Matematika A3a 2008/8. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (A lap tartalmának cseréje erre: ''<sub><Matematika A3a 2008</sub>'') |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Példák) |
||
(egy szerkesztő 8 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
1. sor: | 1. sor: | ||
− | ''<sub><[[Matematika A3a 2008]]</sub>'' | + | ''<sub><[[Matematika A3a 2008]]</sub>'' |
+ | |||
+ | ==Komplex integrál== | ||
+ | |||
+ | ===Görbék a komplex síkon=== | ||
+ | |||
+ | Ha a Γ '''C'''-beli halmaz olyan, hogy van olyan ''G'':[''a'',''b'']<math>\to</math>'''C''', ''t''<math>\mapsto</math>''z''(''t'') folytonos, veges sok kivetellel folytonosan differenciálható fuggveny, aminek az ertekkeszlete Γ, akkor Γ-t görbének nevezzük. A Γ görbe ''egyszerű'', ha nem metszi át saját magát, azaz minden <math>t_1</math>, <math>t_2</math>-re, ha <math>z(t_1)=z(t_2)</math>, akkor <math>t_1=t_2</math>. ''G'' zárt, ha <math>z(a)=z(b)</math>. A görbe ''t''-beli irányvektorán a | ||
+ | :<math>\dot{z}(t)=\dot{x}(t)+\mathrm{i}\dot{y}(t)</math> | ||
+ | komplex számot értjük. | ||
+ | |||
+ | Tobb parameterezes is elo tudja allitani a Γ gorbet. Ezek kozul kettot, a <math>z_1</math>-et es a <math>z_2</math>-t ekvivalensnek nevezunk, ha van olyan g:[a,b]<math>\to</math>[c,d] folytonos valos fuggveny, ami (a,b)-n differencialhato, g'>0 es <math>z_2=z_1\circ g</math>. Az osszes parameterezesek halmaza ket osztalyra esik szet, ezek a gorbe ellentetes parameterezeseit adjak. | ||
+ | |||
+ | ====Példák==== | ||
+ | '''1.''' Legyen ''t''∈[a,b]-re ''z''(''t'') = ''x''(''t'') + i''y''(''t'') olyan, hogy <math>x(t)=x_0+w_1t</math> és <math>y(t)=y_0+w_2t</math>, azaz <math>z(t)=z_0+w t</math>. Ekkor ''z''(''t'') egy egyenes szakasz. | ||
+ | |||
+ | És ekkor: | ||
+ | :<math>\dot{z}(t)=w</math> | ||
+ | '''2.''' Az origó középpontú R sugarú kör: | ||
+ | :<math>z(t)=Re^{\mathrm{i}t}</math> ''t''∈[0,2π] | ||
+ | Hiszen ekkor a kör egyenlete: | ||
+ | :<math>x(t)=R\cos(t)</math> | ||
+ | :<math>y(t)=R\sin(t)</math> | ||
+ | ahonnan a komplex írásmódban | ||
+ | :<math>z(t)=x(t)+iy(t)=R\cos(t)+iR\sin(t)=R(\cos(t)+i\sin(t))</math> | ||
+ | ami az Euler-formula alapján: | ||
+ | :<math>z(t)=Re^{it}</math> | ||
+ | És ekkor a deriváltja: | ||
+ | :<math>\dot{z}(t)=R\mathrm{i}e^{\mathrm{i}t}</math> | ||
+ | hiszen | ||
+ | :<math>\dot{z}(t)=R\dot{\cos(t)+\mathrm{i}\sin(t)}=-R\sin(t)+\mathrm{i}R\cos(t)=\mathrm{i}(R\mathrm{i}\sin(t)+R\cos(t))</math> | ||
+ | Ha a kör középpontja <math>z_0=x_0+iy_0</math>, akkor | ||
+ | :<math>x(t)=R\cos(t)+x_0</math> | ||
+ | :<math>y(t)=R\sin(t)+y_0</math> | ||
+ | azaz | ||
+ | :<math>z(t)=Re^{it}+z_0</math> | ||
+ | |||
+ | ===Komplex vonalmenti integrál=== | ||
+ | '''Definíció.''' Ha ''G'':[a,b]<math>\to</math>'''C''' görbe és f olyan komplex függvény, melyre Ran(G)⊆Dom(f), és f folytonos, akkor belátható, hogy létezik a | ||
+ | |||
+ | :<math>\begin{matrix} | ||
+ | \sum\limits_{i=1}^nf(\zeta_i)\cdot \Delta z_i & \longrightarrow & \int\limits_{G}f(z)\,\mathrm{d}z\\ | ||
+ | & n\to \infty & \\ | ||
+ | & \forall z_i\in G, \;\forall \zeta_i\in \Delta z_i &\\ | ||
+ | & |\Delta z_i|\to 0 & | ||
+ | \end{matrix}</math> | ||
+ | határérték, mely egy speciális Riemann-közelítőösszeg határértéke. Itt a görbén kijelöltük a véges sok <math>z_i</math> pontot, melyek a szigorúan monoton (<math>t_i</math>)-khez tartoznak a <math>z_i=z(t_i)</math> definícióval. Ezen <math>[z(t_i),z(t_{i+1})]</math> görbeszakaszokon belül felvettük tetszőlegesen a ζ<sub>i</sub> közbülső pontokat, és a Δz<sub>i</sub>=<math>[z(t_i),z(t_{i+1})]</math> szakaszokkal elkészítettük az f(ζ<sub>i</sub>)Δz<sub>i</sub> komplex szorzatokat. A határérték ezek görbére vett összegének határértéke. Ez a határérték az f függvény ''G''-re vett komplex integrálja. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''Kiszámítási formula.''' Belátható, hogy a fenti integrál a következőkkel egyenlő: | ||
