Matematika A3a 2009/10. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Állandó együtthatójú másodrendű lineáris próbafüggvénymódszerrel) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Állandó együtthatójú másodrendű lineáris próbafüggvénymódszerrel) |
||
73. sor: | 73. sor: | ||
'''3.''' | '''3.''' | ||
− | :a) <math>y''-2y'+y=1+x \ | + | :a) <math>y''-2y'+y=1+x \,</math> |
− | :b) <math>y''+2y'+y=e^{-x}\ | + | :b) <math>y''+2y'+y=e^{-x}\,</math> |
− | :c) <math>y''+4y=\cos 2x \ | + | :c) <math>y''+4y=\cos 2x \,</math> |
A lap 2009. december 3., 21:34-kori változata
Tartalomjegyzék |
Típusok és módszerek
- Elsőrendű közönséges nemlineáris --> szeparábilis (ill. homogén fokszámú) vagy egzaktá tehető
- Elsőrendű lineáris --> hom. ált. + inh. part.
- Elsőrendű lineáris homogén --> szeparábilis
- Elsőrendű lineáris inhomogén --> állandók variálása
- Másodrendű hiányos --> 3 eset (g(x) hiányzik, y hiányzik, y' hiányzik)
- Másodrendű állandóegyütthatójú lineáris
- --> próbafüggvény
- --> Laplace
- egyenletredszert Laplace-szal
Feladatok
Egzaktra visszavezethető
1. Oldjuk meg az
egyenletet az y(1) = 1 kezdeti feltétel mellett!
Mo. Nem egzakt, nem homogén fokszámú.
Keressünk integráló szorzót!
- csak x-től függő.
Ekkor
Valóban, ha
akkor
Keressünk potenciálfüggvényt! Az alábbi parciális differenciálegyenletet kell megoldanunk.
Mindkét egyenletet integráljuk aszerint a változó szerint, ami szerint a deriválás történik:
Összehasonlítva:
Valóban, ennek e megfelel. Az első integrál:
Speciálisan ebből kifejezhető az (1,1)-en áthaladó megoldás:
és
Elsőrendű függvényegyütthatós inhomogén differenciálegyenletet
2. Oldjuk meg az alábbi elsőrendű függvényegyütthatós inhomogén differenciálegyenletet!
Mo. I. A homogén egyenletet szeparálással:
II. Partikuláris megoldást keresünk az inhomogén egyenlet részére. A megoldást
alakban keressük.
az egyenlet ekkor ilyen alakú:
Tehát az inhomogén egyenlet általános megoldása:
Valóban,
Állandó együtthatójú másodrendű lineáris próbafüggvénymódszerrel
Az állandó együtthatójú másodrendű lineáris differenciálegyenlet megoldása kvadratúra nélkül megkapható, ha az
alakban az f(x) perturbáló függvény (szabad tag) a következő függvény:
Ekkor ugyanis a partikuláris megoldás kereshető az
alakban, ahol k megmutatja, hogy az αβ szám hányszoros gyöke a
karakterisztikus polinomnak és a Q-k olyan fokszámú meghatározandó polinomok, mint a P-közül a nagyobbik fokszámú.
3.
- a)
- b)
- c)