt a v értelmezési tartományában van, akkor
(megj.: ha G egy egyszeresen összefüggő tartománybeli zárt görbe, akkor mindig létezik olyan F felület ezen belül, melynek pereme G.)
2. Integráljuk a
vektormezőt az
görbe mentén!
Mo. A vektormező rotációmentes:
A görbe azonban nem zárt, így nem használhatjuk közvetlenül a Stokes-tételt. Két megoldási módot választhatunk.
(1) Kiegészítjük egy egyszerű görbével zárttá. A két végpont:
ezeket paraméter szerint növekvő módon az
Köti össze. Ekkor r+r2 már zárt és
(2) Megmondjuk a vektormező potenciálfüggvényét; ezt is vonalintegrállal. Tudjuk, hogy a rot v ≡ 0 miatt létezik Φ, amivel grad Φ = v és
Ezért legyen
Legyen a kezdőpont (0,0,0), a görbe:
Ezzel
Ellenőrizzük!
Ezzel a görbére a vonalintegrál:
- Φ( − 3,0,2) − Φ(3,0,2) = 12
Felületi integrál
3. Határozzuk meg az
felület normálvektorát a (u,v)=(π,0)-hoz tartozó pontban!
Mo. (1) Felírhatjuk például a görbét implicit alakban. Mivel
ezért
- ill.
Ekkor az
gradiense a normálvektort adja:
azaz az adott pontban
(2) A felületi normálist a koordinátavonal irányú vektorok vektoriális szorzata is kiadja.
Az adott pontban:
4. Integráljuk a felső egységsugarú, origóközépponttú félgömbefelületre az
vektormezőt!
Mo. Paraméterezzük gömbi koordinátákkal: r(φ,θ)=(x(φ,θ),y(φ,θ),z(φ,θ))
A koordinátavonal irányú vektorok:
Az integrál:
Gauss-tétel
Ha v folytonosan differenciálható vektormező és V az értelmezési tartományába eső kompakt térrész, melynek határa a ∂V felület, akkor
5. Számítsuk ki az
- x2 + y2 = z
felület z=1 és z=4 síkok közé eső darabjára a
vektormező felületmenti integrálját!
Mo. Vegyük észre, hogy a fedő és alaplapokon a vektormezőnek csak felületirányú komponense van, ezért ezeken a vektormező integrálja 0. A vektormező divergenciájának integrálja a térrészre tehát egyenlő lesz a palást felületi integráljával.
Beparaméterezve a forgástestet (áttérve hengerkoordinátákra)
és a tartomány:
hiszen
tudjuk, hogy a hengerkoordinátáknál:
ezért