+ | :<math> | ||
+ | \int\limits_{G}f(z)\mathrm{d}z=\int\limits_{a}^b f(z(t))\cdot \dot{z}(t)\,\mathrm{d}t</math> | ||
+ | |||
+ | '''Megjegyzes''' A helyettesiteses integralas tetelenek felhasznalasaval belathato, hogy ez az integral fuggetlen a parametertezestol, ha azok ugyanazt az iranyitast hatarozzak meg. | ||
+ | |||
+ | '''Megj.''' A kiszamitasi formulaban skalarvaltozos vektorerteku fuggveny integralja szerepel. Ezt a kovetkezokeppen kell kiszamitani: | ||
+ | |||
+ | <math>\int\limits_a^b\begin{pmatrix}f_1(t)\\f_2(t)\end{pmatrix}\,dt=\begin{pmatrix}\int\limits_a^b f_1(t) \,dt\\ \int\limits_a^b f_2(t)\,dt\end{pmatrix} | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | ===Példa=== | ||
+ | '''1.''' a) Legyen ''G'' a komplex egységkör pozitívan irányítva. | ||
+ | :<math>\int\limits_{|z|=1}\frac{1}{z}\mathrm{d}z=\int\limits_{0}^{2\pi} \frac{1}{e^{\mathrm{i}t}}\cdot \mathrm{i}e^{\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t=\int\limits_{0}^{2\pi} \mathrm{i}\,\mathrm{d}t=2\pi\mathrm{i}</math> | ||
+ | Ahol a valós Newton--Leibniz-formulát alkalmaztuk a komponensfüggvényekre. | ||
+ | |||
+ | :b) Integráljuk az | ||
+ | :<math>f(z)=\frac{1}{z-z_0}</math> | ||
+ | függvény a <math>z_0</math> középpontú ''R'' sugarú pozitívan irányított körre, azaz a <math>|z-z_0|=R</math> egyenletű görbére. | ||
+ | |||
+ | Ekkor a görbe paraméterezése: | ||
+ | :<math>z(t)=Re^{it}+z_0</math>, <math>0\leq t\leq 2\pi</math> | ||
+ | :<math>\int\limits_{|z-z_0|=R}\frac{1}{z-z_0}\mathrm{d}z=\int\limits_{0}^{2\pi} \frac{1}{Re^{\mathrm{i}t}}\cdot \mathrm{i}Re^{\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t=\int\limits_{0}^{2\pi} \mathrm{i}\,\mathrm{d}t= \mathrm{i}\,\int\limits_{0}^{2\pi}\,\mathrm{d}t=2\pi\mathrm{i}</math> | ||
+ | |||
+ | '''2.''' Legyen ''G'' a z(t)=(1+2i)t, ahol t∈[0,1]. | ||
+ | :<math>\int\limits_{G}\overline{z}\mathrm{d}z=\int\limits_{0}^{1} (1-2\mathrm{i})t\cdot (1+2\mathrm{i})\,\mathrm{d}t=\int\limits_{0}^{1}5t\,\mathrm{d}t=\frac{5}{2}</math> | ||
+ | |||
+ | '''3.''' Legyen ''G'' a komplex egységkör felső fele, pozitívan irányítva. | ||
+ | :<math>\int\limits_{|z|=1,\mathrm{Im}(z)\geq 0}\overline{z}^2\mathrm{d}z=\int\limits_{0}^{\pi}e^{-2\mathrm{i}t}\cdot \mathrm{i}e^{\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t=\int\limits_{0}^{\pi}e^{-\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t=1-(-1)=2</math> | ||
+ | |||
+ | ===Komplex Newton--Leibniz-formula=== | ||
+ | Ha az f komplex függvény, olyan, hogy van olyan komplex differenciálható F, melyre F'=f, akkor azt mondjuk, hogy az F az f primitív függvénye. | ||
+ | |||
+ | '''Komplex Newton--Leibniz-formula.''' Ha a nyílt halmazon értelmezett f komplex függvénynek primitív függvénye az F, akkor minden az f értelmezési tartományában haladó ''G'':[a,b]<math>\to</math>'''C''' görbére: | ||
+ | :<math>\int\limits_{G}f(z)\,\mathrm{d}z=F(b)-F(a)</math> | ||
+ | |||
+ | (Ha még nem tudjuk, hogy reguláris függvény analitikus, akkor f-ről fel kell tennünk, hogy folytonos.) | ||
+ | |||
+ | '''4.''' Legyen <math>f(z)=\frac{1}{z^2}</math>. Mi az egységkörre az integrálja? | ||
+ | :<math>F(z)=-\frac{1}{z}</math> | ||
+ | primitívfüggvénye f-nek, ezért | ||
+ | :<math>\int\limits_{|z|=1}\frac{1}{z^2}\,\mathrm{d}z=0</math> | ||
+ | hiszen zárt a görbe, azaz a pr. fv. a kezdő és végpontban ugyanannyi. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===Visszavezetés valós vonalintegrálra es feluleti integralra=== | ||
+ | Az integrál kifejezhető vonalintegrállal. Ha ugyanis f= u + iv, akkor az f=(u,v) vektormezőnek olyan differenciálforma szerinti integrálja a komplex pályamenti integrál, mely az f=(u,v) vektor és a dz=(dx,dy) infinitezimális elmozdulásvektor komplex szorzásaként jön létre: | ||
+ | :<math>\int\limits_{G}f(z)\mathrm{d}z = \int\limits_{G} u\mathrm{d}x-v\mathrm{d }y + i\int\limits_{G} u\mathrm{d}y+v\mathrm{d }x</math> | ||
