|
|
(egy szerkesztő 19 közbeeső változata nincs mutatva) |
7. sor: |
7. sor: |
| :<math>\mu\frac{\partial P}{\partial y}+P\frac{\partial\mu }{\partial y}=\mu\frac{\partial Q}{\partial x}+Q\frac{\partial \mu}{\partial x}\,</math> | | :<math>\mu\frac{\partial P}{\partial y}+P\frac{\partial\mu }{\partial y}=\mu\frac{\partial Q}{\partial x}+Q\frac{\partial \mu}{\partial x}\,</math> |
| :<math>\mu\cdot\left(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}\right)=Q\frac{\partial \mu}{\partial x}-P\frac{\partial\mu }{\partial y}\,</math> | | :<math>\mu\cdot\left(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}\right)=Q\frac{\partial \mu}{\partial x}-P\frac{\partial\mu }{\partial y}\,</math> |
− | Ezt a parciális differenciálegyenletet kell megoldanunk ahhoz, hogy legyen integráló tényezőnk. | + | Mivel |
| + | :<math>\frac{1}{\mu}\frac{\partial \mu}{\partial x}=\frac{\partial \ln\mu }{\partial x}</math> |
| + | és ugyanígy |
| + | :<math>\frac{1}{\mu}\frac{\partial \mu}{\partial y}=\frac{\partial \ln\mu }{\partial y}</math> |
| + | ezért |
| + | :<math>\left(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}\right)=Q\frac{\partial \ln\mu}{\partial x}-P\frac{\partial\ln\mu}{\partial y}\,</math> |
| + | Ezt a parciális differenciálegyenletet kell megoldanunk ahhoz, hogy legyen integráló tényezőnk. |
| | | |
− | '''Példa.''' Keressünk integráló tényezőt az
| + | ==Speciális esetek== |
− | :<math>y'+f(x)y=g(x)\,</math>
| + | Megállapíthatjuk, hogy néha érdemes a μ-re felírt egyenletnek csak olyan megoldásait keresni, amelyek csak az egyik változótól függenek. Ez a következő esekben áll elő. |
− | közönséges elsőrendű inhomogén lineáris differenciálegyenlethez!
| + | |
| | | |
− | Világos, hogy nem egzakt, mert a
| + | I. Keressük a megoldást a μ=μ(x) feltevéssel! Ekkor ln(μ)=ln(μ)(x) és ∂<sub>y</sub>ln(μ)=0, azaz |
− | :<math>\mathrm{d}y-(g(x)-f(x)y)\,\mathrm{d}x=0</math> | + | :<math>\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}=Q\frac{\partial \ln\mu}{\partial x}\,</math> |
− | alakban a keresztben vett deriváltak: 0 és f(x).
| + | és |
| + | :<math>R(x)=\frac{\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}}{Q}=\frac{\partial \ln\mu}{\partial x}\,</math> |
| + | csak x-től függ és innen az integráló szorzó: |
| + | :<math>\mu(x)=e^{\int R(x)\;dx}</math> |
| | | |
− | Q=1 és P(x,y)=-g(x)+f(x)y ezért a μ-t adó parc.diff. egyenlet:
| |
− | :<math>\mu f=\frac{\partial \mu}{\partial x}-(g(x)-f(x)y)\frac{\partial\mu }{\partial y}\,</math>
| |
− | Elegendő egy partikuláris megoldást találni, amit egyszerűen megkapunk, ha csak az olyan μ-ket keressük, amik csak az x-től függenek, ekkor ugyanis pl. g(x) nem is lesz az egyenletben. Ilyet találunk, mert:
| |
− | :<math>\mu f=\frac{\partial \mu}{\partial x}\,</math>
| |
− | :<math>\mu f(x)=\mu'\,</math>
| |
− | Ez egy szeparábilis, aminek a megoldása:
| |
− | :<math>f(x)=\frac{\mu'}{\mu}\,</math>
| |
− | :<math>f(x)=(\mathrm{ln}\,\mu)'\,</math>
| |
− | egy partikuláris megoldás:
| |
− | :<math>\mu(x)=e^{F(x)}\,</math>
| |
− | ahol F'=f.
| |
| | | |
− | '''HF''': Keressük meg ezzel az integáló szorzóval az általános megoldást! | + | '''Példa.''' |
| | | |
− | ''Mo.''
