Matematika A3a 2008/2. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Feladatok) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Feladatok) |
||
87. sor: | 87. sor: | ||
2. <math>\frac{z-i}{z^2+1}=\frac{z-i}{(z+i)(z-i)}=\frac{1}{z+i}\longrightarrow_{z\to -i}\infty</math> | 2. <math>\frac{z-i}{z^2+1}=\frac{z-i}{(z+i)(z-i)}=\frac{1}{z+i}\longrightarrow_{z\to -i}\infty</math> | ||
− | 3. <math>\frac{\frac{1}{z-1}+i}{\frac{1}{z^2-1}-i}=\frac{iz+1-i}{-iz^2+i+1}(z+1)</math> | + | 3. <math>\frac{\frac{1}{z-1}+i}{\frac{1}{z^2-1}-i}=\frac{ \frac{1+iz-i}{z-1} }{ \frac{1-iz^2+i}{z^2-1} }=\frac{ \frac{1+iz-i}{z-1} }\cdot \frac{(z+1)(z-1)}{1-iz^2+i}=\frac{iz+1-i}{-iz^2+i+1}(z+1)=\frac{-z+i+1}{z^2-1+i}(z+1)</math> |
[[Kategória:Matematika A3]] | [[Kategória:Matematika A3]] |
A lap 2008. szeptember 18., 12:09-kori változata
Tartalomjegyzék |
Feladatok folytnosságra
1. Folytonos-e a z = 0-ban az
Megoldás.
Ha z = x + iy és (x,y) ≠ (0,0), akkor:
A komponensfüggvények felírhatók egy 0-hoz tartó és egy korlátos függvény szorzataként:
és
így (x,y)(0,0) esetén a 0-hoz tartanak, így a függvény maga a (0,0)-hoz, azaz a komplex 0-hoz. Mivel itt a függvény értéke 0, ezért f a 0-ban folytonos.
2. Folytonos-e a z = i-ben az
Ha z = x + iy és (x,y) ≠ (0,1), akkor:
Már az első komponens határértéke sem létezik, hisz (x,y)=(0,y) mentén alulról a (0,1)-hez tartva a határérték -1, az x=y-1 mentén pedig -1/gyök kettő.
A második tényező szintén nem.
Feladatok függvényhatárértékre
Végtelen határérték
Definíció – Végtelen és alapműveletek – Az alábbi műveleti szabályokat vezetjük be a ∞, szimbólumra vonatkozóan, az alábbiakban z tetszőleges komplex szám, n tetszőleges nemnulla komplex szám:
- ,
- ,
- ,
- ,
továbbá a szorzás és az összeadás kommutatív.
Megjegyezzük még, hogy , azaz a végtelen konjugáltja saját maga.
Definíció – Határozatlan esetek – Az alábbi alapműveletek nem értelmezhetők:
- ,
- ,
- ,
Állítás – Végtelen határérték és alapműveletek – Ha az f és g komplex függvényeknek létezik határértékük az helyen, az f * g alapművelettl elkészített függvény értelmezési tartományának torlódási pontja u és a limu f * limu g alapművelet elvégezhető, akkor az f * g függvénynek is van határértéke u-ban és ez:
Ezenkívül a határozatlan esetekben, amikor a határértékekkel végzett műveletek nem értelmezettek, az alapműveletekkel elkészített függvények határértékeire nem adható általános képlet (mert alkalmasan választott esetekben máshoz és máshoz tartanak).
Feladatok
3. Igazoljuk definíció szerint, hogy
Megoldás. |1/z| < ε, ha |z| < δ és fordítva.
4. Számítsuk ki az alábbi határértékeket, ha léteznek!
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
Megoldás.
1. nemnulla z-re:
de ekkor például az első komponensfüggvény x = 0 felől közelítve 0, míg az x = y-felől:1/2, azaz nem létezik az első komponensnek a (0,0)-ban határértéke, azaz a komplex függvénynek sem.
2.
3.