+ | Ebben a felírásban az (u,-v) és (v,u) olyan segédvektormezők, melyek vonalintegráljai adják meg a komplex integrál valós és képzetes részét. Tehát az integrált a | ||
+ | :<math>\mathbf{P}=\begin{pmatrix}u\\-v\end{pmatrix}</math> és <math>\mathbf{Q}=\begin{pmatrix}v\\u\end{pmatrix}</math> | ||
+ | segédvektormezők síkbeli '''vonalintegráljai''' | ||
+ | :<math>\int\limits_{G}\mathbf{P}\,\mathrm{d}\mathbf{r}+i\int\limits_{G}\mathbf{Q}\,\mathrm{d}\mathbf{r}</math> | ||
+ | |||
+ | vagy | ||
+ | :<math>\mathbf{P}'=\begin{pmatrix}-v\\-u\end{pmatrix}</math> és <math>\mathbf{Q}'=\begin{pmatrix}u\\-v\end{pmatrix}</math> | ||
+ | segédvektormezők síkbeli '''felületi integráljai''' | ||
+ | :<math>\int\limits_{F}\mathbf{P}'\,\mathrm{d}\mathbf{f}+i\int\limits_{F}\mathbf{Q}'\,\mathrm{d}\mathbf{f}</math> | ||
+ | szolgáltatják. | ||
+ | |||
+ | Itt érdemes feleleveníteni, hogy az '''v''' = (<math>v_1</math>, <math>v_2</math>) síkvektormező felületi integráljat a (<math>v_1</math>, <math>v_2</math>)(<math>df_1</math>, <math>df_2</math>) "differencialforma" integralasa adja. Itt az infinitezimalis feluletelem (<math>df_1</math>, <math>df_2</math>)=(<math>dy</math>,-<math>dx</math>). | ||
+ | :<math>\int\limits_{F} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}=\int\limits_{F} v_1 \mathrm{d}y-v_2\mathrm{d}x</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''A N.--L.-tétel bizonyitasa.''' A vonalintegrálra vonatkozó Newton--Leibniz-tétel (I. gradiens tétel) a következő: ha Φ folytonosan differenciálható, az értelmezési tartományában haladó G görge végpontjai: a és b, akkor | ||
+ | :<math>\int\limits_{G}\mathrm{grad}\,\Phi\mathrm{d}\mathbf{r}=\Phi(b)-\Phi(a)</math> | ||
+ | Ezt a segédvektormezőkre fogjuk alkalmazni. | ||
+ | |||
+ | :<math>\int\limits_{G}f(z)\mathrm{d}z = \int\limits_{G} u\mathrm{d}x-v\mathrm{d }y + i\int\limits_{G} u\mathrm{d}y+v\mathrm{d }x=</math> | ||
+ | :<math>=\int\limits_{G} u\mathrm{d}x-v\mathrm{d }y + i\int\limits_{G} v\mathrm{d }x+u\mathrm{d}y</math> | ||
+ | |||
+ | :<math>F=\Phi+i\Psi</math> | ||
+ | :<math>f=F'=\partial_x\Phi+i\partial_y(-\Phi)=u+vi</math> | ||
+ | :<math>f=F'=\partial_y(\Psi)+i\partial_x(\Psi)=u+vi</math> | ||
+ | :<math>\mathrm{grad}\,\Phi = (u,-v)</math> | ||
+ | :<math>\mathrm{grad}\,\Psi = (v,u)</math> | ||
+ | |||
+ | :<math>=\int\limits_{G} u\mathrm{d}x-v\mathrm{d }y + i\int\limits_{G} v\mathrm{d }x+u\mathrm{d}y=\Phi(b)-\Phi(a)+i(\Psi(b)-\Psi(a))</math> | ||
+ | |||
+ | u,v folytonos differenciálhatósága sajnos csak egy későbbi tétel következménye, miszerint reguláris függvény analitikus. Addig a tételben ideiglenesen ki kell kötnünk, hogy ''f'' folytonos. | ||
+ | |||
+ | '''Tétel.''' Ha a ''D'' nyílt halmazon értelmezett ''f'' függvénynek van primitív függvénye, akkor ''f'' körintegrálja minden a ''D''-ben haladó zárt görbére nulla: | ||
+ | :<math>\oint\limits_{G} f=0\,</math> | ||
+ | |||
+ | További információhoz akkor jutunk, ha a többváltozós analízis cirkulációmentességi feltételeit vizsgáljuk. Ehhez a vissza kell vezetni a komplex integrált a vonalintegrálra. | ||
+ | |||
+ | ==Cirkulációmentesség== | ||
+ | |||
+ | ===Gauss-tétel=== | ||
+ | Lássuk először Gauss-tétellel, hogyan következtethetünk a körintegrál eltűnésére. | ||
+ | |||
+ | '''Gauss-tétel''' ('''R'''<sup>3</sup>-ra) Legyen '''v''' nyílt halmazon értelmezett C<sup>1</sup>-függvény, ''V'' merheto, peremes térrész és legyen ennek pereme a ∂''V'' kifelé irányított felület. Ha ''V'' a peremével együtt Dom('''v''')-ben van, akkor | ||
+ | :<math>\oint\limits_{\partial V} \mathbf{v}\;\mathrm{d}\mathbf{f}=\int\limits_{V} \mathrm{div}\,\mathbf{v}\;\mathrm{d}V</math> | ||
+ | |||
+ | '''Megjegyzes.''' Az itt szereplő fogalmak közül néhányról beszélnünk kell. | ||
+ | |||
+ | ''Felület.'' Legyenek a φ<sup>i</sup>:D<sub>i</sub> <math>\to</math> '''R'''<sup>3</sup> függvények folytonosan differenciálhatóak és injektívek int(''D''<sub>i</sub>)-n, melyek mérhető tartományok '''R'''<sup>2</sup>-ben. Ha a képeik egymásba nem nyúlók, azaz int(φ<sub>i</sub>(''D''<sub>i</sub>)) ∩ int(φ<sub>j</sub>(''D''<sub>j</sub>)) üres, ha ''i'' ≠ ''j'', és a képek uniója összefüggő halmaz, akkor U Ran(φ<sup>i</sup>)-t előállítottuk paraméteres felületként. | ||