| + | Az x>0, y tetszőleges kezdeti érték tarrtományban oldjuk meg az alábbi egyenletet! |
− | :<math>e^{F(x)}\mathrm{d}y+(-g(x)+f(x)y)e^{F(x)}\,\mathrm{d}x=0</math> | + | :<math>\,(x^2+y^2+x)dx+xydy=0</math>, <math>(xyy'=-x^2-y^2-x)</math> |
− | Már egzakt, hiszen
| + | '''Mo.''' <math>P=x^2+y^2+x</math>, <math>Q=xy</math>, <math>\partial_y P=2y</math>, <math>\partial_yQ=y</math> azaz nem egzakt, de |
− | :<math>e^{F(x)}f(x)=f(x)e^{F(x)}\,</math>
| + | :<math>\frac{\partial_y P-\partial_yQ}{Q}=\frac{2y-y}{xy}=\frac{1}{x}=R(x)</math>, <math>\mu(x)=e^{\int\frac{1}{x}\mathrm{d}x}=x</math> |
− | Ekkor
| + | |
− | :<math>\Phi(x,y)=ye^{F(x)}+C(x),\quad\quad \Phi(x,y)=ye^{F(x)}+\int -g(x)e^{F(x)}\,\mathrm{d}x+C(y)</math>
| + | |
− | azaz
| + | |
− | <math>C=ye^{F(x)}-\int g(x)e^{F(x)}\,\mathrm{d}x</math> | + | |
| | | |
− | ==Példa==
| + | |
− | Tanulságképpen megállapíthatjuk, hogy néha érdemes a μ-re felírt egyenletnek csak olyan megoldásait keresni, amelyek csak az egyik változótól függenek. Ha ugyanis csak a μ=μ(x) alakú integráló szorzókra szorítkozunk, akkor a megoldandó egyenlet:
| + | II. Keressük a megoldást a μ=μ(y) feltevéssel! Ekkor ln(μ)=ln(μ)(y) és ∂<sub>x</sub>ln(μ)=0, azaz |
− | :<math>\mu\left(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}\right)=Q\frac{\partial \mu}{\partial x}\,</math> | + | :<math>\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}=-P\frac{\partial \ln\mu}{\partial y}\,</math> |
− | azaz
| + | és |
− | :<math>\frac{\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}}{Q}=\frac{1}{\mu}\frac{\partial \mu}{\partial x}\,</math> | + | :<math>S(y)=\frac{\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}}{P}=-\frac{\partial \ln\mu}{\partial y}\,</math> |
− | :<math>R(x)=\frac{\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}}{Q}=\frac{\partial \mathrm{ln}\,\mu}{\partial x}\quad\quad\mu(x)=e^{\int R(x)\mathrm{dx}}</math> | + | csak y-től függ és innen az integráló szorzó: |
− | Az ilyen alak feltétele tehát az, hogy a
| + | :<math>\mu(y)=e^{-\int S(y)\;dy}</math> |
− | :<math>\frac{-\mathrm{rot}\,(P,Q)}{Q}</math> | + | |
− | csak x-től függjön (vagy a -rot(P,Q)/P csak y-tól és akkor μ csak y-tól függ).
| + | '''Megj.:''' A gyakorlatban ilyenkor vesszük az |
| + | :<math>\frac{\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}}{Q}</math> ill. <math>\frac{\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}}{P}</math> |
| + | törteket és ellenőrizzük, hogy rendre csak x-től vagy csak y-tól függenek. Ha valamelyik, akkor azt a megoldást választjuk. |
| + | |
| + | '''Példa.''' |
| + | |
| + | Oldjuk meg az |
| + | :<math>-x^2\cos^4y\,\mathrm{d}x+\sin y\,\mathrm{d}y=0</math> |
| + | egyenletet! |
| + | |
| + | ''1. Mo.'' |
| + | Nem egzakt: |
| + | :<math>\frac{\partial P}{\partial y}=4x^2\cos^{3}y(\sin y)</math> |
| + | :<math>\frac{\partial Q}{\partial x}=0</math> |
| + | Egzakttá tehető, ugyanis: |
| + | :<math>-\frac{\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}}{P}=\frac{4x^2\cos^{3}y(\sin y)}{x^2\cos^4y}=\frac{4\sin y}{\cos y}</math> |
| + | :<math>\mu=e^{\int\frac{4\sin y}{\cos y}}=e^{-4 \mathrm{ln}|cos y |}=\frac{1}{\cos^4y}</math> |
| + | Emiatt |
| + | :<math>-x^2\,\mathrm{d}x+\frac{\sin y}{\cos^4 y}\,\mathrm{d}y=0</math> |
| + | Megoldása: |
| + | :<math>-\frac{x^3}{3}+\frac{1}{3\cos^3 y}\,=C</math> |
| + | ''2. Mo.'' |
| + | Szeparábilis is. |
| + | |
| + | III. Előfordulhat, hogy szeparábilis alakban kell keresnünk a parc. diff. egyenlet megoldását, azaz μ(x,y)=φ(x)ψ(y) alakban. Ekkor -- mint az könnyen ellenőrizhető -- az egyenlet |
| + | :<math>\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}=Qf(x)-Pg(y)\,</math> |
| + | alakú és az integráló szorzó |
| + | :<math>\mu(x,y)=e^{\int f(x)\;dx+\int g(y)\;dy}</math> |
| | | |
| '''Példa.''' Oldjuk meg az | | '''Példa.''' Oldjuk meg az |
72. sor: |
92. sor: |
| :<math>x\sqrt[3]{3\,\mathrm{ln}\,c|x|}=y(x)\,</math> | | :<math>x\sqrt[3]{3\,\mathrm{ln}\,c|x|}=y(x)\,</math> |
