Szerkesztő:Mozo/egyéb
A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Young-tétel) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Young-tétel) |
||
26. sor: | 26. sor: | ||
:<math>f(u+h,v+k)=f(u,v) + A_1h + A_2k + \,</math> | :<math>f(u+h,v+k)=f(u,v) + A_1h + A_2k + \,</math> | ||
− | :<math>+ A_{11}h^2 + A_{12}hk + A_{21}kh + A_{22}k^2 + \ | + | :<math>+ A_{11}h^2 + A_{12}hk + A_{21}kh + A_{22}k^2 + r_3(h,k)\,</math> |
− | :<math>\partial_1f(x,y)=\frac{\partial f(h,k)}{\partial h}=A_1+2A_{11}h+A_{12}k+A_{21}k+\frac{\partial | + | ahol |
− | :<math>\partial_{21}f(x,y)=\frac{\partial^2 f(h,k)}{\partial k\partial h}=A_{12}+A_{21}+\frac{\partial^2 | + | :<math>r_3(h,k)=\sum\limits_{i=0}^{3}\varepsilon_{i}(h,k)\cdot h^ik^{3-i}\,</math> |
+ | harmadrendűen kicsiny, de differenciálható tagok. Ekkor | ||
+ | :<math>\partial_1f(x,y)=\frac{\partial f(h,k)}{\partial h}=A_1+2A_{11}h+A_{12}k+A_{21}k+\frac{\partial r_3(h,k)}{\partial h}\,</math> | ||
+ | :<math>\partial_{21}f(x,y)=\frac{\partial^2 f(h,k)}{\partial k\partial h}=A_{12}+A_{21}+\frac{\partial^2 r_3(h,k)}{\partial k\partial h}\,</math> | ||
ez a (h,k)=(0,0)-ban: | ez a (h,k)=(0,0)-ban: | ||
:<math>\partial_{21}f(u,v)=A_{12}+A_{21}\,</math> | :<math>\partial_{21}f(u,v)=A_{12}+A_{21}\,</math> |
A lap 2008. március 24., 10:15-kori változata
Tükrözés síkra
Példa. Tekintsük az S = {(x,y,z) ∈ R3 | x-y+z=0 } síkot. Adjuk meg az S síkra történő tükrözés mátrixát, a sajátvektorait és a sajátaltereket, illetve a sajátkoordinátarendszert!
A síkra tükrözés hozzárendelési utasítása:
ahol n a sík normálvektora, itt (1,-1,1). A bázisok képei:
A mátrix:
ez -1 determinánsú szimmetrikus mátrix, ortonormált vektorokból álló sajátrendszerrel,
Young-tétel
Tétel (Young) U = Bδ(a) ⊆ R2, f: U R,
- f ∈ Cω(U),
akkor
- ∂21f = ∂12f
Bizonyítás. a=(u,v), (x,y)=(u+h,v+k) ∈ Bδ(a), A1 = ∂1f(a), A2 = ∂2f(a), Aij = ∂ijf(a).
ahol
harmadrendűen kicsiny, de differenciálható tagok. Ekkor
ez a (h,k)=(0,0)-ban:
mert a harmadrendűen kicsiny tagok a (h,k)=(0,0)-ban eltűnnek. Ugyanígy:
így ezek is egyenlők.