+ | |||
+ | Példaként említhetjük a kúp paraméterezését: | ||
+ | |||
+ | :<math>\mathbf{r}_1(\varphi, h)=\left\{\begin{matrix} h\sin\vartheta\cos \varphi\\ h\sin\vartheta\sin\varphi\\ h\end{matrix}\right.</math>, ha φ ∈ [0,2π] és ''h'' ∈ [0,''H''] | ||
+ | :<math>\mathbf{r}_2(\varphi, h)=\left\{\begin{matrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi \\ H\end{matrix}\right.</math>, ha φ ∈ [0,2π] és ''r'' ∈ [0,''R''] | ||
+ | ahol H a kúp magassága, R az alapkörsugara, θ a félkúpszöge (z a tengelye, O a csúcsa). Tehát itt a paramétertartományok [0,2π] × [0,''H''] és [0,2π] × [0,''R'']. | ||
+ | |||
+ | ''C<sup>1</sup>-ség''. Ez azért kell, mert a térfogati integrált a ''D'' paramétertartományon a | ||
+ | :<math>\int\limits_{V} \mathrm{div}\,\mathbf{v}\;\mathrm{d}V=\int\limits_{\mathbf{r}^{-1}(V)}\mathrm{div}\,\mathbf{v}(\mathbf{r}(u,v,w))|\mathrm{J}^{\mathbf{r}}(u,v,w)|\;\mathrm{d}u\mathrm{d}v\mathrm{d}w</math> | ||
+ | képlettel számoljuk és ahhoz, hogy ez létezzen, ahhoz pl. az kell, hogy ne csak az '''r''' = '''r'''(u,v,w) legyen folytonosan diff.-ható, de a divergencia is folytonos legyen. | ||
+ | |||
+ | '''Gauss-tétel''' ('''R'''<sup>2</sup>-re) Legyen ''D'' mérhető peremes síkrész, melynek perme, azaz a ∂D halmaz kifelé irányított síkbeli felület. Ha '''v''' nyílt halmazon értelmezett folytonosan '''R'''-differenciálható és Dom('''v''') tartalmazza ''D'' lezártját, akkor | ||
+ | :<math>\oint\limits_{\partial D} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}=\int\limits_{D} \mathrm{div}\,(\mathbf{v})\mathrm{d}\mathbf{A}</math> | ||
+ | ahol ∫d'''f''' kétdimenziós felületi integrált jelöl, ∫d'''A''' pedig kétdimenziós tartományi integrált. | ||
+ | |||
+ | Így tehát a komplex vonalintegrál kiszámításához csak a '''P'''' és '''Q'''' felületi integrálját kell kiszámítanunk, amihez a Gauss-tételbeli divergenciákat kell kiszámítanunk: | ||
+ | :<math>\mathrm{div}\mathbf{P}'=-\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}=0</math> | ||
+ | :<math>\mathrm{div}\mathbf{Q}'=\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y}=0</math> | ||
+ | Ami, a C-R-egyenletek miatt igaz. | ||
+ | |||
+ | Innen | ||
+ | :<math>\int\limits_{\partial D}f(z)\mathrm{d}z=0</math> | ||
+ | |||
+ | ===Stokes-tétel=== | ||
+ | |||
+ | Nézzük meg Stokes-tétellel is a bizonyítást. | ||
+ | |||
+ | '''Stokes-tétel''' ('''R'''<sup>3</sup>-ra) Legyen a nyílt halmazon értelmezett '''v''' vektorfüggvény folytonosan differenciálható, a Dom('''v''')-beli ''F'' felületen, aminek a ∂''F'' pereme legyen szintén Dom('''v''')-beli és ''F''-hez ''megfelelően irányított'' görbe. Ekkor | ||
+ | :<math>\oint\limits_{\partial F} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{F} \mathrm{rot}\,\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}</math> | ||
+ | |||
+ | '''Megjegyzes.''' A térbeli cirkulációmentességre vonatkozó nevezetes tétel ezzel a tétellel kapcsolatos. Ebben az esetben, bár az egyszeres összefüggőség nincs megkötve Dom('''v''')-re vonatkozólag, előjön a következményében: | ||
+ | |||
+ | ''Következmény.'' Ha az egyszeresen összefűggő ''U'' nyílt halmazon értelmezett '''v''' vektormező folytonosan differenciálható, akkor az alábbi három kijelentés ekvivalens egymással: | ||
+ | # rot '''v''' eltűnik ''U''-n, | ||
+ | # minden ''U''-ban haladó zárt görbén a '''v''' körintegrálja nulla, | ||
+ | # létezik '''v'''-nek ''U''-n potenciálja, azaz olyan Φ : ''U'' <math>\to</math> '''R''' függvény, melyre grad Φ = '''v'''. | ||
+ | |||
+ | Itt az egyszeres összefüggőség azért kell, mert ilyen esetben a zárt görbéhez található olyan felület, mely a tartományban halad és pereme a görbe. | ||
+ | |||