| | | |
− | | + | ==Elméleti példák== |
− | | + | '''1.''' Az y'=-P/Q homogén fokszámú egyenlet, melyben P és Q azonos fokszámú homogén függvények szintén egzakttá tehető az 1/(Px+Qy) szorzóval, ha ez nem az y'=-y/x egyenlet (ennek meg ismerjük a megoldását). |
− | | + | |
− | ==Komplex sorozatok== | + | |
− | Minthogy '''C''' ≡ '''R'''<sup>2</sup> (mint normált vektortér), a komplex sorozatok azon tulajdonságai, melyek a vektortérműveletekkel és az | . | ≡ || . ||<sub>2</sub> euklideszi normával kapcsolatosak mind '''R'''<sup>2</sup>-ből ismertnek tekinthetők. A sorozatok konvergenciáját ugyanúgy definiáljuk, mint '''R'''<sup>2</sup>-ben:
| + | |
− | :<math>
| + | |
− | \begin{matrix}
| + | |
− | (z_n)\in\mathbf{C}^{\mathbf{Z}^+}\mbox{ konvergens }\\
| + | |
− | \\
| + | |
− | \Updownarrow\mathrm{def}\\
| + | |
− | \\
| + | |
− | \exists z\in \mathbf{C}\quad \forall \varepsilon\in\mathbf{R}^+\quad \exists N\in \mathbf{Z}^+\quad \forall n\in\mathbf{Z}^+ \quad(n> N\;\Rightarrow\;|z_n-z|<\varepsilon)
| + | |
− | \end{matrix}</math>
| + | |
− | Ekkor a fenti ''z'' egyértelmű, és ez a sorozat határértéke (lim(''z''<sub>n</sub>))
| + | |
− | | + | |
− | A legfontosabb jellemzése tehát a konvergenciának az '''R'''<sup>2</sup>-ből kölcsönzött, a komponensekre vonatkozó kritérium:
| + | |
− | | + | |
− | '''Tétel''' – A '''C'''-beli (''z''<sub>n</sub>) = (''a''<sub>n</sub> + i''b''<sub>n</sub>) sorozat konvergens akkor és csak akkor, ha
| + | |
− | :(''a''<sub>n</sub>) konvergens és
| + | |
− | :(''b''<sub>n</sub>) konvergens.
| + | |
− | | + | |
− | Ekkor lim(''z''<sub>n</sub>) = lim(''a''<sub>n</sub>) + i<math>\cdot</math>lim(''b''<sub>n</sub>)
| + | |
− | | + | |
− | Fontos látni a kapcsolatot a sorozathatárék és a függvényhatárérték között. Egy (''ζ''<sub>n</sub>) komplex sorozat nem más, mint egy
| + | |
− | :<math>\zeta: \mathbf{Z}^+\to \mathbf{C}</math>
| + | |
− | függvény. Ha '''Z'''<sup></sup>-t komplex részhalmaznak gondoljuk (ahogy az is), akkor az egyetlen torlódási pontja a ∞. Ezért egy sorozatnak pontosan akkor létezik határértéke és ez a w szám, ha mint függvénynek létezik határértéke és az a w. Azaz:
| + | |
− | :<math>\exists\lim\limits_{n\to \infty}z_n=w\in\overline{\mathbf{C}}\quad\Longleftrightarrow\quad\exists\lim\limits_{\infty}\zeta=w\in\overline{\mathbf{C}}</math>
| + | |
− | Ebből következik, hogy a függvényhatárértékre vonatkozó minden műveleti szabály öröklődik a sorozathatárértékre.
| + | |
− | ===Nullsorozatok===
| + | |
− | | + | |
− | A 0 komplex számhoz tartó sorozatok nullsorozatok. Az abszolútérték és a szorzás jó tulajdonságai miatt öröklődnek a valós sorozatok alábbi tulajdonságai.
| + | |
− | | + | |
− | '''Állítás''' – Legyen (''z''<sub>n</sub>) komplex számsorozat.
| + | |
− | # ''abszolútérték:'' ''z''<sub>n</sub> <math>\to</math> 0 akkor és csak akkor, ha |''z''<sub>n</sub>| <math>\to</math> 0
| + | |
− | # ''eltolás:'' ''z''<sub>n</sub> <math>\to</math> ''z'' akkor és csak akkor, ha (''z''<sub>n</sub> – ''z'') <math>\to</math> 0
| + | |
− | # ''"K <math> \cdot</math> 0":'' ha (''w''<sub>n</sub>) korlátos és ''z''<sub>n</sub> <math>\to</math> 0, akkor (''w''<sub>n</sub> <math>\cdot</math> ''z''<sub>n</sub>) <math>\to</math> 0
| + | |
− | # ''majoráns:'' ha (δ<sub>n</sub>) <math>\to</math> 0 valós és |''z''<sub>n</sub>| < δ<sub>n</sub>, akkor ''z''<sub>n</sub> <math>\to</math> 0
| + | |
− | # ''hányadoskritérium:'' ha <math>\limsup\left|\frac{z_{n+1}}{z_n}\right|<1\,</math>, akkor ''z''<sub>n</sub> <math>\to</math> 0
| + | |
− | # ''gyökkritérium:'' ha <math>\limsup\sqrt[n]{|z_n|}<1\,</math>, akkor ''z''<sub>n</sub> <math>\to</math> 0
| + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | Ezek közül '''C'''-ben a legjellegzetesebb a ''"K <math> \cdot</math> 0"'', hiszen ez azt állítja, hogy nem csak a λ<sub>n</sub>.''z''<sub>n</sub> skalárral történő szorzás esetén igaz a "korlátos - nullához" tartó kritérium (mindkét változóban), hanem komplex szorzás is ilyen.
| + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | '''1. Feladat'''
| + | |
− | :<math>\left(\frac{\sqrt{2}+i}{\sqrt{3n}}\right)^n\to ?</math>
| + | |
− | | + | |
− | ''(Útmutatás: hivatkozzunk a "korlátos szor nullához tartó" kritériumra.)''
| + | |
| | | |
− | :<math>\left(\frac{\sqrt{2}+i}{\sqrt{3n}}\right)^n=\left(\frac{\sqrt{2}+i}{\sqrt{3}}\right)^n\frac{1}{\sqrt{n^n}}</math> | + | '''2.''' Keressünk integráló tényezőt az |
| + | :<math>y'+f(x)y=g(x)\,</math> |
| + | közönséges elsőrendű inhomogén lineáris differenciálegyenlethez! |
| | | |
− | '''2. Feladat.'''
| + | Világos, hogy nem egzakt, mert a |
− | :<math>\frac{\sqrt[n]{n^3+2n}}{i+1}\to ?</math> | + | :<math>\mathrm{d}y-(g(x)-f(x)y)\,\mathrm{d}x=0</math> |
− | ahol az ''n''-edik gyök a valós számból vont valós gyök.
| + | alakban a keresztben vett deriváltak: 0 és f(x). |
| | | |
− | ''(Útmutatás: "i-telenítsük" a nevezőt.)''
| + | Q=1 és P(x,y)=-g(x)+f(x)y ezért a μ-t adó parc.diff. egyenlet: |
| + | :<math>\mu f=\frac{\partial \mu}{\partial x}-(g(x)-f(x)y)\frac{\partial\mu }{\partial y}\,</math> |
| + | Elegendő egy partikuláris megoldást találni, amit egyszerűen megkapunk, ha csak az olyan μ-ket keressük, amik csak az x-től függenek, ekkor ugyanis pl. g(x) nem is lesz az egyenletben. Ilyet találunk, mert: |
| + | :<math>\mu f=\frac{\partial \mu}{\partial x}\,</math> |
| + | :<math>\mu f(x)=\mu'\,</math> |
| + | Ez egy szeparábilis, aminek a megoldása: |
| + | :<math>f(x)=\frac{\mu'}{\mu}\,</math> |
| + | :<math>f(x)=(\mathrm{ln}\,\mu)'\,</math> |
| + | egy partikuláris megoldás: |
| + | :<math>\mu(x)=e^{F(x)}\,</math> |
| + | ahol F'=f. |
| | | |
− | :<math>\frac{\sqrt[n]{n^3+2n}}{i+1}=\frac{(i-1)\sqrt[n]{n^3+2n}}{-1-1}=\frac{i\sqrt[n]{n^3+2n}-\sqrt[n]{n^3+2n}}{-2}\to \frac{1}{2}-\frac{1}{2}i</math> | + | '''HF''': Keressük meg ezzel az integáló szorzóval az általános megoldást! |
− | ugyanis
| + | |
− | : <math>1\leftarrow\sqrt[n]{n}^3=\sqrt[n]{n^3}\leq\sqrt[n]{n^3+2n}\leq\sqrt[n]{n^3+\frac{n^3}{2}}=\sqrt[n]{\frac{3}{2}n^3}=\sqrt[n]{\frac{3}{2}}\sqrt[n]{n}^3\to 1</math>
| + | |
| | | |
| + | ''Mo.'' |
| + | :<math>e^{F(x)}\mathrm{d}y+(-g(x)+f(x)y)e^{F(x)}\,\mathrm{d}x=0</math> |
| + | Már egzakt, hiszen |
| + | :<math>e^{F(x)}f(x)=f(x)e^{F(x)}\,</math> |
| + | Ekkor |
| + | :<math>\Phi(x,y)=ye^{F(x)}+C(x),\quad\quad \Phi(x,y)=ye^{F(x)}+\int -g(x)e^{F(x)}\,\mathrm{d}x+C(y)</math> |
| + | azaz |
| + | <math>C=ye^{F(x)}-\int g(x)e^{F(x)}\,\mathrm{d}x</math> |
| + | <center> |
| + | </center> |
| + | ==Gyakorlás== |
| | | |
− | '''3. Feladat.''' | + | Oldja meg az alábbi egyenletet az a) y(π)=0 ill. b) y(2/π)=1 kezdeti feltétel mellett! |
− | :<math>\left(\frac{n+i}{n}\right)^n\to ?</math> | + | :<math>x\sin\frac{y}{x}-y\cos\frac{y}{x}+xy'\cos\frac{y}{x}=0</math> |
| + | '''Mo.''' Legyen <math>u=y/x</math>, innen <math>y'=u'x+u</math> |
| + | :<math>\sin\frac{y}{x}-\frac{y}{x}\sin\frac{y}{x}+y'\cos\frac{y}{x}=0</math> |
| + | :<math>\,\sin u-u\cos u+(u'x+u)\cos u=0</math> |
| + | :<math>\,\sin u+u'x cos u=0</math> |
| + | :<math>\,u'x\cos u =-\sin u</math> |
| + | (itt megjegyzendő, hogy az u=kπ konstansok megoldások, azaz az eredetinek az y=kπx megoldásai) |
| + | :<math>\,\int-\frac{\cos u}{\sin u}\mathrm{d}u =\int\frac{\mathrm{d}x}{x}</math> |
| + | :<math>\,-\ln|\sin u| =\ln|x|+C</math> |
| + | :<math>\frac{1}{|\sin u|}=K_1|x|</math> |
