Matematika A2a 2008/9. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) a (→Példa 1.) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Példa 1.) |
||
3. sor: | 3. sor: | ||
Az f(x,y) kétváltozós függvény intergálja tengelyekkel párhuzamos oldalú téglalap alakú tartományon nem függ az integrálás sorrendjétől. Ezesetben a "másik változót" mindig konstansnak vesszük: | Az f(x,y) kétváltozós függvény intergálja tengelyekkel párhuzamos oldalú téglalap alakú tartományon nem függ az integrálás sorrendjétől. Ezesetben a "másik változót" mindig konstansnak vesszük: | ||
:<math>\int\limits_{[a,b]\times[c,d]}f=\int\limits_{x=a}^b\left(\int\limits_{y=c}^d f(x,y)\;\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}x=\int\limits_{x=a}^b\int\limits_{y=c}^d f(x,y)\;\mathrm{d}y\mathrm{d}x=\int\limits_{y=c}^d\left(\int\limits_{x=a}^b f(x,y)\;\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}y</math> | :<math>\int\limits_{[a,b]\times[c,d]}f=\int\limits_{x=a}^b\left(\int\limits_{y=c}^d f(x,y)\;\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}x=\int\limits_{x=a}^b\int\limits_{y=c}^d f(x,y)\;\mathrm{d}y\mathrm{d}x=\int\limits_{y=c}^d\left(\int\limits_{x=a}^b f(x,y)\;\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}y</math> | ||
− | === | + | ===1. Példa=== |
Ha f(x,y) = x és a [0,2]×[0,2]-n integráljuk, akkor először az y szerinti integrált elvégezve (eközben x állandónak minősül), majd a határozott integrált kiszámolva az x szerintit integrálva: | Ha f(x,y) = x és a [0,2]×[0,2]-n integráljuk, akkor először az y szerinti integrált elvégezve (eközben x állandónak minősül), majd a határozott integrált kiszámolva az x szerintit integrálva: | ||
: <math>\int\limits_{x=0}^2\int\limits_{y=0}^2x\;\mathrm{d}y\mathrm{d}x=\int\limits_{x=0}^2\left(\int\limits_{y=0}^2x\;\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}x=</math> | : <math>\int\limits_{x=0}^2\int\limits_{y=0}^2x\;\mathrm{d}y\mathrm{d}x=\int\limits_{x=0}^2\left(\int\limits_{y=0}^2x\;\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}x=</math> | ||
12. sor: | 12. sor: | ||
: <math>\int\limits_{y=0}^2\int\limits_{x=0}^2x\;\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int\limits_{y=0}^2\left(\int\limits_{x=0}^2x\;\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}y=</math> | : <math>\int\limits_{y=0}^2\int\limits_{x=0}^2x\;\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int\limits_{y=0}^2\left(\int\limits_{x=0}^2x\;\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}y=</math> | ||
:<math>=\int\limits_{y=0}^2\left[\frac{x^2}{2}\right]_{x=0}^{2} \;\mathrm{d}y=\int\limits_{y=0}^22\;\mathrm{d}y=[2y]_{y=0}^{2}=4</math> | :<math>=\int\limits_{y=0}^2\left[\frac{x^2}{2}\right]_{x=0}^{2} \;\mathrm{d}y=\int\limits_{y=0}^22\;\mathrm{d}y=[2y]_{y=0}^{2}=4</math> | ||
− | + | ===2. Példa=== | |
+ | Korlátos, megszámlálható sok szakadási ponttal rendelkező függvény is integrálható: | ||
+ | |||
<center> | <center> |
A lap 2008. április 19., 10:10-kori változata
- Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.
Kétváltozós függvény integrálása téglán
Az f(x,y) kétváltozós függvény intergálja tengelyekkel párhuzamos oldalú téglalap alakú tartományon nem függ az integrálás sorrendjétől. Ezesetben a "másik változót" mindig konstansnak vesszük:
1. Példa
Ha f(x,y) = x és a [0,2]×[0,2]-n integráljuk, akkor először az y szerinti integrált elvégezve (eközben x állandónak minősül), majd a határozott integrált kiszámolva az x szerintit integrálva:
Hangsúlyozzuk, hogy itt két esetben a Newton-Leibniz-formulát használtuk a határozott integrál kiszámítására:
ahol F az f primitív függvénye (vagy határozatlan integrálja). Az eslő esetben az y változó szerepeltetése az integrál kiszámítását követően indokolatlanná vált, de az x megmaradt, amit tovább kellet integrálni az x változóra vonatkozóan. Fordított esetben szintén 4-et kapunk:
2. Példa
Korlátos, megszámlálható sok szakadási ponttal rendelkező függvény is integrálható:
8. gyakorlat | 10. gyakorlat |