+ | '''Stokes-tétel''' ('''R'''<sup>2</sup>-re) Legyen a ''D'' síkbeli tartomany határa a ∂D zárt görbe, megfelelően irányítva. Ha '''v''' folytonosan '''R'''-differenciálható egy nyílt halmazon, mely tartalmazza ''D'' lezártját, akkor | ||
+ | :<math>\oint\limits_{\partial D} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{D} \mathrm{rot}(\mathbf{v})\,\mathrm{d}A</math> | ||
+ | |||
+ | Ekkor csak a rotációt kell kiszámítanunk: | ||
+ | |||
+ | :<math>\mathrm{rot}\mathbf{P}=\frac{\partial u}{\partial y} - \left(-\frac{\partial v}{\partial x}\right)=0</math> | ||
+ | :<math>\mathrm{rot}\mathbf{Q}=\frac{\partial v}{\partial y} - \frac{\partial u}{\partial x}=0</math> | ||
+ | |||
+ | Ami, a C-R-egyenletek miatt igaz. | ||
+ | |||
+ | Mindezekből tehát következik, hogy ha a ''D'' peremes síktartomány lezártján az ''f'' komplex függvény (értelmezett és) analitikus, akkor ''D'' peremén az ''f'' integrálja eltünik. A következőkben élesítjük úgy a tételt, hogy elegendő legyen feltenni benne, hogy ''f'' egyszer komplexen deriválható, egyszeresen összefüggő nyílt halmazon értelmezett és a görbe egy benne haladó egyszerű zárt görbe. | ||
+ | |||
+ | ===Green-tétel=== | ||
+ | |||
+ | A síkbeli Stokes-tételt néha Green-tételnek is nevezik, ha az alábbi alakban van írva. Ez a következő. Legyen a ''D'' síkbeli tartomany határa a ∂D zárt görbe, megfelelően irányítva. Ha a (P,Q) síkbeli vektormező folytonosan '''R'''-differenciálható egy nyílt halmazon, mely tartalmazza ''D'' lezártját, akkor | ||
+ | :<math>\oint\limits_{\partial D} P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y=\int\limits_{D} \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y</math> | ||
+ | |||
+ | HF: Bizonyítsuk be a tételt síkbeli normáltartományra, azaz olyan ''D''-re, melyre: | ||
+ | :<math>D=\{(x,y)\in \mathbf{R}^2\mid a\leq x\leq b, \;\psi(x)\leq y\leq \varphi(x)\}</math> | ||
+ | ahol minden x∈[a,b]-re ψ(x)≤φ(x). Itt ψ, φ folytonosan differenciálható. | ||
+ | |||
+ | ===Goursat-lemma, Cauchy-féle integráltétel=== | ||
+ | |||
+ | Goursat ennél is mélyebb eredményt talált: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''Goursat-lemma'''. A T háromszöglapon reguláris ''f'' komplex függvény integrálja a háromszög határán nulla: | ||
+ | :<math>\oint\limits_{\partial T}f=0\,</math> | ||
+ | |||
+ | ''Bizonyitas.'' A haromszoget osszuk fel 4 egybevago haromszogre: Δ=Δ<sub>1</sub>∪Δ<sub>2</sub>∪Δ<sub>3</sub>∪Δ<sub>4</sub>. Ha jol iranyitjuk a kis haromszogek hatarat, akkor | ||
+ | :<math>\int\limits_{\Delta}f=\int\limits_{\Delta_1}f+\int\limits_{\Delta_2}f+\int\limits_{\Delta_3}f+\int\limits_{\Delta_4}f</math> | ||
+ | Ezt felulbecsulhetjuk a kovetkezovel: | ||
+ | :<math>\left|\int\limits_{\Delta}f\right|\leq\sum\limits_{i=1}^4\left|\int\limits_{\Delta_i}f\right|\leq 4\max\limits_{i=1}^4\left|\int\limits_{\Delta_i}f\right|=4\left|\int\limits_{\Delta^{(1)}}f\right|</math> | ||
+ | most Δ<sup>(1)</sup>-et bontjuk fel es folytatva a felosztast egy nullahoz tarto nagysagu haromszogekbol allo egymasba skatulyazott (Δ<sup>(''n'')</sup>) haromszogsorozatot kapunk, mely egy ponthoz, a ''z''<sub>0</sub>-hoz tart. A haromszogek kerulete K/2<sup>''n''</sup>, ha K az eredeti haromszog kerulete. Erra a sorozatra tovabba: | ||
+ | :<math>\left|\int\limits_{\Delta}f\right|\leq 4^n\left|\int\limits_{\Delta^{(n)}}f\right|</math> | ||
+ | igaz. | ||
+ | |||
+ | Most felhasznaljuk a komplex differencialhatosagot. Tetszoleges ε>0 szamra van olyan kornyezete ''z''<sub>0</sub>-nak, es a haromszogsorozatnak olyan N indexe, melyre az n-edik tagok mar a kornyezetben vannak es az alabbi formulaban az |ε(z)|<ε: | ||
+ | :<math>f(z)-f(z_0)-f'(z_0)(z-z_0)-\varepsilon(z)(z-z_0)</math> | ||
+ | Ezt integralva a haromszogre: | ||
+ | :<math>|\int\limits_{\Delta^{(n)}}f(z)|=|\int\limits_{\Delta^{(n)}}f(z_0)+f'(z_0)(z-z_0)+\varepsilon(z)(z-z_0)\,dz|=|\int\limits_{\Delta^{(n)}}\varepsilon(z)(z-z_0)\,dz|=</math> | ||
+ | Itt az utolso kifejezest az ivhossz integrallal felulbecsuljuk: | ||