| + | :<math>\,1=Kx\sin \frac{y}{x}</math> (K≠0) |
| | | |
− | ''(Útmutatás: használjunk trigonometrikus alakot és hatványozzunk.)'' | + | ==Függvényegyütthatós elsőrendű lineáris d.e.== |
| + | :<math> |
| + | y'+\frac{2y}{x}=\sin(x^3+1)</math> |
| | | |
− | :<math>\left(\frac{n+i}{n}\right)^n=\left(\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}\right)^n\cdot\left(\cos\left(n\,\mathrm{arc\,tg}\left(\frac{1}{n}\right)\right)+i\sin\left(n\,\mathrm{arc\,tg}\left(\frac{1}{n}\right)\right)\right)\to </math> | + | '''Mo.''' Homogén megoldása. y=0 konstans megoldás. |
− | :: <math>\to \cos1+i\sin 1\,</math> | + | :<math>y'=-\frac{2y}{x}</math> |
− | Mert a szögfüggvények argumentumában lévő sorozat az 1-hez tart (pl L'Hospital-szabállyal majd átviteli elvvel ellenőrizhető), a első szorzó pedig az 1-ehez tart (rendőrelvvel). Az argumentumokban lévő értéket tertmészetesen radiánban kell venni: nem 1˚, hanem 1 rad.
| + | :<math>\frac{dy}{y}=-2\frac{dx}{x}</math> |
| + | :<math>\ln|y|=\ln|x|^{-2}+C</math> |
| + | Bolzano tétele miatt tetszőleges K valós számmal: |
| + | :<math>y=K\frac{1}{x^2}</math> |
| + | ami a homogén általános megoldása. |
| | | |
− | ==Komplex sorok==
| + | Inhomogén part. keresése |
− | | + | :<math>y(x)=K(x)\frac{1}{x^2}</math> |
− | Minden normált térben definiálhatók sorok és ezek konvergenciája, így '''C'''-ben is. Az (''z''<sub>n</sub>) sorozat
| + | :<math> |
− | : <math>s_n=\sum\limits_{k=1}^n z_k</math> | + | K'(x)\frac{1}{x^2}+K(x)\frac{-2}{x^3}+K(x)\frac{2}{x^3}=\sin(x^3+1)</math> |
− | részletösszegeinek (''s''<sub>n</sub>) sorozatát a (''z''<sub>n</sub>) -ből képzett '''sor'''nak nevezzük és ∑(''z''<sub>n</sub>)-nel jelöljük. Azt mondjuk, hogy a ∑(''z''<sub>n</sub>) sor konvergens és összege a ''w'' komplex szám, ha (''z''<sub>n</sub>) részletösszegeinek sorozata konvergens és határértéke ''w''. Ekkor az összeget a
| + | :<math> |
− | :<math>\sum\limits_{n=1}^{\infty}z_n</math>
| + | K'(x)=x^2\sin(x^3+1)</math> |
− | szimbólummal jelöljük.
| + | :<math> |
− | | + | K'(x)=\frac{1}{3}3x^2\sin(x^3+1)</math> |
− | ===Komponensek===
| + | :<math> |
− | | + | K(x)=-\frac{1}{3}\cos(x^3+1)</math> |
− | Az egyik módja, hogy a komplex sorok konvergenciáját visszavezessük a valósokra, ha a komponenssorozatokat vesszük:
| + | :<math>y=K\frac{1}{x^2}-\frac{1}{3}\cos(x^3+1)\frac{1}{x^2}</math> |
− | :<math>\sum(z_n)=\sum(x_n+iy_n)\, </math>
| + | |
− | esetén az összegeket elképzelve, azokból az i kiemelhető, így
| + | |
− | :<math>\sum(z_n)=\sum(x_n)+i\sum(y_n)\, </math>
| + | |
− | ahol az összeget és a szorzást tagonként végezzük. Ekkor egy sor ponrosan akkor konvergens, ha mindkét komponense konvergens.
| + | |
− | | + | |
− | ===Cauchy-kritérium és abszolút konvergencia===
| + | |
− | | + | |
− | Világos, hogy egy sor, mint részletösszegsorozat pontosan akkor konvergens, ha Cauchy-sorozat. Ez a Cauchy-kritérium sorokra.
| + | |
− | | + | |
− | Létezik az abszolút konvergencia fogalmai is. Egy sor abszolút konvergens, ha a tagjai abszolútértékéből képezett sorozat konvergens. Igaz az, hogy egy normált tér akkor és csak akkor teljes, ha minden abszolút konvergens sor konvergens benne. (És '''C''' teljes, mert minden Cauchy-sorozat konvergál benne, ami pont annak a módja, hogy belássuk az előbbi kritériumot.) Persze az előfordul a teljes terekben is, hogy konvergens sorozatok nem lesznek abszolút konvergensek.
