A3 2016 gyak 2
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Komplex egyenlet) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Komplex egyenlet) |
||
56. sor: | 56. sor: | ||
:<math>w=e^z\,</math> | :<math>w=e^z\,</math> | ||
:<math>w^2-4iw+1=0\,</math> | :<math>w^2-4iw+1=0\,</math> | ||
− | :<math>w_{1,2}=\frac{4i\pm\sqrt{-16-4}}{2}=\frac{4i\pm\sqrt{-20}}{2}=\frac{4i\pm \sqrt{5} | + | :<math>w_{1,2}=\frac{4i\pm\sqrt{-16-4}}{2}=\frac{4i\pm\sqrt{-20}}{2}=\frac{4i\pm 2\sqrt{5}i}{2}=2i\pm\sqrt{5}i=i(2\pm\sqrt{5})</math> |
+ | :<math>e^{z}=i(2+\sqrt{5})\qquad i(2+\sqrt{5})=e^{\ln(2+\sqrt{5})}e^{i\frac{\pi}{2}}=e^{\ln(2+\sqrt{5})+i\frac{\pi}{2}}</math> | ||
+ | :<math>e^{z}=e^{\ln(2+\sqrt{5})+i\frac{\pi}{2}}</math> | ||
+ | :<math>z_1=\ln(2+\sqrt{5})+i\frac{\pi}{2}+2\pi i k\qquad k\in \mathbf{Z}</math> | ||
+ | :<math>e^{z}=i(2-\sqrt{5})\qquad i(2-\sqrt{5})=e^{\ln(\sqrt{5}-2)}e^{i\frac{3\pi}{2}}=e^{\ln(\sqrt{5}-2)+i\frac{3\pi}{2}}</math> | ||
+ | :<math>e^{z}=e^{\ln(\sqrt{5}-2)+i\frac{3\pi}{2}}</math> | ||
+ | :<math>z_2=\ln(\sqrt{5}-2)+i\frac{3\pi}{2}+2\pi i k\qquad k\in \mathbf{Z}</math> |
A lap 2016. május 2., 20:44-kori változata
Laurent-sorfejtés
1. Határozzuk meg az
függvény 1 körüli Laurent-sorait!
Mo. Mivel z-2i-(z-4)=-2i+4, ezért
és valóban, mert
azaz
A sort a z0 = 1 körül kell sorba fejteni, azaz a z − 1 hatványai szerepelnek majd az összegben. Ehhez z-1-nek szerepelnie kell a nevezőkben:
Két szingularitás: z = 4 és z = 2i. Ezeknek a távolsága a középponttól:</math> |1-4|=3 és . Tehát három lehetőségünk van:
- I. A körlap,
melyen belül a sor reguláris és z − 1-nek csak nemnegatív hatványai szerepelnek a sorban. Ilyenkor "z − 1 melletti tagból csinálunk mértani sort":
Alkalmazva a
formulát, ha | q | < 1 a
- és
hányadosokra kapjuk:
- II. A körgyűrű,
melyben az első tag reguláris, de a második már nem. Ilyenkor "a z-1-et emeljük ki a nevezőből":
Tehát itt:
- Végül a |z-1|>3 körgyűrűn
HF Fejtsük sorba a 0 körül az
függvényt!
Komplex egyenlet
2. a) Oldjuk meg az
egyenletet!
Mo.
mert a szöge 30 fok, a hossza 2. Ezért az egyenlet:
azaz
2. b) Oldjuk meg a
- cosz = 2i
egyenletet!
Mo.