+ | :<math>\leq\int\limits_{\Delta^{(n)}}|\varepsilon(z)||(z-z_0)|\,d|z|<\varepsilon K^2/4^n</math> | ||
+ | Mivel ε tetszoleges volt, ezert az integral eltunik. | ||
+ | |||
+ | Innen már könnyen adódik a komplex analízis főtétele, melyet először Cauchy modott ki ugyan csak folytonosan diffható komplex függvényre, de Goursat ezt megfejelte a gyengített feltételével: | ||
+ | |||
+ | '''Főtétel.''' Ha a ''D'' egyszeresen összefüggő tartományon reguláris az ''f'' komplex függvény, akkor a tartományban minden zárt G egyszeru görbén a függvény integrálja nulla: | ||
+ | :<math>\oint\limits_{G} f=0\,</math> | ||
+ | |||
+ | ===Nehany topologiai fogalom=== | ||
+ | |||
+ | Egy ''D'' nyilt halmaz '''C'''-ben egyszeresen osszefuggo, ha benne minden zart gorbe ''pontra deformalhato''. | ||
+ | Ez utobbi a kovetkezot jelenti. Azt mondjuk, hogy a γ:[a,b]<math>\to</math>''D'' zart gorbe a <math>z_0</math> ''D''-beli pontra deformalhato a ''D'' tartomanyban, ha letezik olyan Γ:[0,1]<math>\to</math> <math>D^{[a,b]}</math> gorbe erteku fuggveny, melyre Γ(1)=γ, Γ(0)=<math>z_0</math> konstans gorbe es Γ az [a,b] es <math>D^{[a,b]}</math> terek kozott hato folytonos lekepezes a szupremumnorma szerint. | ||
+ | |||
+ | ''Csillagszeru'' egy ''H'' halmaz '''C'''-ben, ha van olyan ''H''-beli pont ''c'' pont, hogy barmely ''H''-beli ''z'' pontra a [''cz''] szakasz ''H''-ban van. | ||
+ | |||
+ | ''Pelda.'' Egy csillagszeru tartomany egyszeresen osszefuggo, mert a csillagpontra valo [0,1]-beli aranyszammal parameterezett kozeppontos kicsinyites kepei alkotta parameteres gorbesereg ilyen. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | [[Kategória:Matematika A3]] |
A lap jelenlegi, 2017. január 2., 16:39-kori változata
Tartalomjegyzék |
Komplex integrál
Görbék a komplex síkon
Ha a Γ C-beli halmaz olyan, hogy van olyan G:[a,b]C, tz(t) folytonos, veges sok kivetellel folytonosan differenciálható fuggveny, aminek az ertekkeszlete Γ, akkor Γ-t görbének nevezzük. A Γ görbe egyszerű, ha nem metszi át saját magát, azaz minden t1, t2-re, ha z(t1) = z(t2), akkor t1 = t2. G zárt, ha z(a) = z(b). A görbe t-beli irányvektorán a
komplex számot értjük.
Tobb parameterezes is elo tudja allitani a Γ gorbet. Ezek kozul kettot, a z1-et es a z2-t ekvivalensnek nevezunk, ha van olyan g:[a,b][c,d] folytonos valos fuggveny, ami (a,b)-n differencialhato, g'>0 es . Az osszes parameterezesek halmaza ket osztalyra esik szet, ezek a gorbe ellentetes parameterezeseit adjak.
Példák
1. Legyen t∈[a,b]-re z(t) = x(t) + iy(t) olyan, hogy x(t) = x0 + w1t és y(t) = y0 + w2t, azaz z(t) = z0 + wt. Ekkor z(t) egy egyenes szakasz.
És ekkor:
2. Az origó középpontú R sugarú kör:
- z(t) = Reit t∈[0,2π]
Hiszen ekkor a kör egyenlete:
- x(t) = Rcos(t)
- y(t) = Rsin(t)
ahonnan a komplex írásmódban
- z(t) = x(t) + iy(t) = Rcos(t) + iRsin(t) = R(cos(t) + isin(t))
ami az Euler-formula alapján:
- z(t) = Reit
És ekkor a deriváltja:
hiszen
Ha a kör középpontja z0 = x0 + iy0, akkor
- x(t) = Rcos(t) + x0
- y(t) = Rsin(t) + y0
azaz
- z(t) = Reit + z0
Komplex vonalmenti integrál
Definíció. Ha G:[a,b]C görbe és f olyan komplex függvény, melyre Ran(G)⊆Dom(f), és f folytonos, akkor belátható, hogy létezik a
határérték, mely egy speciális Riemann-közelítőösszeg határértéke. Itt a görbén kijelöltük a véges sok zi pontot, melyek a szigorúan monoton (ti)-khez tartoznak a zi = z(ti) definícióval. Ezen [z(ti),z(ti + 1)] görbeszakaszokon belül felvettük tetszőlegesen a ζi közbülső pontokat, és a Δzi=[z(ti),z(ti + 1)] szakaszokkal elkészítettük az f(ζi)Δzi komplex szorzatokat. A határérték ezek görbére vett összegének határértéke. Ez a határérték az f függvény G-re vett komplex integrálja.
Kiszámítási formula. Belátható, hogy a fenti integrál a következőkkel egyenlő:
Megjegyzes A helyettesiteses integralas tetelenek felhasznalasaval belathato, hogy ez az integral fuggetlen a parametertezestol, ha azok ugyanazt az iranyitast hatarozzak meg.