| + | |
− | | + | |
− | ===Kritériumok az abszolút konvergenciára===
| + | |
− | | + | |
− | Az abszolút konvergencia fenti kritériumából egy sor komplex sorokra vonatkozó kritérium adódik a valósból.
| + | |
− | | + | |
− | '''Tétel''' – Legyen (''z''<sub>n</sub>) komplex számsorozat.
| + | |
− | # '''Szükséges kritérium:''' Ha ∑(''z''<sub>n</sub>) konvergens, akkor (''z''<sub>n</sub>) nulsorozat.
| + | |
− | # '''Geometriai sor:''' ha |''z''| < 1, akkor <math>\sum\limits_{(0)} (z^n)</math> konvergens és az összege:
| + | |
− | #:<math>\sum\limits_{n=0}^\infty z^n=\frac{1}{1-z}</math>
| + | |
− | # '''Összehasonlító kritérium:''' ha az ∑(''r''<sub>n</sub>) valós sor konvergens és |''z''<sub>n</sub>| ≤ ''r''<sub>n</sub> majdnem minden ''n''-re, akkor ∑(''z''<sub>n</sub>) abszolút konvergens (''majoráns-kritérium''). Ha az ∑(''r''<sub>n</sub>) pozitív valós sor divergens és ''r''<sub>n</sub> ≤ |''z''<sub>n</sub>| m.m., akkor ∑(''z''<sub>n</sub>) divergens (''minoráns-kritérium'').
| + | |
− | # '''p-edik hatvány próba:''' ha ''p'' > 1 valós, akkor a <math>(\sum\limits_{1}\frac{1}{n^p})</math> valós sor konvergens.
| + | |
− | #: Ha 0 ≤ ''p'' ≤ 1, akkor a <math>(\sum\limits_{1}\frac{1}{n^p})</math> valós sor divergens.
| + | |
− | # '''Hányadoskritérium:''' ha <math>\limsup\left|\frac{z_{n+1}}{z_n}\right|<1\,</math>, akkor ∑(''z''<sub>n</sub>) abszolút konvergens. Ha a "liminf" > 1, akkor divergens
| + | |
− | # '''Gyökkritérium:''' ha <math>\limsup\sqrt[n]{|z_n|}<1\,</math>, akkor ∑(''z''<sub>n</sub>) abszolút konvergens. Ha a "limsup" > 1, akkor divergens.
| + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | '''Megjegyezzük,''' hogy ha a gyökök és hányadosok sorozata konvergál, akkor ugyanahhoz a számhoz konvergálnak.
| + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | '''4.'''
| + | |
− | Konvergens-e illetve abszolút konvergens-e?
| + | |
− | :<math>\sum\left(\frac{i^n}{n}\right)</math>
| + | |
− | | + | |
− | '''5.'''
| + | |
− | #Konvergens-e és mi a határértéke: <math>\frac{n!}{n^n}i^n</math>
| + | |
− | #Konvergens-e <math>\sum\left(\frac{n!}{n^n}i^n\right)</math>
| + | |
− | #Milyen ''z''-re konvergens: <math>\sum\left(\frac{n!}{n^n}z^n\right)</math>
| + | |
− | | + | |
− | ''(Útmutatás: használjuk a hányadoskritériumot, vagy vizsgáljuk, hogy milyen rendben tartanak a végtelenhez az összetevősorozatok.)''
| + | |
− | | + | |
− | :<math>\frac{\left|\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}i^{n+1}\right|}{\left|\frac{n!}{n^n}i^n\right|}=\frac{n+1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\cdot(n+1)}\to\frac{1}{e}<1 </math>
| + | |
− | azaz 0-hoz tart-
| + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | '''6.'''
| + | |
− | #Konvergens-e és mi a határértéke: <math>\frac{1}{\left(1+\frac{i}{n}\right)^{n^4}}</math>
| + | |
− | #Konvergens-e <math>\sum\left(\frac{1}{\left(1+\frac{i}{n}\right)^{n^4}}\right)</math>
| + | |
− | #Milyen ''z''-re konvergens:<math>\sum\left(\frac{1}{\left(1+\frac{i|z|}{n}\right)^{n^4}}\right)</math>
| + | |
− | | + | |
− | ''(Útmutatás: használjuk a gyökkritériumot.)''
| + | |
− | | + | |
− | :<math>\sqrt[n]{\left|1+\frac{i}{n}\right|^{n^4}}=\left|1+\frac{i}{n}\right|^{n^3}=\left(\sqrt{\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}}\right)^n\geq (1+\varepsilon)^n\to +\infty</math>
| + | |
− | Így a reciproka a 0-hoz tart, azaz a limszup < 1.
| + | |
− | | + | |
− | ==Komplex hatványsorok==
| + | |
− | | + | |
− | '''Definíció''' – ''Hatványsor'' – Legyen (''a''<sub>n</sub>) komplex számsorozat és ''z''<sub>0</sub> ∈ '''C'''. Ekkor az ∑(''a''<sub>n(</sub>id<sub>'''C'''</sub>-z<sub>0</sub>)<sup>n</sup>) függvénysort hatványsornak nevezzük és összegét, az
| + | |
− | :<math>z\mapsto \sum\limits_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n</math> | + | |
− | hozzárendelési utasítással értelmezett, a {''z'' ∈ | ∑(''a''<sub>n</sub>(z-''z''<sub>0</sub>)<sup>n</sup>) konvergál } halmazon értelmezett függvényt a hatványsor '''összegének''' nevezzük. Középpontja ''z''<sub>0</sub>, együtthatósorozata (''a''<sub>n</sub>).
