Matematika A3a 2009/7. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Komplex integrál) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Egész kitevőjű hatványsor) |
||
(egy szerkesztő 29 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
1. sor: | 1. sor: | ||
==Komplex integrál== | ==Komplex integrál== | ||
+ | |||
+ | A komplex integrálás egy bizonyos pontig szoros párhuzamot mutat az '''R'''<sup>2</sup>-re vonatkozó integráltételekkel. Azonban Goursat eredményét figyelembe véve kiderül, hogy a nyílt halmazon értelmezett komplex differenciálható függvények egyetéen differenciálhatósági osztályt alkotnak (a valósokkal szemben), éspedig az analitikust, amit ezesetben regulárisnak neveznek. | ||
Definíció szerint, ha ''f'': ''D'' <math> \to</math> '''C''' egy nyílt tartományon értelmezett függvény és Γ:[''a'',''b''] <math> \to</math> '''C''' folytonosan differenciálható görbe, akkor a ''f'' integrálja a Γ mentén: | Definíció szerint, ha ''f'': ''D'' <math> \to</math> '''C''' egy nyílt tartományon értelmezett függvény és Γ:[''a'',''b''] <math> \to</math> '''C''' folytonosan differenciálható görbe, akkor a ''f'' integrálja a Γ mentén: | ||
11. sor: | 13. sor: | ||
Persze itt olyan fogalmakkal dolgozunk, amelyeket nyugodtan átfogalmazhatunk egy vonalintegrál párrá, a következőképpen. Tekintsük az ''f'' = ''u'' + ''v'' i függvényt és a dz = dx + i dy szimbólumot. Ekkort fdz komplex formális szorzát elvégezve kapjuk, hogy: | Persze itt olyan fogalmakkal dolgozunk, amelyeket nyugodtan átfogalmazhatunk egy vonalintegrál párrá, a következőképpen. Tekintsük az ''f'' = ''u'' + ''v'' i függvényt és a dz = dx + i dy szimbólumot. Ekkort fdz komplex formális szorzát elvégezve kapjuk, hogy: | ||
− | :<math>\int\limits_{\Gamma}f(z)\mathrm{d}z = \int\limits_{\Gamma} u\mathrm{d}x-v\mathrm{d }y + i\int\limits_{\Gamma} u\mathrm{d}y+v\mathrm{d }x</math> | + | :<math>\int\limits_{\Gamma}f(z)\mathrm{d}z = \int\limits_{\Gamma} u\,\mathrm{d}x-v\,\mathrm{d }y + i\int\limits_{\Gamma} u\,\mathrm{d}y+v\,\mathrm{d }x=</math> |
+ | :<math>=\int\limits_{\Gamma}(u,-v)\,\mathrm{d}r+i\int\limits_{\Gamma}(v,u)\,\mathrm{d}r</math> | ||
+ | |||
+ | ===Integrál kiszámítása paraméteresen=== | ||
A vonalintegál kiszámítására vonatkozó formula komplex változata az lesz, hogy: | A vonalintegál kiszámítására vonatkozó formula komplex változata az lesz, hogy: | ||
17. sor: | 22. sor: | ||
:<math>\int\limits_{\Gamma}f(z)\mathrm{d}z=\int\limits_{t=a}^{b}f(z(t))\cdot z'(t)\,\mathrm{d}t</math> | :<math>\int\limits_{\Gamma}f(z)\mathrm{d}z=\int\limits_{t=a}^{b}f(z(t))\cdot z'(t)\,\mathrm{d}t</math> | ||
− | Itt z(t)=Γ(t). De így ritkán számolunk komplex integrált. | + | Itt z(t)=Γ(t). '''De így ritkán számolunk komplex integrált.''' |
