Szerkesztő:Mozo/A2 szigorlati tematika
A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
Mozo (vitalap | szerkesztései) (Új oldal, tartalma: „'''1. Halmazalgebra, függvényterek topológiája''' :(Halmazműveletek, halmazok Boole-algebrája, ''metszet-unió disztributivitás és duálisának bizonyítása''…”) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
1. sor: | 1. sor: | ||
'''1. Halmazalgebra, függvényterek topológiája''' | '''1. Halmazalgebra, függvényterek topológiája''' | ||
− | :(Halmazműveletek, halmazok Boole-algebrája, ''metszet-unió disztributivitás és duálisának bizonyítása'' | + | :(Halmazműveletek, halmazok Boole-algebrája, '''metszet-unió disztributivitás és duálisának bizonyítása''' lineáris műveletek függvénytereken, szuprémum és p-edik norma, távolság, gömbi környezetek, zárt, nyílt, nyílt-zárt, korlátos, kompakt halmazok, véges dimenziós normált terek normáinak ekvivalenciája) |
'''2. Konvergencia függvényterekben''' | '''2. Konvergencia függvényterekben''' | ||
− | :('''R''', '''R'''<sup>n</sup>, B[a,b]-beli sorozatok és sorok konvergenciája, Cauchy-sorozatok, pontonkénti és egyenletes konvergencia kapcsolata, '''páratlan gyökkitevőjű gyökfüggvények sorozatának pontonkénti és egyenletes konvergenciája''',határfüggvény folytonossága, deriválhatósága és integrálhatósága, Weierstrass-kritérium, egyenletes konvergencia cáfolása) | + | :('''R''', '''R'''<sup>n</sup>, B[a,b]-beli sorozatok és sorok konvergenciája, Cauchy-sorozatok, pontonkénti és egyenletes konvergencia kapcsolata, '''páratlan gyökkitevőjű gyökfüggvények sorozatának pontonkénti és egyenletes konvergenciája''', határfüggvény folytonossága, deriválhatósága és integrálhatósága, Weierstrass-kritérium, egyenletes konvergencia cáfolása) |
'''3. Speciális függvénysorok''' | '''3. Speciális függvénysorok''' | ||
− | :(Hatványsorok konvergenciatartománya, Cauchy--Hadamard-tétel, '''az arctg sorfejtése [-π/4,π/4]-ben''', Taylor-tétel Lagrange-féle maradéktaggal, a Taylor-polinom hibája, hibabecslés Leibniz-sor esetén, Fourier-sor, páros és páratlan lépcsős függvények Fourier-sora) | + | :(Hatványsorok konvergenciatartománya, Cauchy--Hadamard-tétel, '''az arctg sorfejtése [-π/4,π/4]-ben''', hatványsor együtthatósorozatának egyértelműsége, Taylor-tétel Lagrange-féle maradéktaggal,h a Taylor-polinom hibája, hibabecslés Leibniz-sor esetén, Fourier-sor, függvényátlag a sorban (a<sub>0</sub>), páros és páratlan lépcsős függvények Fourier-sora) |
'''4. Numerikus sorok''' | '''4. Numerikus sorok''' | ||
12. sor: | 12. sor: | ||
'''5. Folytonosság''' | '''5. Folytonosság''' | ||
− | :(Bolzano- ill. egy és többváltozós '''Weierstrass-tétel''', egyenletes folytonosság, Heine tétele, korlátos derivált és egyenletes folytonosság, folytonosság és határérték kapcsolata) | + | :(Bolzano- ill. egy és többváltozós '''Weierstrass-tétel és bizonyítása''', egyenletes folytonosság, Heine tétele, korlátos derivált és egyenletes folytonosság, folytonosság és határérték kapcsolata) |
− | '''6. Differenciálhatóság''' | + | '''6. Egyenletes folytonosság''' |
+ | :(Egyenletes folytonosság definíciója, '''Heine tétele és bizonyítása''', korlátos derivált és egyenletes folytonosság, egyenletes folytonosság kiterjesztése az értelmezési tartomány határpontjaira) | ||
+ | |||
+ | '''7. Differenciálhatóság''' | ||
:(Parciális és totális deriválhatóság, folytonos differenciálhatóság és ezek kapcsolata, '''a differenciál mátrix-reprezentációja Jacobi-mátrix''', Young-tétel) | :(Parciális és totális deriválhatóság, folytonos differenciálhatóság és ezek kapcsolata, '''a differenciál mátrix-reprezentációja Jacobi-mátrix''', Young-tétel) | ||
− | ''' | + | '''8. Implicit és inverz függvény tétel''' |
:(Inverz definíciója, '''egyváltozós függvény inverzének létezése,''' két és többváltozós inverz és implicit-függvény tétel) | :(Inverz definíciója, '''egyváltozós függvény inverzének létezése,''' két és többváltozós inverz és implicit-függvény tétel) | ||
− | ''' | + | '''9. Valós értékű függvények vizsgálata''' |
