Matematika A3a 2009/10. gyakorlat
A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Feladatok) |
||
14. sor: | 14. sor: | ||
egyenletet az y(1) = 1 kezdeti feltétel mellett! | egyenletet az y(1) = 1 kezdeti feltétel mellett! | ||
− | ''Mo.'' | + | ''Mo.'' Nem egzakt, nem homogén fokszámú. |
:<math>\partial_yP=2y\not\equiv y=\partial_xQ\,</math> | :<math>\partial_yP=2y\not\equiv y=\partial_xQ\,</math> | ||
Keressünk integráló szorzót! | Keressünk integráló szorzót! | ||
− | :<math>R=\frac{\partial_y P-\partial_xQ}{Q}=\frac{y}{xy}=\frac{1}{x}</math> csak x-től függő. Ekkor | + | :<math>R=\frac{\partial_y P-\partial_xQ}{Q}=\frac{y}{xy}=\frac{1}{x}</math> csak x-től függő. |
− | :<math>\mu(x)=e^{\int R(x)\,\mathrm{d}x} | + | Ekkor |
+ | :<math>\mu(x)=e^{\int R(x)\,\mathrm{d}x}=e^{\mathrm{ln}\,x}=x | ||
</math> | </math> | ||
+ | Valóban, ha | ||
+ | :<math>(x^3+xy^2+x^2)+y'x^2y=0\,</math> | ||
+ | akkor | ||
+ | :<math>\partial_y(\mu P)=2xy\equiv 2xy=\partial_x(\mu Q)\,</math> | ||
+ | Keressünk potenciálfüggvényt! Az alábbi parciális differenciálegyenletet kell megoldanunk. | ||
+ | :<math>\partial_xF=x^3+xy^2+x^2,\quad\partial_yF=x^2y\,</math> | ||
+ | Mindkét egyenletet integráljuk aszerint a változó szerint, ami szerint a deriválás történik: | ||
+ | :<math>F(x,y)=\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{2}x^2y^2+\frac{1}{3}x^3+C_1(y)\,</math> | ||
+ | :<math>F(x,y)=\frac{1}{2}x^2y^2+C_2(x)\,</math> | ||
+ | Összehasonlítva: | ||
+ | :<math>F(x,y)=\frac{1}{2}x^2y^2+\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{3}x^3\,</math> | ||
+ | Valóban, ennek e megfelel. Az első integrál: | ||
+ | :<math>\frac{1}{2}x^2y^2+\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{3}x^3=C\,</math> | ||
+ | Speciálisan ebből kifejezhető az (1,1)-en áthaladó megoldás: | ||
+ | :<math>6x^2y^2+3x^4+4x^3=13\,</math> | ||
+ | és | ||
+ | :<math>y(x)=\frac{\sqrt{13-3x^4-4x^3}}{\sqrt{6}x}\,</math> |
A lap 2009. december 3., 19:59-kori változata
Típusok és módszerek
- Elsőrendű közönséges nemlineáris --> szeparábilis (ill. homogén fokszámú) vagy egzaktá tehető
- Elsőrendű lineáris --> hom. ált. + inh. part.
- Elsőrendű lineáris homogén --> szeparábilis
- Elsőrendű lineáris inhomogén --> állandók variálása
- Másodrendű hiányos --> 3 eset (g(x) hiányzik, y hiányzik, y' hiányzik)
- Másodrendű állandóegyütthatójú lineáris
- --> próbafüggvény
- --> Laplace
- egyenletredszert Laplace-szal
Feladatok
1. Oldjuk meg az
egyenletet az y(1) = 1 kezdeti feltétel mellett!
Mo. Nem egzakt, nem homogén fokszámú.
Keressünk integráló szorzót!
- csak x-től függő.
Ekkor
Valóban, ha
akkor
Keressünk potenciálfüggvényt! Az alábbi parciális differenciálegyenletet kell megoldanunk.
Mindkét egyenletet integráljuk aszerint a változó szerint, ami szerint a deriválás történik:
Összehasonlítva:
Valóban, ennek e megfelel. Az első integrál:
Speciálisan ebből kifejezhető az (1,1)-en áthaladó megoldás:
és