| + | |
− | | + | |
− | A továbbiakban csak a ∑(''a''<sub>n</sub>z<sup>n</sup>) alakú, azaz a 0 körüli hatványsorokkal foglalkozunk (ezzel nem csorbítjuk az általánosságot, mert eltolással megkaphatjuk a többit is).
| + | |
− | | + | |
− | '''Tétel''' – ''Cauchy–Hadamard-tétel'' – Ha (''a''<sub>n</sub>) komplex számsorozat, <math>c= \limsup\limits_{n}\sqrt[n]{|a_n|}</math> és
| + | |
− | :<math>R=\left\{
| + | |
− | \begin{matrix}
| + | |
− | 0,& \mathrm{ha} &c=+\infty\\
| + | |
− | +\infty,& \mathrm{ha} & c=0\\
| + | |
− | \frac{1}{c},& \mathrm{ha} & 0<c<+\infty | + | |
− | \end{matrix}
| + | |
− | | + | |
− | \right.</math>
| + | |
− | akkor ∑(''a''<sub>n</sub>z<sup>n</sup>) abszolút konvergens a B<sub>R</sub>(0) gömbön és divergens a B<sub>1/R</sub>(∞) gömbön.
| + | |
− | | + | |
− | A tétel minden részletre kiterjedő bizonyítását nem végezzük el, csak utalunk rá, hogy nyilvánvaló, hogy a Cauchy-féle gyökkritériumot kell benne használni. A tételbeli ''R'' sugarat a hatványsor ''konvergenciasugarának'' nevezzük. ''R''-et másként is kiszámíthajuk. Ha azt tudjuk, a hányadoskritérium alapján, hogy
| + | |
− | :<math>\exists\lim\limits_{n\to \infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}</math>
| + | |
− | akkor létezik és ezzel egyenlő az n-edik gyökök sorozata is:
| + | |
− | :<math>\exists\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\,''\,\frac{1}{R}\,''</math> | + | |
− | ahol az idézőjel azt jelzi, hogy a konvergenciasugár lehet végtelen vagy 0 is.
| + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | '''7. Feladat.''' Mi az alábbi hatványsorok konvergenciaköre és -sugara?
| + | |
− | #<math>\sum\left((2i)^nn^3(z-i)^n\right)</math>
| + | |
− | #<math>\sum\left(\mathrm{arc\,sin}\left(\frac{1}{n}\right)(z+1+i)^n\right)</math>
| + | |
− | #<math>\sum\left(\frac{in^{2008}}{n!}z^n\right)</math>
| + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | '''Analitikus'''nak nevezünk egy ''f'' komplex függvényt, a ''z''<sub>0</sub> pontban, ha van olyan δ sugarú környezet és ∑(''a''<sub>n</sub>(z-z<sub>0</sub>)<sup>n</sup>) hatványsor, hogy minden ''z'' ∈ B<sub>δ</sub>(''z''<sub>0</sub>)-ra ''f'' érelmezett, ∑(''a''<sub>n</sub>(z-z<sub>0</sub>)<sup>n</sup>) konvergens és
| + | |
− | :<math>f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>
| + | |
− | Ezt úgy jelöljük, hogy ''f'' ∈ C<sup>ω</sup>(''z''<sub>0</sub>).
| + | |
− | | + | |
− | '''8. Feladat'''
| + | |
− | # Van-e olyan <math>\sum\limits_{(0)}(a_n(z-2))</math> hatványsor, mely konvergál a 0-ban, de divergál a 3-ban. Konvergál 2-ben, de divergál az 2,000001-ben?
| + | |
− | # Igazoljuk, hogy az alábbi függvény analitikus a nullában. Mi sorfejtés a konvergenciaköre?
| + | |
− | #:<math>f(z) = \frac{1}{4+z^2} \,</math>
| + | |
− | | + | |
− | ===Hatványsorok összegfüggvényének folytonossága és differenciálhatósága===
| + | |
| | | |
− | '''Tétel''' – Ha (''a''<sub>n</sub>) komplex számsorozat, akkor az ∑(''a''<sub>n</sub>z<sup>n</sup>) hatványsor összegfüggvénye folytonos a konvergenciakör belsejében. Sőt, reguláris is ott.
| |
| | | |
− | Emlékeztetünk arra, hogy egy függvény reguláris egy pontban, ha a pont egy környezetében mindenütt értelmezett és komplex deriválható. A tétel szerint tehát analitikus függvény reguláris. A döbbenetes azonban, hogymint később kiderül: reguláris függvény analitikus: ''f'' ∈ C<sup>ω</sup>(''z''<sub>0</sub>) akkor és csak akkr, ha ''f'' ∈ Reg(''z''<sub>0</sub>).