Megj. A kiszamitasi formulaban skalarvaltozos vektorerteku fuggveny integralja szerepel. Ezt a kovetkezokeppen kell kiszamitani:
Példa
1. a) Legyen G a komplex egységkör pozitívan irányítva.
Ahol a valós Newton--Leibniz-formulát alkalmaztuk a komponensfüggvényekre.
- b) Integráljuk az
függvény a z0 középpontú R sugarú pozitívan irányított körre, azaz a | z − z0 | = R egyenletű görbére.
Ekkor a görbe paraméterezése:
- z(t) = Reit + z0,
2. Legyen G a z(t)=(1+2i)t, ahol t∈[0,1].
3. Legyen G a komplex egységkör felső fele, pozitívan irányítva.
Komplex Newton--Leibniz-formula
Ha az f komplex függvény, olyan, hogy van olyan komplex differenciálható F, melyre F'=f, akkor azt mondjuk, hogy az F az f primitív függvénye.
Komplex Newton--Leibniz-formula. Ha a nyílt halmazon értelmezett f komplex függvénynek primitív függvénye az F, akkor minden az f értelmezési tartományában haladó G:[a,b]C görbére:
(Ha még nem tudjuk, hogy reguláris függvény analitikus, akkor f-ről fel kell tennünk, hogy folytonos.)
4. Legyen . Mi az egységkörre az integrálja?
primitívfüggvénye f-nek, ezért
hiszen zárt a görbe, azaz a pr. fv. a kezdő és végpontban ugyanannyi.
Visszavezetés valós vonalintegrálra es feluleti integralra
Az integrál kifejezhető vonalintegrállal. Ha ugyanis f= u + iv, akkor az f=(u,v) vektormezőnek olyan differenciálforma szerinti integrálja a komplex pályamenti integrál, mely az f=(u,v) vektor és a dz=(dx,dy) infinitezimális elmozdulásvektor komplex szorzásaként jön létre:
Ebben a felírásban az (u,-v) és (v,u) olyan segédvektormezők, melyek vonalintegráljai adják meg a komplex integrál valós és képzetes részét. Tehát az integrált a
- és
segédvektormezők síkbeli vonalintegráljai
vagy
- és
segédvektormezők síkbeli felületi integráljai
szolgáltatják.
Itt érdemes feleleveníteni, hogy az v = (v1, v2) síkvektormező felületi integráljat a (v1, v2)(df1, df2) "differencialforma" integralasa adja. Itt az infinitezimalis feluletelem (df1, df2)=(dy,-dx).
- .
A N.--L.-tétel bizonyitasa. A vonalintegrálra vonatkozó Newton--Leibniz-tétel (I. gradiens tétel) a következő: ha Φ folytonosan differenciálható, az értelmezési tartományában haladó G görge végpontjai: a és b, akkor
Ezt a segédvektormezőkre fogjuk alkalmazni.
- F = Φ + iΨ
u,v folytonos differenciálhatósága sajnos csak egy későbbi tétel következménye, miszerint reguláris függvény analitikus. Addig a tételben ideiglenesen ki kell kötnünk, hogy f folytonos.
Tétel. Ha a D nyílt halmazon értelmezett f függvénynek van primitív függvénye, akkor f körintegrálja minden a D-ben haladó zárt görbére nulla:
További információhoz akkor jutunk, ha a többváltozós analízis cirkulációmentességi feltételeit vizsgáljuk. Ehhez a vissza kell vezetni a komplex integrált a vonalintegrálra.
Cirkulációmentesség
Gauss-tétel
Lássuk először Gauss-tétellel, hogyan következtethetünk a körintegrál eltűnésére.
Gauss-tétel (R3-ra) Legyen v nyílt halmazon értelmezett C1-függvény, V merheto, peremes térrész és legyen ennek pereme a ∂V kifelé irányított felület. Ha V a peremével együtt Dom(v)-ben van, akkor
Megjegyzes. Az itt szereplő fogalmak közül néhányról beszélnünk kell.
Felület. Legyenek a φi:Di R3 függvények folytonosan differenciálhatóak és injektívek int(Di)-n, melyek mérhető tartományok R2-ben. Ha a képeik egymásba nem nyúlók, azaz int(φi(Di)) ∩ int(φj(Dj)) üres, ha i ≠ j, és a képek uniója összefüggő halmaz, akkor U Ran(φi)-t előállítottuk paraméteres felületként.
Példaként említhetjük a kúp paraméterezését:
- , ha φ ∈ [0,2π] és h ∈ [0,H]
- , ha φ ∈ [0,2π] és r ∈ [0,R]
ahol H a kúp magassága, R az alapkörsugara, θ a félkúpszöge (z a tengelye, O a csúcsa). Tehát itt a paramétertartományok [0,2π] × [0,H] és [0,2π] × [0,R].
C1-ség. Ez azért kell, mert a térfogati integrált a D paramétertartományon a
képlettel számoljuk és ahhoz, hogy ez létezzen, ahhoz pl. az kell, hogy ne csak az r = r(u,v,w) legyen folytonosan diff.-ható, de a divergencia is folytonos legyen.
Gauss-tétel (R2-re) Legyen D mérhető peremes síkrész, melynek perme, azaz a ∂D halmaz kifelé irányított síkbeli felület. Ha v nyílt halmazon értelmezett folytonosan R-differenciálható és Dom(v) tartalmazza D lezártját, akkor
ahol ∫df kétdimenziós felületi integrált jelöl, ∫dA pedig kétdimenziós tartományi integrált.
