A3 2009 gyak 2
A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Homogén fokszámú egyenlet) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
55. sor: | 55. sor: | ||
:<math>y'_1(0)=(C^2x^3-2Cx|x|+x)'|_0=1</math> | :<math>y'_1(0)=(C^2x^3-2Cx|x|+x)'|_0=1</math> | ||
:<math>y'_2(0)=(-C^2x^3+2Cx|x|-x)'|_0=-1</math> | :<math>y'_2(0)=(-C^2x^3+2Cx|x|-x)'|_0=-1</math> | ||
− | miközben miközben mindkettő a 0-ban a 0-t veszi föl. | + | miközben miközben mindkettő a 0-ban a 0-t veszi föl. |
==Cauchy-típusú integrálok== | ==Cauchy-típusú integrálok== | ||
149. sor: | 149. sor: | ||
:<math>f(z)=\frac{1}{z(1+z^2)}\,</math> | :<math>f(z)=\frac{1}{z(1+z^2)}\,</math> | ||
függvényt! | függvényt! | ||
+ | --> |
A lap 2009. november 18., 22:19-kori változata
Szeparábilis differenciálegyenlet
1. Oldjuk meg az
egyenletet az
- a)
- b)
kezdeti feltételek mellett!
Mo. a) Az egyenlet konstans megoládsa az y(x)=1. Ez a kezdeti feltételnek megfelel.
b) Az általános megoldásból keressük a kezdeti feltételt kielégítő megoldást:
ez az implicit egyenlet. Ha x=0 és y=e, akkor
- ,
és
Megjegyzés. Minden R× R+-beli kezdeti feltételre egyértelműen létezik a megoldás.
Homogén fokszámú egyenlet
Azt mondjuk, hogy az y' = F(x,y) egyenlet homogén fokszámú, ha
A homogén fokszámú egyenlet megoldása visszavazethető a szeparálásra az
új változó bevezetésével, ahol u = u(x) az ismeretlen függvény. Tehát:
Ekkor
azaz
2. Oldjuk meg az egyenletet!
Mo. Tegyük föl, hogy x nem 0.
ezt kell megoldani. Nyilván külön pozitív és külin negatív intervallumokra (a 0 ne legyen benne). Ekkor:
- pozitív x-re
- negatív x-re