| + | <center> |
| + | {| class="wikitable" style="text-align:center" |
| + | |- bgcolor="#efefef" |
| + | |[[Matematika A3a 2008/2. gyakorlat |2. gyakorlat]] |
| + | |} |
| + | {| class="wikitable" style="text-align:center" |
| + | |- bgcolor="#efefef" |
| + | |[[Matematika A3a 2008/4. gyakorlat |4. gyakorlat]] |
| + | |} |
| + | </center> |
| | | |
− | ''Bizonyítás.'' Legyen ''z'' a konvergenciakör egy belső pontja és Δ''z'' olyan, hogy még ''z'' + Δ''z'' is a konvergenciakör belsejébe esik. Ekkor:
| |
− | : <math>\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(z+\Delta z)^n-\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n=
| |
− | \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n((z+\Delta z)^n-z^n)=</math>
| |
− | mert mindkét sor konvergens, ekkor algebrai azonosságokkal:
| |
− | :<math>=\Delta z\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n\sum\limits_{k=0}^{n-1}\Delta z^{k}z^{n-1-k}</math>
| |
− | vagy ha tetszik nemnulla Δ''z''-vel:
| |
− | :<math>\frac{\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(z+\Delta z)^n-\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n}{\Delta z}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n\sum\limits_{k=0}^{n-1}\Delta z^{k}z^{n-1-k}</math>
| |
− | a jobb oldalon álló sor konvergenciáját a gyökkritériummal láthatjuk be:
| |
− | :<math>\left|a_n\sum\limits_{k=0}^{n-1}\Delta z^{k}z^{n-1-k}\right|\leq|a_n|\cdot n r^n</math>
| |
− | ahol r olyan pozitív szám, hogy | ''z'' + Δ''z'' | < r < R (ez utóbbi a hatványsor konvergenciasugára). És
| |
− | :<math>\limsup\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|\cdot n r^n}=\limsup\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}\cdot 1 \cdot r\leq\frac{1}{R}r<1\,</math>
| |
− | Így azt kaptuk, hogy minden olyan Δ''z''-re, melyre | ''z'' + Δ''z'' | < r, teljesül és |Δ''z''| <ε/(1+∑<sub>n</sub>|a<sub>n</sub>|nr<sup>n</sup>)=:δ
| |
− | :<math>\left|\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(z+\Delta z)^n-\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n\right|\leq|\Delta z|\cdot \sum\limits_{n=0}^\infty|a_n|nr^n<\varepsilon.</math>
| |
| | | |
− | Hosszadalmasabb számolásokkal, de lényegében ugyanígy kimutatható, hogy a hatványsor összegfüggvénye komplex differenciálható is a konvergenciakör belsejében és deriváltja a formális tagonkénti deriválásal kapott sor összegfüggvényével egyenlő, tehát:
| |
− | :<math>\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n\right)'=\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n n z^{n-1}</math>
| |
| | | |
| | | |
| [[Kategória:Matematika A3]] | | [[Kategória:Matematika A3]] |
Általában egy P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 alakú differenciálegyenlet esetén nem teljesül a rot(P,Q)=0 feltétel. Esetenként azonban található olyan μ kétváltozós pozitív értékű függvény, amellyel:
már egzakt egyenlet. Vizsáljuk meg miből nyerhetjük az ilyen μ un. integráló szorzót! A rot(μP,μQ)=0 feltétel a következő:
Ezt a parciális differenciálegyenletet kell megoldanunk ahhoz, hogy legyen integráló tényezőnk.
Megállapíthatjuk, hogy néha érdemes a μ-re felírt egyenletnek csak olyan megoldásait keresni, amelyek csak az egyik változótól függenek. Ez a következő esekben áll elő.
I. Keressük a megoldást a μ=μ(x) feltevéssel! Ekkor ln(μ)=ln(μ)(x) és ∂yln(μ)=0, azaz
Az x>0, y tetszőleges kezdeti érték tarrtományban oldjuk meg az alábbi egyenletet!
törteket és ellenőrizzük, hogy rendre csak x-től vagy csak y-tól függenek. Ha valamelyik, akkor azt a megoldást választjuk.
III. Előfordulhat, hogy szeparábilis alakban kell keresnünk a parc. diff. egyenlet megoldását, azaz μ(x,y)=φ(x)ψ(y) alakban. Ekkor -- mint az könnyen ellenőrizhető -- az egyenlet
azaz célravezet, ha μ-t μ(x) alakban keressük. Ekkor
alakban a keresztben vett deriváltak: 0 és f(x).
Q=1 és P(x,y)=-g(x)+f(x)y ezért a μ-t adó parc.diff. egyenlet:
Elegendő egy partikuláris megoldást találni, amit egyszerűen megkapunk, ha csak az olyan μ-ket keressük, amik csak az x-től függenek, ekkor ugyanis pl. g(x) nem is lesz az egyenletben. Ilyet találunk, mert:
ahol F'=f.
Oldja meg az alábbi egyenletet az a) y(π)=0 ill. b) y(2/π)=1 kezdeti feltétel mellett!
(itt megjegyzendő, hogy az u=kπ konstansok megoldások, azaz az eredetinek az y=kπx megoldásai)
ami a homogén általános megoldása.
Inhomogén part. keresése