Matematika A3a 2009/7. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Komplex integrál) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Komplex integrál) |
||
11. sor: | 11. sor: | ||
Persze itt olyan fogalmakkal dolgozunk, amelyeket nyugodtan átfogalmazhatunk egy vonalintegrál párrá, a következőképpen. Tekintsük az ''f'' = ''u'' + ''v'' i függvényt és a dz = dx + i dy szimbólumot. Ekkort fdz komplex formális szorzát elvégezve kapjuk, hogy: | Persze itt olyan fogalmakkal dolgozunk, amelyeket nyugodtan átfogalmazhatunk egy vonalintegrál párrá, a következőképpen. Tekintsük az ''f'' = ''u'' + ''v'' i függvényt és a dz = dx + i dy szimbólumot. Ekkort fdz komplex formális szorzát elvégezve kapjuk, hogy: | ||
− | :<math>\int\limits_{\Gamma}f(z)\mathrm{d}z = \int\limits_{\Gamma} u\mathrm{d}x-v\mathrm{d }y + i\int\limits_{\Gamma} u\mathrm{d}y+v\mathrm{d }x</math> | + | :<math>\int\limits_{\Gamma}f(z)\mathrm{d}z = \int\limits_{\Gamma} u\mathrm{d}x-v\mathrm{d }y + i\int\limits_{\Gamma} u\mathrm{d}y+v\mathrm{d }x=\int\limits_{\Gamma}(u,-v)\mathrm{d}r+i\int\limits_{\Gamma}(v,u)\mathrm{d}r</math> |
A vonalintegál kiszámítására vonatkozó formula komplex változata az lesz, hogy: | A vonalintegál kiszámítására vonatkozó formula komplex változata az lesz, hogy: |
A lap 2009. november 4., 16:04-kori változata
Komplex integrál
Definíció szerint, ha f: D C egy nyílt tartományon értelmezett függvény és Γ:[a,b] C folytonosan differenciálható görbe, akkor a f integrálja a Γ mentén:
Fontos, hogy a fenti definícióban az f(z) Δz egy komplex szorzat.
Persze itt olyan fogalmakkal dolgozunk, amelyeket nyugodtan átfogalmazhatunk egy vonalintegrál párrá, a következőképpen. Tekintsük az f = u + v i függvényt és a dz = dx + i dy szimbólumot. Ekkort fdz komplex formális szorzát elvégezve kapjuk, hogy:
A vonalintegál kiszámítására vonatkozó formula komplex változata az lesz, hogy:
Itt z(t)=Γ(t). De így ritkán számolunk komplex integrált.
Példa.
hiszen a paraméterezés z(t)=eit, t ∈ [0,π]. Egy vektorértékű valós változós függvényt komponensenként integrálunk:
De szerencsére a komplex analízisben van is van Newton--Leibniz formula:
Tétel (Newton--Leibniz) Ha f: D C folytonos a D nyílt halmazon és létezik primitív függvénye, akkor minden a D-ben haladó Γ[a,b] C görére:
ahol Γ kezdő és végpontja z(a) és z(b).
Példák.
hiszen F(z)=-1/z-vel F'=f.
ahol ln 1-et kétféleképpen, egyfelől az első, másfelől a második Riemann-levélen számoltuk ki. A logaritmus Riemann-felületén a logaritmus ugyanis már egyértékű.