Szerkesztő:Mozo/Linalg gyakorló 3.
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→1) |
||
1. sor: | 1. sor: | ||
==1== | ==1== | ||
− | + | Legyen <math>L_1</math> valódi altere az <math>L</math> vektortérnek (az az <math>L_1</math><math>\ne</math><math>L</math>). Igazoljuk, hogy ekkor <math>\mathrm{dim}\,L_1<\mathrm{dim}\,L</math>. | |
''Mo.'' Először is hivatkozunk arra, hogy ha F független rendszer, B bázis és G generátorrendszer, akkor <math>|F|\leq|B|\leq |G|</math>. <math>L_1</math> egy ''B'' bázisa lineárisan független rendszer <math>L</math>-ben, így <math>|B|\leq n</math>, ahol <math>n=\mathrm{dim}\,L</math>. | ''Mo.'' Először is hivatkozunk arra, hogy ha F független rendszer, B bázis és G generátorrendszer, akkor <math>|F|\leq|B|\leq |G|</math>. <math>L_1</math> egy ''B'' bázisa lineárisan független rendszer <math>L</math>-ben, így <math>|B|\leq n</math>, ahol <math>n=\mathrm{dim}\,L</math>. |
A lap 2010. március 11., 22:09-kori változata
1
Legyen L1 valódi altere az L vektortérnek (az az L1L). Igazoljuk, hogy ekkor .
Mo. Először is hivatkozunk arra, hogy ha F független rendszer, B bázis és G generátorrendszer, akkor . L1 egy B bázisa lineárisan független rendszer L-ben, így , ahol .
Most tegyük fel indirekten, hogy |B|=n. Van olyan v vektor L-ben, ami független B-től, mert ha nem lenne, akkor B generátorrendszere lenne L-nek, amiből az következne, hogy L1=L lenne. BU{v} tehát független rendszer, azaz van L-ben n+1 elemű független rendszer. De L minden független rendszere legfeljebb csak n elemű, ami ellentmondás.
2
2. a)
Mo.
Ax=b-nek pontosan akkor van megoldása, ha r(A)=r(A|b) (itt a r(A) az A mátrix rangja). r(A) az oszlopok által kifeszített altér dimenziója.
hisz egyrészt csak háromemeletesek, másrészt van három független (1.,2.,4. oszlop). r(A)=3 pontosan akkor, ha a≠0. Ezesetben pedig valóban 1 megoldás van, mert det(A) ≠ 0.
Megoldás: x_0+Ker(A), Ker(A)={0}, mert A invertálható:
x_0=(-1,-2,-1)
b)
Mo.
Megoldhatóság: b=0
Megoldások száma: végtelen, mert dimKer(A)=3-dimIm(A)=3-2=1
Megoldások: inhomogén: (-1,0,1). Ker(A)={t(-2,1,1)}
3
3. Oldjuk meg az AX=B mátrixegyenletet, ha a)
és ill.
b) és