:(A függvénytulajdonságok analitikus jellemzése (szélsőérték, monotonitás, konvexitás), első és második derivált próba, Hesse- és Jacobi-mátrixok, '''Lagrange-tétel és bizonyítása''') | :(A függvénytulajdonságok analitikus jellemzése (szélsőérték, monotonitás, konvexitás), első és második derivált próba, Hesse- és Jacobi-mátrixok, '''Lagrange-tétel és bizonyítása''') | ||
− | ''' | + | '''10. ''' |
+ | :(Egyváltozós Riemann-integrál, Riemann-integrálhatóság jellemzése (korlátosság, nullmértékűség), monoton függvényel szakadásai, primitív függvény, '''Newton--Leibniz-tétel és bizonyítása''', improprius integrál és létezésének kritériumai) | ||
+ | |||
+ | '''11.''' | ||
+ | :(Többváltozós függvények Riemann-integrálja téglán, paraméteres integrálok, '''a paraméteres integrál egyenlősége a Riemann-integrállal''', integrálhatóság korlátos tartományon, korlátoson ill. kompakton nem R-integrálható függvények, Jordan-mérhetőség) | ||
+ | |||
+ | '''12.''' | ||
+ | :(Intergáltranszformációs tétel, polár, henger és gömbi koordinátázás, hiperbola-lineáris koordinátahálózatban integrálás, '''polárkoordináta-áttérés Jacobi-determinánsa''', integrálok felcserélése) | ||
+ | |||
+ | '''13.''' |
A lap 2015. május 24., 08:37-kori változata
1. Halmazalgebra, függvényterek topológiája
- (Halmazműveletek, halmazok Boole-algebrája, metszet-unió disztributivitás és duálisának bizonyítása lineáris műveletek függvénytereken, szuprémum és p-edik norma, távolság, gömbi környezetek, zárt, nyílt, nyílt-zárt, korlátos, kompakt halmazok, véges dimenziós normált terek normáinak ekvivalenciája)
2. Konvergencia függvényterekben
- (R, Rn, B[a,b]-beli sorozatok és sorok konvergenciája, Cauchy-sorozatok, pontonkénti és egyenletes konvergencia kapcsolata, páratlan gyökkitevőjű gyökfüggvények sorozatának pontonkénti és egyenletes konvergenciája, határfüggvény folytonossága, deriválhatósága és integrálhatósága, Weierstrass-kritérium, egyenletes konvergencia cáfolása)
3. Speciális függvénysorok
- (Hatványsorok konvergenciatartománya, Cauchy--Hadamard-tétel, az arctg sorfejtése [-π/4,π/4]-ben, hatványsor együtthatósorozatának egyértelműsége, Taylor-tétel Lagrange-féle maradéktaggal,h a Taylor-polinom hibája, hibabecslés Leibniz-sor esetén, Fourier-sor, függvényátlag a sorban (a0), páros és páratlan lépcsős függvények Fourier-sora)
4. Numerikus sorok
- (Sor konvergenciájának definíciója, gyökkritérium és bizonyítása, Cauchy-, szükséges-, hányados-, kondenzációs-, integrál-, p-edik-, összehasonlító- és intelligens- (Serény-) kritérium)
5. Folytonosság
- (Bolzano- ill. egy és többváltozós Weierstrass-tétel és bizonyítása, egyenletes folytonosság, Heine tétele, korlátos derivált és egyenletes folytonosság, folytonosság és határérték kapcsolata)
6. Egyenletes folytonosság
- (Egyenletes folytonosság definíciója, Heine tétele és bizonyítása, korlátos derivált és egyenletes folytonosság, egyenletes folytonosság kiterjesztése az értelmezési tartomány határpontjaira)
7. Differenciálhatóság
- (Parciális és totális deriválhatóság, folytonos differenciálhatóság és ezek kapcsolata, a differenciál mátrix-reprezentációja Jacobi-mátrix, Young-tétel)
8. Implicit és inverz függvény tétel
- (Inverz definíciója, egyváltozós függvény inverzének létezése, két és többváltozós inverz és implicit-függvény tétel)
9. Valós értékű függvények vizsgálata
- (A függvénytulajdonságok analitikus jellemzése (szélsőérték, monotonitás, konvexitás), első és második derivált próba, Hesse- és Jacobi-mátrixok, Lagrange-tétel és bizonyítása)
10.
- (Egyváltozós Riemann-integrál, Riemann-integrálhatóság jellemzése (korlátosság, nullmértékűség), monoton függvényel szakadásai, primitív függvény, Newton--Leibniz-tétel és bizonyítása, improprius integrál és létezésének kritériumai)
11.
- (Többváltozós függvények Riemann-integrálja téglán, paraméteres integrálok, a paraméteres integrál egyenlősége a Riemann-integrállal, integrálhatóság korlátos tartományon, korlátoson ill. kompakton nem R-integrálható függvények, Jordan-mérhetőség)
12.
- (Intergáltranszformációs tétel, polár, henger és gömbi koordinátázás, hiperbola-lineáris koordinátahálózatban integrálás, polárkoordináta-áttérés Jacobi-determinánsa, integrálok felcserélése)
13.