A3 2009 gyak 1

Vonalintegrál

$\int \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{t=t_1}^{t_2}\mathbf{v}(\mathbf{r}(t))\cdot \dot{\mathbf{r}}(t)\mathrm{d}t$

1. Integrálja a

$v(x,y,z)=(\mathrm{sh}(y^2\sqrt[3]{x})+\mathrm{ch}\,(x+y^3),z\,\mathrm{sh}\,(\cos y)+yz,z^5+y^2)$

vektormezőt az

$r(t)=(t^3,t,\sin t),\quad\quad t\in[0,2\pi]$

görbe mentén!

Mo.

$r(t)=(3t^2,1,\cos t)\,$

$\int v \mathrm{d}r=$

$=\int \limits_0^{2\pi} 3t^2\mathrm{sh}(t^3)+3t^2\mathrm{ch}\,(2t^3)+\sin t\mathrm{sh}\,(\cos t)+t\sin t +\cos t \sin^5t+t^2\cos t\;\mathrm{d}t=$

$=\int \limits_0^{2\pi} 3t^2\mathrm{sh}(t^3)+\frac{1}{2}6t^2\mathrm{ch}\,(2t^3)-(-\sin t)\,\mathrm{sh}\,(\cos t)+t\sin t +\cos t \sin^5t+t^2\cos t\;\mathrm{d}t=$

itt $\int t\sin t\,\mathrm{d}t=t\cos t-\int \cos t\,\mathrm{d}t=t\cos t-\sin t$

és $\int t^2\cos t\,\mathrm{d}t=-t^2\sin t+\int 2t\sin t\mathrm{d}t=$

$=-t^2\sin t+2t\cos t-2\int \cos t\mathrm{d}t=-t^2\sin t+2t\cos t-2\sin t$

ezért

$=[\mathrm{ch}(t^3)]_0^{2\pi}+\frac{1}{2}[\mathrm{sh}\,(2t^3)]_0^{2\pi}-[\mathrm{ch}\,(\cos t)]_0^{2\pi}+$

$+[t\cos t-\sin t]_0^{2\pi} +\frac{1}{6}[\sin^6t]_0^{2\pi}+[-t^2\sin t+2t\cos t-2\sin t]_0^{2\pi}=$

$=\mathrm{ch}((2\pi)^3)-1+\frac{1}{2}\mathrm{sh}(2(2\pi)^3)=\mathrm{ch}(8\pi^3)-1+\frac{1}{2}\mathrm{sh}(16\pi^3)$

Rotációmentes vektormező, potenciál

Tétel Ha v(r) egy egyszeresen összefüggő tartományon értelmezett differenciálható függvény, amire rot v ≡ 0, akkor minden zárt görbére a vonalintegrálja 0.

Tétel (Konzervatív vektormezők jellemzése) v(r) egy egyszeresen összefüggő tartományon értelmezett folytonosa differenciálható függvény. Ekkor a következő három kijelentés ekvivalens egymással:

1. rot v ≡ 0 (örvénymentes)
2. minden zárt görbére a vonalintegrálja 0 (konzervatív)
3. létezik Φ(r) folytonosan differenciálható skalárfüggvény, hogy grad Φ ≡ v (potenciálos)

Tétel (Első gradiens tétel) Ha a v(r) egy egyszeresen összefüggő tartományon értelmezett folytonosan differenciálható függvény potenciálos és Φ a potenciálja, akkor

$\int\limits_{r_1}^{r_2}\mathrm{grad}\, \Phi\,\mathrm{d}r=\Phi(r_2)-\Phi(r_1)\,$

Stokes-tétel Ha v egy folytonosan differenciálható vektormező és F olyan felület, mely peremével együtt a v értelmezési tartományában van, akkor

$\int\limits_{\partial F} v\,\mathrm{d}r=\int\limits_{F}\,\mathrm{rot}\,v\,\mathrm{d}F$

(megj.: ha G egy egyszeresen összefüggő tartománybeli zárt görbe, akkor mindig létezik olyan F felület ezen belül, melynek pereme G.)

2. Integráljuk a

$v(x,y,z)=(2xy-z,x^2+z,y-x)\,$

vektormezőt az

$r(t)=(3\cos t,4\sin t,2)\quad\quad 0\leq t\leq \pi$

görbe mentén!