− | ''' | + | '''1. Feladat.''' r>0 |
+ | :a) <math>\int\limits_{|z|=1,\;\mathrm{Re}(z)\geq 0}3z^2\;\mathrm{d}z=?</math> | ||
+ | :b) <math>\int\limits_{|z|=r}\frac{1}{z}\,\mathrm{d}z=?</math> | ||
+ | ''Mo.'' | ||
:<math>\int\limits_{|z|=1,\;\mathrm{Re}(z)\geq 0}3z^2\;\mathrm{d}z=\int\limits_{t=0}^{\pi}3e^{2it}ie^{it}\,\mathrm{d}t=</math> | :<math>\int\limits_{|z|=1,\;\mathrm{Re}(z)\geq 0}3z^2\;\mathrm{d}z=\int\limits_{t=0}^{\pi}3e^{2it}ie^{it}\,\mathrm{d}t=</math> | ||
hiszen a paraméterezés z(t)=e<sup>it</sup>, t ∈ [0,π]. Egy vektorértékű valós változós függvényt komponensenként integrálunk: | hiszen a paraméterezés z(t)=e<sup>it</sup>, t ∈ [0,π]. Egy vektorértékű valós változós függvényt komponensenként integrálunk: | ||
:<math>=\int\limits_{t=0}^{\pi}3ie^{3it}\,\mathrm{d}t=\int\limits_{t=0}^{\pi}3i(\cos(3t)+i\sin(3t))\,\mathrm{d}t=</math> | :<math>=\int\limits_{t=0}^{\pi}3ie^{3it}\,\mathrm{d}t=\int\limits_{t=0}^{\pi}3i(\cos(3t)+i\sin(3t))\,\mathrm{d}t=</math> | ||
:<math>=3i\int\limits_{t=0}^{\pi}\cos(3t)\,\mathrm{d}t-3\int\limits_{t=0}^{\pi}\sin(3t)\,\mathrm{d}t=\cos(3\pi)-\cos(0)=-2</math> | :<math>=3i\int\limits_{t=0}^{\pi}\cos(3t)\,\mathrm{d}t-3\int\limits_{t=0}^{\pi}\sin(3t)\,\mathrm{d}t=\cos(3\pi)-\cos(0)=-2</math> | ||
− | + | 2. ''Mo.'' Szerencsére a komplex analízisben van is van Newton--Leibniz formula: | |
:<math>F(z)=z^3,\quad F(-1)-F(1)=-1-1=-2</math> | :<math>F(z)=z^3,\quad F(-1)-F(1)=-1-1=-2</math> | ||
− | '''Tétel (Newton--Leibniz | + | b) |
+ | :<math>\int\limits_{|z|=r}\frac{1}{z}\,\mathrm{d}z=\int\limits_{t=0}^{2\pi}\frac{1}{re^{it}}ire^{it}\,\mathrm{d}t=i\int\limits_{t=0}^{2\pi}\,\mathrm{d}t=2\pi i</math> | ||
+ | |||
+ | ===Newton--Leibniz-tétel=== | ||
+ | '''R'''<sup>2</sup> vektorfüggvényeinek integrálása könnyen elvégezhető, ha feltesszük hogy az integrandusnak van potenciálja. Ekkor az első gradiens tételre kell hivatkoznunk. Komplex esetben ez az összefüggés a valós N--L-formula alakját ölti. | ||
+ | |||
+ | '''Tétel''' (''Newton--Leibniz'') Ha ''f'': ''D'' <math> \to</math> '''C''' folytonos a ''D'' nyílt halmazon és létezik primitív függvénye, akkor minden a ''D''-ben haladó Γ[a,b] <math>\to</math> '''C''' görére: | ||
:<math>\int\limits_{\Gamma}f(z)\mathrm{d}z=F(z(b))-F(z(a))</math> | :<math>\int\limits_{\Gamma}f(z)\mathrm{d}z=F(z(b))-F(z(a))</math> | ||
ahol Γ kezdő és végpontja z(a) és z(b). | ahol Γ kezdő és végpontja z(a) és z(b). | ||
− | ''' | + | '''2. Feladat.''' Igazoljuk a N--L-tételt!. |
+ | |||
+ | ''Mo.'' Tegyük fel, hogy F'=f és legyen F = (Φ,Ψ), f=(u,v). Ekkor F deriváltja azonosítható a (Φ,Ψ) vektorfüggvény Jacobi-mátrixával, ami a feltevés szerint folytonos és egyenlő f=(u,v) mátrixalakjával. | ||
