Szerkesztő:Mozo/A2 szigorlati tematika
A MathWikiből
1. Halmazalgebra, függvényterek topológiája
- (Halmazműveletek, halmazok Boole-algebrája, metszet-unió disztributivitás és duálisának bizonyítása lineáris műveletek függvénytereken, szuprémum és p-edik norma, távolság, gömbi környezetek, zárt, nyílt, nyílt-zárt, korlátos, kompakt halmazok, véges dimenziós normált terek normáinak ekvivalenciája)
2. Konvergencia függvényterekben
- (R, Rn, B[a,b]-beli sorozatok és sorok konvergenciája, Cauchy-sorozatok, pontonkénti és egyenletes konvergencia kapcsolata, páratlan gyökkitevőjű gyökfüggvények sorozatának pontonkénti és egyenletes konvergenciája (, x∈ R), határfüggvény folytonossága, deriválhatósága és integrálhatósága, Weierstrass-kritérium, egyenletes konvergencia cáfolása)
3. Speciális függvénysorok
- (Hatványsorok konvergenciatartománya, Cauchy--Hadamard-tétel, az arctg sorfejtése (-1;1]-ben, hatványsor együtthatósorozatának egyértelműsége, Taylor-tétel Lagrange-féle maradéktaggal, a Taylor-polinom hibája, hibabecslés Leibniz-sor esetén, Fourier-sor, függvényátlag a sorban (a0), páros és páratlan lépcsős függvények Fourier-sora)
4. Numerikus sorok
- (Sor konvergenciájának definíciója, gyökkritérium és bizonyítása, Cauchy-, szükséges-, hányados-, kondenzációs-, p-edik-, összehasonlító- és intelligens- (Serény-) kritérium)
- az előadásjegyzetből +
- 4. tétel
5. Folytonosság
- (Bolzano- ill. egy és többváltozós Weierstrass-tétel és bizonyítása, folytonosság és határérték kapcsolata)
6. Egyenletes folytonosság
- (Egyenletes folytonosság definíciója, Heine tétele és bizonyítása, korlátos derivált és egyenletes folytonosság, egyenletes folytonosság kiterjesztése az értelmezési tartomány határpontjaira)
7. Differenciálhatóság
- (Parciális és totális deriválhatóság, folytonos differenciálhatóság és ezek kapcsolata, a differenciál mátrix-reprezentációja Jacobi-mátrix, Young-tétel)
8. Differenciálási szabályok és L'Hospital-szabály
- (Differenciálási szabályok, elemi függvények deriváltjai, L'Hospital-szabályok, szakadás, megszüntethető szakadás, első és másodfajú szakadás, Darboux-tétel és bizonyítása)
9. Implicit és inverz függvény tétel
- (Inverz definíciója, egyváltozós függvény inverzének létezése, két és többváltozós inverz és implicit-függvény tétel)
10. Valós értékű függvények vizsgálata
- (A függvénytulajdonságok analitikus jellemzése (szélsőérték, monotonitás, konvexitás), első és második derivált próba, Hesse- és Jacobi-mátrixok, Lagrange-tétel és bizonyítása)
11. Egyváltozós Riemann-integrál
- (Egyváltozós Riemann-integrál, Riemann-integrálhatóság jellemzése (korlátosság, nullmértékűség), monoton függvények szakadásai, primitív függvény, Newton--Leibniz-tétel és bizonyítása)
12. Improprius integrál
- (Improprius integrál és létezésének kritériumai, összehasonlító kritériumok, ekvikonvergencia (Serény-) kritérium, forgástestek térfogatának kiszámítása, integrálkritérium sorokra
13. Integrálási stratégiák
- (A helyettesítéses és parciális integrálás formulái és bizonyításuk, helyettesítés a határozott integrálban, integrálás helyettesítéssel (gyökös, exponenciális, trigonometrikus helyettesítés), elemi függvények inverzeinek integrálása)
14. Többváltozós Riemann-integrálja
- (Többváltozós függvények Riemann-integrálja téglán, paraméteres integrálok, a paraméteres integrál egyenlősége a Riemann-integrállal, integrálhatóság korlátos tartományon, korlátoson ill. kompakton nem R-integrálható függvények, Jordan-mérhetőség)
15. Integráltranszformáció és a tartomány paraméterezése
- (Integráltranszformációs tétel, polár, henger és gömbi koordinátázás, hiperbola-lineáris koordinátahálózatban integrálás, polárkoordináta-áttérés Jacobi-determinánsa, integrálok felcserélése)
16. Lineáris leképezések
- (Lineáris tér és altér definíciója, lineáris leképezés definíciója, képtér és magtér dimenziója, rang, dimenziótétel és bizonyítása)
17. Leképezések mátrixa és determinánsa
- (Leképezések mátrixa, leképezés mátrixának transzformációja bázisváltáskor, a determináns invarianciája bázisváltáskor és ennek bizonyítása, ortogonális mátrixok és ortonormált bázis, a transzponált invarianciája ortonormált bázisváltás esetén és ennek bizonyítása, determinánsok szorzástétele)
18. Mátrixalgebra
- (Mátrixszorzás és mátrixgyűrű definíciója, inverz mátrix definíciója, létezésének feltételei, kiszámítása, nullosztó, nillpotens mátrix, nem kommutáló mátrixok, inverz adjungáltas képletének bizonyítása )
19. Gauss-elimináció
- (Homogén és inhomogén egyenletrendszer megoldása, lépcsős és redukált lépcsős alak, a megoldás létezése és egyértelműsége, homogén egyenlet megoldástere, magtér meghatározása, sortér és sortranszformációk, oszloptér és sortranszformációk, inverz mátrix meghatározása és az eljárás jóságának igazolása (LU-felbontás))
20. Sajátprobléma
- (Leképezés sajátértéke és sajátvektora, sajátaltér, sajátérték meghatározása és az eljárás jóságának bizonyítása, főtengelytétel, diagonalizáció, (Jordan-normálforma).)