A3 2009 gyak 2
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Homogén fokszámú egyenlet) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
44. sor: | 44. sor: | ||
:<math>y=\pm x\sqrt{\mathrm{ln}\,px^2}\,</math> | :<math>y=\pm x\sqrt{\mathrm{ln}\,px^2}\,</math> | ||
− | A szinguláris megoldás: | + | A szinguláris megoldás: ha <math>x_0=0</math>, akkor y szükségképpen 0. Itt viszont nem reguláris a differenciálegyenlet: |
:<math>\lim\limits_{x\to 0}x\sqrt{\mathrm{ln}\,px^2}=\lim\limits_{x\to 0}\sqrt{\mathrm{ln}\,(px^2)^{x^2}}</math> | :<math>\lim\limits_{x\to 0}x\sqrt{\mathrm{ln}\,px^2}=\lim\limits_{x\to 0}\sqrt{\mathrm{ln}\,(px^2)^{x^2}}</math> | ||
53. sor: | 53. sor: | ||
<!-- | <!-- | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
==Cauchy-típusú integrálok== | ==Cauchy-típusú integrálok== |
A lap 2009. november 19., 17:17-kori változata
Szeparábilis differenciálegyenlet
1. Oldjuk meg az
egyenletet az
- a)
- b)
kezdeti feltételek mellett!
Mo. a) Az egyenlet konstans megoládsa az y(x)=1. Ez a kezdeti feltételnek megfelel.
b) Az általános megoldásból keressük a kezdeti feltételt kielégítő megoldást:
ez az implicit egyenlet. Ha x=0 és y=e, akkor
- ,
és
Megjegyzés. Minden R× R+-beli kezdeti feltételre egyértelműen létezik a megoldás.
Homogén fokszámú egyenlet
Azt mondjuk, hogy az y' = F(x,y) egyenlet homogén fokszámú, ha
A homogén fokszámú egyenlet megoldása visszavazethető a szeparálásra az
új változó bevezetésével, ahol u = u(x) az ismeretlen függvény. Tehát:
Ekkor
azaz
2. Oldjuk meg az
egyenletet! Mo. Általános megoldás:
A szinguláris megoldás: ha x0 = 0, akkor y szükségképpen 0. Itt viszont nem reguláris a differenciálegyenlet:
azaz a 0-hoz tart, így legalább kettő (valójában végtelen) megoldás halad át a (0,0) ponton.
Laurent-sorfejtés
5. Határozzuk meg az
nulla körüli Laurent-sorait!
Mo.
alkalmas tehát a c=-1/2.
Ha |z|<1, akkor
Ha |z|>1, akkor
A másik tag:
Ha |z/3|<1, azaz |z|<3
Ha |z|>3 , akkor
Tehát a Laurent-sorok:
|z|<1 esetén reguláris:
1<|z|<3 esetén vegyes:
|z|>3 esetén csak főrész:
HF Fejtsük sorba a 0 körül az
függvényt!