A3 2016 gyak 2
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Komplex egyenlet) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Komplex egyenlet) |
||
63. sor: | 63. sor: | ||
:<math>e^{z}=e^{\ln(\sqrt{5}-2)+i\frac{3\pi}{2}}</math> | :<math>e^{z}=e^{\ln(\sqrt{5}-2)+i\frac{3\pi}{2}}</math> | ||
:<math>z_2=\ln(\sqrt{5}-2)+i\frac{3\pi}{2}+2\pi i k\qquad k\in \mathbf{Z}</math> | :<math>z_2=\ln(\sqrt{5}-2)+i\frac{3\pi}{2}+2\pi i k\qquad k\in \mathbf{Z}</math> | ||
+ | |||
+ | ==Harmonikus társkeresés== | ||
+ | ==Reziduum és körintegrál== | ||
+ | '''4.''' a) | ||
+ | :<math>\oint\limits_{|z|=2}\frac{e^z-1}{\sin z}\,dz</math> | ||
+ | b) | ||
+ | :<math>\oint\limits_{|z|=2}\frac{1}{\sin 2z}\,dz</math> | ||
+ | c) | ||
+ | :<math>\oint\limits_{|z|=2}\sin \frac{1}{z}\,dz</math> | ||
+ | |||
+ | ''Mo.'' |
A lap 2016. május 2., 20:51-kori változata
Tartalomjegyzék |
Laurent-sorfejtés
1. Határozzuk meg az
függvény 1 körüli Laurent-sorait!
Mo. Mivel z-2i-(z-4)=-2i+4, ezért
és valóban, mert
azaz
A sort a z0 = 1 körül kell sorba fejteni, azaz a z − 1 hatványai szerepelnek majd az összegben. Ehhez z-1-nek szerepelnie kell a nevezőkben:
Két szingularitás: z = 4 és z = 2i. Ezeknek a távolsága a középponttól:</math> |1-4|=3 és . Tehát három lehetőségünk van:
- I. A körlap,
melyen belül a sor reguláris és z − 1-nek csak nemnegatív hatványai szerepelnek a sorban. Ilyenkor "z − 1 melletti tagból csinálunk mértani sort":
Alkalmazva a
formulát, ha | q | < 1 a
- és
hányadosokra kapjuk:
- II. A körgyűrű,
melyben az első tag reguláris, de a második már nem. Ilyenkor "a z-1-et emeljük ki a nevezőből":
Tehát itt:
- Végül a |z-1|>3 körgyűrűn
HF Fejtsük sorba a 0 körül az
függvényt!
Komplex egyenlet
2. a) Oldjuk meg az
egyenletet!
Mo.
mert a szöge 30 fok, a hossza 2. Ezért az egyenlet:
azaz
2. b) Oldjuk meg a
egyenletet!
Mo.
Harmonikus társkeresés
Reziduum és körintegrál
4. a)
b)
c)
Mo.