+ | :<math>\mathrm{J}^{\Phi \choose \Psi}=\begin{bmatrix}u & -v \\ v & u\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\mathrm{grad}\;\Phi \\ \mathrm{grad}\,\Psi\end{bmatrix}</math> | ||
+ | Mindkét komponensre felírhatjuk tehát az első gadiens tételt, és kapjuk: | ||
+ | <math>\int\limits_{\Gamma}f(z)\mathrm{d}z=\int\limits_{\Gamma}(u,-v)\,\mathrm{d}r+i\int\limits_{\Gamma}(v,u)\mathrm{d}r=</math> | ||
+ | :<math>=\int\limits_{\Gamma}\mathrm{grad}\,\Phi\,\mathrm{d}r+i\int\limits_{\Gamma}\mathrm{grad}\,\Psi\,\mathrm{d}r=\Phi(2)-\Phi(1)+i(\Psi(2)-\Psi(1))=F(2)-F(1) | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | '''3. Feladat.''' | ||
+ | :a) <math>\oint\limits_{|z|=1}\frac{1}{z^2}\,\mathrm{d}z=?</math> | ||
+ | :b) <math>\oint\limits_{|z|=1} \frac{1}{z}\,\mathrm{d}z=?</math> | ||
+ | ''Mo.'' a) | ||
:<math>\oint\limits_{|z|=1}\frac{1}{z^2}\,\mathrm{d}z=F(1)-F(1)=-\frac{1}{1}+\frac{1}{1}=0</math> | :<math>\oint\limits_{|z|=1}\frac{1}{z^2}\,\mathrm{d}z=F(1)-F(1)=-\frac{1}{1}+\frac{1}{1}=0</math> | ||
hiszen F(z)=-1/z-vel F'=f. | hiszen F(z)=-1/z-vel F'=f. | ||
+ | b) | ||
:<math>\oint\limits_{|z|=1} \frac{1}{z}\,\mathrm{d}z=\mathrm{ln}(e^{2\pi i})-\mathrm{ln}(e^{0})=2\pi i\,</math> | :<math>\oint\limits_{|z|=1} \frac{1}{z}\,\mathrm{d}z=\mathrm{ln}(e^{2\pi i})-\mathrm{ln}(e^{0})=2\pi i\,</math> | ||
− | ahol ln 1-et kétféleképpen, egyfelől az első, másfelől a második Riemann-levélen számoltuk ki. A logaritmus Riemann-felületén a logaritmus ugyanis már egyértékű. | + | ahol ln 1-et kétféleképpen, egyfelől az első, másfelől a második Riemann-levélen számoltuk ki. A logaritmus Riemann-felületén a logaritmus ugyanis már egyértékű. |
+ | |||
+ | '''4. Feladat''' Legyen ''n'' ∈ '''Z''', r>0. Mennyi: | ||
+ | :<math>\int\limits_{|z|=r}z^n\,\mathrm{d}z</math> | ||
+ | ''Mo.''<math> n\ne -1</math>-re létezik primitívfüggvény, ezért | ||
+ | :<math>\int\limits_{|z|=r}z^n\,\mathrm{d}z=\begin{cases}0 & \mathrm{ha}\;n\ne -1\\2\pi i & \mathrm{ha}\;n=-1\end{cases}</math> | ||
+ | |||
+ | ===Cauchy-tétel=== | ||
+ | |||
+ | A síkon a Stokes- és a Gauss-tétel közül elegendő csak az egyiket ismernünk, mert igazolható, hogy az egyik tétel átfogalmazható a másikba (lásd Serény György: Formális és személetes vektoranalízis). A rotáció és a divergencia ugyan különböznek egymástól, de szintén igazolható, hogy bizonyos értelemben egymással azonosíthatóak. | ||
+ | |||
+ | Legyen f reguláris az egyszeresen összefüggő ''U'' tartományon és legyen Γ tetszőleges egyszerű, zárt görbe ''D'' ⊆ ''U'' határa. Írjuk fel a Stokes-tételt! | ||
+ | |||
+ | :<math>\oint\limits_{\Gamma} f(z)\,\mathrm{d}z=\oint\limits_{\Gamma} (u,-v) \,\mathrm{d}r+i\oint\limits_{\Gamma} (v,u) \,\mathrm{d}r=*</math> | ||