Mo. A vektormező rotációmentes:

$\mathrm{rot}\, v=\begin{vmatrix}i & j & k\\ \partial_x & \partial_y &\partial_z \\ 2xy-z & x^2+z & y-x\end{vmatrix}=i(1-1)-j(-1-(-1))+k(2x-2x)\equiv 0$

A görbe azonban nem zárt, így nem használhatjuk közvetlenül a Stokes-tételt. Két megoldási módot választhatunk.

(1) Kiegészítjük egy egyszerű görbével zárttá. A két végpont:

$r(0)=(3,0,2)\,$

$r(\pi)=(-3,0,2)\,$

ezeket paraméter szerint növekvő módon az

$r_2(u)=(-3+u,0,2),\quad\quad 0\leq u\leq 6,\quad\quad \dot{r_2}(u)=(1,0,0)$

Köti össze. Ekkor r+r₂ már zárt és

$\int v\,\mathrm{d}r=0-\int v\mathrm{d}r_2\,$

$\int v\mathrm{d}r_2=\int\limits_{u=0}^{6}-2\,\mathrm{d}u=-12\,$

$\int v\,\mathrm{d}r=12$

(2) Megmondjuk a vektormező potenciálfüggvényét; ezt is vonalintegrállal. Tudjuk, hogy a rot v ≡ 0 miatt létezik Φ, amivel grad Φ = v és

$\int\limits_{r_1}^{r_2}\mathrm{grad}\, \Phi\,\mathrm{d}r=\Phi(r_2)-\Phi(r_1)\,$

Ezért legyen

$\Phi(r):=\int\limits_{0}^{r}\mathrm{grad}\, \Phi\,\mathrm{d}r=\int\limits_{0}^{r}v\,\mathrm{d}r$

$v(x,y,z)=(2xy-z,x^2+z,y-x)\,$

Legyen a kezdőpont (0,0,0), a görbe:

$s(t)=(x_0t,y_0t,z_0t),\quad\quad 0\leq t\leq 1,\quad\quad \dot{s}(t)=(x_0,y_0,z_0)$

Ezzel

$\int\limits_{0}^{(x_0,y_0,z_0)}v\,\mathrm{d}r=\int\limits_{t=0}^{1} 2x_0(x_0ty_0t)-x_0z_0t+y_0(x_0t)^2+y_0z_0t+z_0y_0t-x_0z_0 t\;\mathrm{d}t=$

$=\int\limits_{t=0}^{1} 2x_0^2y_0t^2-x_0z_0t+y_0x_0^2t^2+y_0z_0t+z_0y_0t-x_0z_0t\;\mathrm{d}t=$

$=\frac{2}{3}x_0^2y_0-\frac{1}{2}x_0z_0+\frac{1}{3}y_0x_0^2+\frac{1}{2}y_0z_0+\frac{1}{2}z_0y_0-\frac{1}{2}z_0x_0=x_0^2y_0+y_0z_0-x_0z_0$

Ellenőrizzük!

$\frac{\partial\Phi}{\partial x}=2xy+z,\quad\quad\frac{\partial\Phi}{\partial y}=x^2+z,\quad\quad\frac{\partial\Phi}{\partial z}=y-x$

Ezzel a görbére a vonalintegrál:

Φ( − 3,0,2) − Φ(3,0,2) = 12

Felületi integrál

3. Határozzuk meg az

$r(u,v)=(\cos u\,\mathrm{ch}\,v,\cos u\,\mathrm{sh}\,v,3\sin u),\quad\quad (u,v)\in [0,4]\times [0,2]$

felület normálvektorát a (u,v)=(π,0)-hoz tartozó pontban!

Mo. (1) Felírhatjuk például a görbét implicit alakban. Mivel

$x=\cos u\,\mathrm{ch}\,v$

$y=\cos u\mathrm{sh}\,v$

$z=3\sin u\,$

ezért

$x^2-y^2=\cos^2u(\mathrm{ch}^2\,v-\mathrm{sh}^2\,v)=\cos^2 u$

$x^2-y^2+\frac{1}{9}z^2=1$ ill. $x^2-y^2+\frac{1}{9}z^2-1=0$

Ekkor az

$F(x,y,z)=x^2-y^2+\frac{1}{9}z^2-1\,$

gradiense a normálvektort adja:

$n(x,y,z)=\mathrm{grad}\,F=(2x,-2y,\frac{2}{9}z)\,$

azaz az adott pontban

$n(x(u,v),y(u,v),z(u,v))=(-2,0,0)\,$

(2) A felületi normálist a koordinátavonal irányú vektorok vektoriális szorzata is kiadja.