Így tehát a komplex vonalintegrál kiszámításához csak a P' és Q' felületi integrálját kell kiszámítanunk, amihez a Gauss-tételbeli divergenciákat kell kiszámítanunk:
Ami, a C-R-egyenletek miatt igaz.
Innen
Stokes-tétel
Nézzük meg Stokes-tétellel is a bizonyítást.
Stokes-tétel (R3-ra) Legyen a nyílt halmazon értelmezett v vektorfüggvény folytonosan differenciálható, a Dom(v)-beli F felületen, aminek a ∂F pereme legyen szintén Dom(v)-beli és F-hez megfelelően irányított görbe. Ekkor
Megjegyzes. A térbeli cirkulációmentességre vonatkozó nevezetes tétel ezzel a tétellel kapcsolatos. Ebben az esetben, bár az egyszeres összefüggőség nincs megkötve Dom(v)-re vonatkozólag, előjön a következményében:
Következmény. Ha az egyszeresen összefűggő U nyílt halmazon értelmezett v vektormező folytonosan differenciálható, akkor az alábbi három kijelentés ekvivalens egymással:
- rot v eltűnik U-n,
- minden U-ban haladó zárt görbén a v körintegrálja nulla,
- létezik v-nek U-n potenciálja, azaz olyan Φ : U R függvény, melyre grad Φ = v.
Itt az egyszeres összefüggőség azért kell, mert ilyen esetben a zárt görbéhez található olyan felület, mely a tartományban halad és pereme a görbe.
Stokes-tétel (R2-re) Legyen a D síkbeli tartomany határa a ∂D zárt görbe, megfelelően irányítva. Ha v folytonosan R-differenciálható egy nyílt halmazon, mely tartalmazza D lezártját, akkor
Ekkor csak a rotációt kell kiszámítanunk:
Ami, a C-R-egyenletek miatt igaz.
Mindezekből tehát következik, hogy ha a D peremes síktartomány lezártján az f komplex függvény (értelmezett és) analitikus, akkor D peremén az f integrálja eltünik. A következőkben élesítjük úgy a tételt, hogy elegendő legyen feltenni benne, hogy f egyszer komplexen deriválható, egyszeresen összefüggő nyílt halmazon értelmezett és a görbe egy benne haladó egyszerű zárt görbe.
Green-tétel
A síkbeli Stokes-tételt néha Green-tételnek is nevezik, ha az alábbi alakban van írva. Ez a következő. Legyen a D síkbeli tartomany határa a ∂D zárt görbe, megfelelően irányítva. Ha a (P,Q) síkbeli vektormező folytonosan R-differenciálható egy nyílt halmazon, mely tartalmazza D lezártját, akkor
HF: Bizonyítsuk be a tételt síkbeli normáltartományra, azaz olyan D-re, melyre:
ahol minden x∈[a,b]-re ψ(x)≤φ(x). Itt ψ, φ folytonosan differenciálható.
Goursat-lemma, Cauchy-féle integráltétel
Goursat ennél is mélyebb eredményt talált:
Goursat-lemma. A T háromszöglapon reguláris f komplex függvény integrálja a háromszög határán nulla:
Bizonyitas. A haromszoget osszuk fel 4 egybevago haromszogre: Δ=Δ1∪Δ2∪Δ3∪Δ4. Ha jol iranyitjuk a kis haromszogek hatarat, akkor
Ezt felulbecsulhetjuk a kovetkezovel:
most Δ(1)-et bontjuk fel es folytatva a felosztast egy nullahoz tarto nagysagu haromszogekbol allo egymasba skatulyazott (Δ(n)) haromszogsorozatot kapunk, mely egy ponthoz, a z0-hoz tart. A haromszogek kerulete K/2n, ha K az eredeti haromszog kerulete. Erra a sorozatra tovabba:
igaz.
Most felhasznaljuk a komplex differencialhatosagot. Tetszoleges ε>0 szamra van olyan kornyezete z0-nak, es a haromszogsorozatnak olyan N indexe, melyre az n-edik tagok mar a kornyezetben vannak es az alabbi formulaban az |ε(z)|<ε:
Ezt integralva a haromszogre:
Itt az utolso kifejezest az ivhossz integrallal felulbecsuljuk:
Mivel ε tetszoleges volt, ezert az integral eltunik.
Innen már könnyen adódik a komplex analízis főtétele, melyet először Cauchy modott ki ugyan csak folytonosan diffható komplex függvényre, de Goursat ezt megfejelte a gyengített feltételével:
Főtétel. Ha a D egyszeresen összefüggő tartományon reguláris az f komplex függvény, akkor a tartományban minden zárt G egyszeru görbén a függvény integrálja nulla:
Nehany topologiai fogalom
Egy D nyilt halmaz C-ben egyszeresen osszefuggo, ha benne minden zart gorbe pontra deformalhato. Ez utobbi a kovetkezot jelenti. Azt mondjuk, hogy a γ:[a,b]D zart gorbe a z0 D-beli pontra deformalhato a D tartomanyban, ha letezik olyan Γ:[0,1] D[a,b] gorbe erteku fuggveny, melyre Γ(1)=γ, Γ(0)=z0 konstans gorbe es Γ az [a,b] es D[a,b] terek kozott hato folytonos lekepezes a szupremumnorma szerint.
Csillagszeru egy H halmaz C-ben, ha van olyan H-beli pont c pont, hogy barmely H-beli z pontra a [cz] szakasz H-ban van.
Pelda. Egy csillagszeru tartomany egyszeresen osszefuggo, mert a csillagpontra valo [0,1]-beli aranyszammal parameterezett kozeppontos kicsinyites kepei alkotta parameteres gorbesereg ilyen.