+ | ::<math>\mathrm{rot}\,(u,-v)= \frac{\partial u}{\partial y}-\frac{\partial (-v)}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}=0</math> | ||
+ | ::<math>\mathrm{rot}\,(v,u)= \frac{\partial v}{\partial y}-\frac{\partial u}{\partial x}=0</math> | ||
+ | :<math>*=\oint\limits_{D} 0\,\mathrm{d}F+i\oint\limits_{D} 0 \,\mathrm{d}F=0</math> | ||
+ | |||
+ | A meglepő, hogy a Goursat-tétel miatt ez a tétel akkor is igaz, ha ''f''-ről nem tesszük fel azt, amit a Stokes-tétel, azaz hogy folytonosan differenciálható. | ||
+ | |||
+ | '''5. Feladat.''' Legyen f:'''C''' <math>\to</math> '''C''' mindenhol reguláris kivéve az <math>x_0</math>=0 pontban. Igazoljuk, hogy ekkor | ||
+ | :<math>\int\limits_{|z|=2010}f\,\mathrm{d}z=\int\limits_{|z|=\frac{1}{2010}}f\,\mathrm{d}z</math> | ||
+ | |||
+ | ==Cauchy-típusú integrálok== | ||
+ | Reguláris f-re és egyszerű Γ görbére: | ||
+ | :<math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint\limits_{\Gamma}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\mathrm{d}z,\quad\quad n\in\mathbf{Z}\cap[0,+\infty)</math> | ||
+ | |||
+ | '''6. Feladat.''' | ||
+ | :(a) <math>\int\limits_{|z-3i|=2}\frac{2z-1}{z^2-2iz}\,\mathrm{d}z=?</math> | ||
+ | :(b) <math>\int\limits_{|z|=1}\frac{\mathrm{ch}\,z}{z^5}\,\mathrm{d}z=?</math> | ||
+ | :(c) <math>\int\limits_{|z|=2}\frac{\sin\,z}{z^2+1}\,\mathrm{d}z=?</math> | ||
+ | |||
+ | ''Mo.'' (a) | ||
+ | :<math>\int\limits_{|z-3i|=2}\frac{2z-1}{z^2-2iz}\,\mathrm{d}z=\int\limits_{|z-3i|=2}\frac{2z-1}{z(z-2i)}\,\mathrm{d}z=</math> | ||
+ | a 0 kívül esik a körön, ezért a körön belül az f(z) = 2z-1/z reguláris, ezért az integrált előállítja a 2πif(<math>z_0</math>), ahol <math>z_0</math>=2i | ||
+ | :<math>=\int\limits_{|z-3i|=2}\frac{\frac{2z-1}{z}}{\;z-2i\;}\,\mathrm{d}z=2\pi i\left.\frac{2z-1}{z}\right|_{z=2i}\,\mathrm{d}z=2\pi i\frac{4i-1}{2i}=4\pi i- \pi</math> | ||
+ | (b) | ||
+ | :<math>\int\limits_{|z|=1}\frac{\mathrm{ch}\,z}{z^5}\,\mathrm{d}z=\frac{2\pi i}{4!}\mathrm{ch}^{(4)}(0)=\frac{\pi i}{12}</math> | ||
+ | (c) | ||
+ | :<math>\int\limits_{|z|=2}\frac{\sin\,z}{z^2+1}\,\mathrm{d}z=\int\limits_{|z+i|=1/2}\frac{\frac{\sin z}{z-i}}{z+i}\,\mathrm{d}z+\int\limits_{|z-i|=1/2}\frac{\frac{\sin z}{z+i}}{z-i}\,\mathrm{d}z</math> | ||
+ | :<math>=2\pi i\frac{\sin(-i)}{-2i}+2\pi i\frac{\sin(i)}{2i}=2\pi i\sin i=\pi(e+\frac{1}{e})</math> |
A lap jelenlegi, 2009. november 6., 13:10-kori változata
Tartalomjegyzék |
Komplex integrál
A komplex integrálás egy bizonyos pontig szoros párhuzamot mutat az R2-re vonatkozó integráltételekkel. Azonban Goursat eredményét figyelembe véve kiderül, hogy a nyílt halmazon értelmezett komplex differenciálható függvények egyetéen differenciálhatósági osztályt alkotnak (a valósokkal szemben), éspedig az analitikust, amit ezesetben regulárisnak neveznek.
