A3 2009 gyak 2
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Homogén fokszámú egyenlet) |
||
36. sor: | 36. sor: | ||
egyenletet! | egyenletet! | ||
''Mo.'' Általános megoldás: | ''Mo.'' Általános megoldás: | ||
− | :<math>(u'x+u)xu^3x^3=x^4+u^4x^4</math> | + | :<math>(u'x+u)xu^3x^3=x^4+u^4x^4\,</math> |
− | :<math>u'x+u^4=1+u^4</math> | + | :<math>u'x+u^4=1+u^4\,</math> |
− | :<math>u'x=1</math> | + | :<math>u'x=1\,</math> |
− | :<math>u'=\frac{1}{x}</math> | + | :<math>u'=\frac{1}{x}\,</math> |
− | :<math>\frac{u^2}{2}=\mathrm{ln}\,|x|+C</math> | + | :<math>\frac{u^2}{2}=\mathrm{ln}\,|x|+C\,</math> |
+ | :<math>u=\pm\sqrt{2\mathrm{ln}\,|x|+2C}\,</math> | ||
+ | :<math>y=\pm x\sqrt{\mathrm{ln}\,px^2}\,</math> | ||
+ | |||
+ | A szinguláris megoldás: | ||
+ | |||
+ | :<math>\lim\limits_{x\to 0}x\sqrt{\mathrm{ln}\,px^2}=\lim\limits_{x\to 0}\sqrt{\mathrm{ln}\,(px^2)^{x^2}}</math> | ||
+ | :<math>\lim\limits_{x\to 0}x^2ln\,px^2=\frac{\frac{1}{px^2}2xp}{-\frac{2}{x^3}}</math> | ||
+ | azaz a 0-hoz tart, így legalább kettő (valójában végtelen) megoldás halad át a (0,0) ponton. | ||
128. sor: | 136. sor: | ||
függvények 0-beli reziduumát, egységkörön vett integrálját és szakadásának jellegét! | függvények 0-beli reziduumát, egységkörön vett integrálját és szakadásának jellegét! | ||
--> | --> | ||
+ | |||
==Laurent-sorfejtés== | ==Laurent-sorfejtés== | ||
'''5.''' Határozzuk meg az | '''5.''' Határozzuk meg az |
A lap 2009. november 19., 17:16-kori változata
Szeparábilis differenciálegyenlet
1. Oldjuk meg az
egyenletet az
- a)
- b)
kezdeti feltételek mellett!
Mo. a) Az egyenlet konstans megoládsa az y(x)=1. Ez a kezdeti feltételnek megfelel.
b) Az általános megoldásból keressük a kezdeti feltételt kielégítő megoldást:
ez az implicit egyenlet. Ha x=0 és y=e, akkor
- ,
és
Megjegyzés. Minden R× R+-beli kezdeti feltételre egyértelműen létezik a megoldás.
Homogén fokszámú egyenlet
Azt mondjuk, hogy az y' = F(x,y) egyenlet homogén fokszámú, ha
A homogén fokszámú egyenlet megoldása visszavazethető a szeparálásra az
új változó bevezetésével, ahol u = u(x) az ismeretlen függvény. Tehát:
Ekkor
azaz
2. Oldjuk meg az
- y'xy3 = x4 + y4
egyenletet! Mo. Általános megoldás:
A szinguláris megoldás:
azaz a 0-hoz tart, így legalább kettő (valójában végtelen) megoldás halad át a (0,0) ponton.
Laurent-sorfejtés
5. Határozzuk meg az
nulla körüli Laurent-sorait!
Mo.
alkalmas tehát a c=-1/2.
Ha |z|<1, akkor
Ha |z|>1, akkor
A másik tag:
Ha |z/3|<1, azaz |z|<3
Ha |z|>3 , akkor
Tehát a Laurent-sorok:
|z|<1 esetén reguláris:
1<|z|<3 esetén vegyes:
|z|>3 esetén csak főrész:
HF Fejtsük sorba a 0 körül az
függvényt!