Szerkesztő:Mozo/A2 szigorlat 6

A MathWikiből

DefinícióEgyenletesen folytonosnak mondunk egy f: H \to R függvényt a HR halmazon, ha:


\forall\,\varepsilon>0\quad\exists\,\delta>0\quad\forall x,y\in H\quad |x-y|<\delta\Rightarrow |f(x) -f(y)|< \varepsilon

TételHeine-tétel – Korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény egyenletesen folytonos.

Bizonyítás. A Heine–Borel-tételt fogjuk használni. Legyen f: [a,b] \to R korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény. Megadunk [a,b]-nek egy nyílt lefedését. Legyen ε > 0. Ekkor a pontbeli folytonosság definíciója szerint minden egyes u ∈ [a,b] ponthoz létezik olyan δu > 0 pozitív szám, hogy:

f(\mathrm{B}_{\delta_u}(u))\subseteq \mathrm{B}_{\frac{\varepsilon}{2}}(f(u))

azaz minden x-re, ha | x - u | < δu akkor | f(x)-f(u) | < ε/2. Legyen tehát :

H=\{\mathrm{B}_{\frac{\delta_u}{2}}(u)\mid u\in [a,b]\}\,

egy nyílt lefedése [a,b]-nek. A Heine–Borel-tétel szerint létezik véges eleme is, melyek még mindig lefedik [a,b]-t, azaz van V ⊆ [a,b] véges ponthalmaz, hogy

K=\{\mathrm{B}_{\frac{\delta_u}{2}}(u)\mid u\in V\}\,

A véges sok δ/2 közül válasszuk a minimálisat:

\delta:=\min\{\frac{\delta_u}{2}\mid u\in V\}\,

Minden x,y ∈ H-ra, ha |x-y| < δ, akkor egyfelől az x benne van egy u ∈ V középpontú K-beli intervalumban, másrészt:

|y-u|\leq |y-x|+|x-u|<\delta+\frac{\delta_u}{2}\leq\frac{\delta_u}{2}+\frac{\delta_u}{2}=\delta_u\,

Ezért a folytonosság miatt:

|f(x)-f(y)|\leq |f(x)-f(u)|+|f(u)-f(y)|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon

QED

Egyenletes folytonosságra bizonyos esetekben következtethetünk nem csak zárt és korlátos esetben is.

Korlátos derivált

Ha az f intervallumon értelmezett differenciálható függvény korlátos deriválttal rendelkezik, akkor a Lagrange-féle középértéktétel miatt f egyenletesen folytonos az értelmezési tartományán. Ugyanis legyen K olyan pozitív szám, hogy minden x ∈ Dom(f)-re:

|f'(x)| \leq K \,

Ha ε > 0 és δ:=ε/K, akkor minden x,y ∈ Dom(f)-re, ha |x-y| < δ, létezik ξ az x és az y között, hogy azzal:

|f(x)-f(y)|= |f'(\xi)|\cdot|x-y|< K\cdot \delta=\varepsilon

Példa. Az

f(x)=\frac{1}{x}\,

egyenletesen folytonos az [1,+∞) halmazon.

Ugyanis, itt korlátos a deriváltja:

\left(\frac{1}{x}\right)'=-\frac{1}{x^2}\,

Ezért ha x ∈ [1,+∞), akkor

\left| -\frac{1}{x^2}\right|=\frac{1}{x^2}\leq 1

Folytonosan kiterjeszthető függvény

Ha I korlátos, nyílt intervallum és az f I-n folytonos függvénynek létezik véges határértéke az I végpontjaiban, akkor világos, hogy az I lezártja már korlátos és zárt és az f folytonos kiterjesztésére alkalmazható a Heine tétele, amiből következik, hogy f is függvény egyenletesen folytonos (hiszen ugyanaz a delta jó lesz az f-hez is, mint a kiterjesztéséhez).

Példa. A (0,1)-en értelmezett

f(x)=\sqrt{x}\,

egyenletesen folytonos a (0,1) intervallumon.

Ugyanis, f folytonosan kiterjed a [0,1] zártra.

Ennél a példánál a korlátos deriváltra nem is hivatkozthattunk volna, mert

\left(\sqrt{x}\right)'=\frac{1}{2\sqrt{x}}\,

nem is korlátos (0,1)-en.

Megjegyezzük, hogy ez az állítás akkor is érvényben marad, ha azt tesszük fel, hogy I akármilyen intervallum, f folytonos és az értelmezési tartománya határpontjaiban létezik és véges a határértéke.

Továbbá bizonyos értelemben ennek az állításnak a megfordítása is igaz. Tétel Ha f egyenletesen folytonos, akkor egyenletesen folytonosan kiterjeszthető az I lezártjára. Ez folytonosságra nem igaz, mondjunk ellenpéldát!

Személyes eszközök