Definíció szerint, ha f: D C egy nyílt tartományon értelmezett függvény és Γ:[a,b] C folytonosan differenciálható görbe, akkor a f integrálja a Γ mentén:
Fontos, hogy a fenti definícióban az f(z) Δz egy komplex szorzat.
Persze itt olyan fogalmakkal dolgozunk, amelyeket nyugodtan átfogalmazhatunk egy vonalintegrál párrá, a következőképpen. Tekintsük az f = u + v i függvényt és a dz = dx + i dy szimbólumot. Ekkort fdz komplex formális szorzát elvégezve kapjuk, hogy:
Integrál kiszámítása paraméteresen
A vonalintegál kiszámítására vonatkozó formula komplex változata az lesz, hogy:
Itt z(t)=Γ(t). De így ritkán számolunk komplex integrált.
1. Feladat. r>0
- a)
- b)
Mo.
hiszen a paraméterezés z(t)=eit, t ∈ [0,π]. Egy vektorértékű valós változós függvényt komponensenként integrálunk:
2. Mo. Szerencsére a komplex analízisben van is van Newton--Leibniz formula:
b)
Newton--Leibniz-tétel
R2 vektorfüggvényeinek integrálása könnyen elvégezhető, ha feltesszük hogy az integrandusnak van potenciálja. Ekkor az első gradiens tételre kell hivatkoznunk. Komplex esetben ez az összefüggés a valós N--L-formula alakját ölti.
Tétel (Newton--Leibniz) Ha f: D C folytonos a D nyílt halmazon és létezik primitív függvénye, akkor minden a D-ben haladó Γ[a,b] C görére:
ahol Γ kezdő és végpontja z(a) és z(b).
2. Feladat. Igazoljuk a N--L-tételt!.
Mo. Tegyük fel, hogy F'=f és legyen F = (Φ,Ψ), f=(u,v). Ekkor F deriváltja azonosítható a (Φ,Ψ) vektorfüggvény Jacobi-mátrixával, ami a feltevés szerint folytonos és egyenlő f=(u,v) mátrixalakjával.
Mindkét komponensre felírhatjuk tehát az első gadiens tételt, és kapjuk:
3. Feladat.
- a)
- b)
Mo. a)
hiszen F(z)=-1/z-vel F'=f.
b)
ahol ln 1-et kétféleképpen, egyfelől az első, másfelől a második Riemann-levélen számoltuk ki. A logaritmus Riemann-felületén a logaritmus ugyanis már egyértékű.
4. Feladat Legyen n ∈ Z, r>0. Mennyi:
Mo.-re létezik primitívfüggvény, ezért
Cauchy-tétel
A síkon a Stokes- és a Gauss-tétel közül elegendő csak az egyiket ismernünk, mert igazolható, hogy az egyik tétel átfogalmazható a másikba (lásd Serény György: Formális és személetes vektoranalízis). A rotáció és a divergencia ugyan különböznek egymástól, de szintén igazolható, hogy bizonyos értelemben egymással azonosíthatóak.
Legyen f reguláris az egyszeresen összefüggő U tartományon és legyen Γ tetszőleges egyszerű, zárt görbe D ⊆ U határa. Írjuk fel a Stokes-tételt!
A meglepő, hogy a Goursat-tétel miatt ez a tétel akkor is igaz, ha f-ről nem tesszük fel azt, amit a Stokes-tétel, azaz hogy folytonosan differenciálható.
5. Feladat. Legyen f:C C mindenhol reguláris kivéve az x0=0 pontban. Igazoljuk, hogy ekkor
Cauchy-típusú integrálok
Reguláris f-re és egyszerű Γ görbére:
6. Feladat.
- (a)
- (b)
- (c)
Mo. (a)
a 0 kívül esik a körön, ezért a körön belül az f(z) = 2z-1/z reguláris, ezért az integrált előállítja a 2πif(z0), ahol z0=2i
(b)
(c)