$\frac{\partial r}{\partial u}=(-\sin u\,\mathrm{ch}\,v,-\sin u\,\mathrm{sh}\,v,3\cos u)\,$

$\frac{\partial r}{\partial v}=(\cos u\,\mathrm{sh}\,v,\cos u\,\mathrm{ch}\,v,0)\,$

Az adott pontban:

$\frac{\partial r}{\partial v}=(0,0,-3),\quad \frac{\partial r}{\partial v}=(0,-1,0),\quad \frac{\partial r}{\partial v}\times\frac{\partial r}{\partial v}=(-3,0,0)$

4. Integráljuk a felső egységsugarú, origóközépponttú félgömbefelületre az

$v(x,y,z)=(\frac{1}{x},\frac{x}{y^2},\frac{1}{z^3})$

vektormezőt!

Mo. Paraméterezzük gömbi koordinátákkal: r(φ,θ)=(x(φ,θ),y(φ,θ),z(φ,θ))

$x=\cos\varphi\cos\vartheta$

$y=\sin\varphi\cos\vartheta$

$z=\sin\vartheta$

A koordinátavonal irányú vektorok:

$\frac{\partial r}{\partial \varphi}=(-\sin\varphi\cos\vartheta,\cos\varphi\cos\vartheta,0)$

$\frac{\partial r}{\partial \vartheta}=(-\cos\varphi\sin\vartheta,-\sin\varphi\sin\vartheta,\cos\vartheta)$

$\frac{\partial r}{\partial \varphi}\times\frac{\partial r}{\partial \vartheta}=(\cos^2\vartheta\cos\varphi,\cos^2\vartheta\sin\varphi,\cos\vartheta\sin\vartheta)$

Az integrál:

$\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\int\limits_{\vartheta=0}^{\pi/2}\frac{\cos^2\vartheta\cos\varphi}{\cos\varphi\cos\vartheta}+\frac{\cos^2\vartheta\sin\varphi\cos\varphi\cos\vartheta}{\sin^2\varphi\cos^2\vartheta}+\frac{\cos\vartheta\sin\vartheta}{\sin^3\vartheta}\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\vartheta=$

$=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\int\limits_{\vartheta=0}^{\pi/2}\cos^2\vartheta+\frac{\cos\varphi\cos \vartheta}{\sin\varphi}+\frac{\cos\vartheta}{\sin^2\vartheta}\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\vartheta=$

Gauss-tétel

Ha v folytonosan differenciálható vektormező és V az értelmezési tartományába eső kompakt térrész, melynek határa a ∂V felület, akkor

$\int\limits_{\partial V} v\;\mathrm{d}F=\int\limits_{V}\,\mathrm{div}\,v\,\mathrm{d}V$

5. Számítsuk ki az

x² + y² = z

felület z=1 és z=4 síkok közé eső darabjára a

$v(x,y,z)=(3x-zx^2+\sin y,\mathrm{sh}\,z^2+5xy+2006y,xz^2-5xz+4x)\,$

vektormező felületmenti integrálját!

Mo. Vegyük észre, hogy a fedő és alaplapokon a vektormezőnek csak felületirányú komponense van, ezért ezeken a vektormező integrálja 0. A vektormező divergenciájának integrálja a térrészre tehát egyenlő lesz a palást felületi integráljával.

$\mathrm{div}\,v(x,y,z)=(3-2zx)+(5x+2006)+(2xz-5x)=2009\,$

Beparaméterezve a forgástestet (áttérve hengerkoordinátákra)

$r(\rho,\varphi,z)=\begin{bmatrix}\rho\cos\varphi\\\rho\sin\varphi\\z\end{bmatrix}$

és a tartomány:

$T_{\rho,\varphi,z}=\{(\rho,\varphi,z)\mid 0\leq\varphi\leq 2\pi,\;1\leq z\leq 4\;0\leq\rho\leq \sqrt{z}\}$

hiszen

$\rho=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{z}$

tudjuk, hogy a hengerkoordinátáknál:

$\mathrm{det}\,\mathrm{J}(\varphi,\rho,z)=\rho$

ezért $\int\limits_{T_{x,y,z}}\mathrm{div}\,v(x,y,z)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z=\int\limits_{T_{\rho,\varphi,z}}\rho\,\mathrm{div}\,v(x(\rho,\varphi,z),y(\rho,\varphi,z),z)\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}z=$ $=\int\limits_{z=1}^{4}\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\int\limits_{\rho=0}^{\sqrt{z}}2009\rho\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}z$